exame1#99

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EXAME ANA LISE DE SINAIS
26/1/00
Use uma folha separada para cada problema
Identique cada folha (numero e nome)
Problema 1
x(t)
h(t)
1
1
2
1
0
-1
0
t
2
1
t
Considere os sinais x(t) e h(t) representados na gura acima.
1. Calcule e represente gracamente o sinal y(t) = x(t) ? h(t).
Nota: Indique e calcule todos os integrais que permitem obter a express~
ao analtica de y(t).
2. Represente gracamente o sinal tri (t) rect (t) ? rect (t). Exprima x(t) e h(t) em termos de rect (t). Usando as
express~oes obtidas e as propriedades da convoluc~ao, deduza a express~ao de y(t) em termos de tri (t). Com base
nesta express~ao conrme o graco de y(t) obtido na alnea 1.
3. Suponha que se disp~oe de dois blocos tipo D1 (atraso unitario) e de um integrador ideal (bloco I ). Os blocos
D1 e I est~ao ilustrados na gura abaixo.
t
x(t)
x( ) d
x(t)
x(t-1)
I
D1
Exprima h(t) em termos do escal~ao unitario u(t) e use a express~ao obtida para conceber um dispositivo capaz
de produzir y(t) = x(t) ? h(t) a partir do sinal de entrada x(t). Desenhe o diagrama de blocos deste dispositivo
(construdo com os blocos D1 e I disponveis) e justique-o.
sugest~
ao: Comece por obter a resposta impulsional do integrador ideal.
4. Desenhe os gracos dos sinais em todos os pontos do dispositivo obtido acima, supondo aplicado na entrada o
sinal rect (t ; 1=2). Sendo v(t) o sinal de sada, qual a express~ao de y(t) em termos de v(t).
Problema 2
A gura abaixo representa os sinais '1 , '2 e '3 todos pertencentes a L2 (;1; 1).
1
1
0
0
1
1/2
1/2
-1/2
1/2
t
-1/2
-1
1/4
t
-1/2
-1/4
0
-1
t
1. Mostre que os sinais f'1 ; '2 ; '3 g s~ao ortornormados.
2. Considere o sinal de L2(;1; 1) x(t) = t rect (t). Determine a projecc~ao wx de x no subespaco S3 gerado pela
base f'1 ; '2 ; '3 g.
3. Determine gracamente o erro de projecc~ao e = x ; wx e a sua norma.
4. Mostre que o erro de projecc~ao de qualquer sinal v(t) de L2 (;1=2; 1=2) no subespaco S3 gerado pela base
f'1 ; '2 ; '3 g tem media nula, i.e.,
Z 21
[v(t) ; wv (t)] dt = 0:
1
;2
Problema 3
Considere um SLIT com func~ao de transfer^encia
H (!) =
e o sinal periodico de perodo T = 4
(
1
w2 + 1
x(t) = tri(t)
x(t + T ) = x(t)
jtj < T=2
1. Determine os coecientes da serie complexa de Fourier associada a x(t).
Nota: O sinal x e a convoluc~ao periodica de um sinal com ele proprio.
2. Qual era a diculdade na aplicaca~o do teorema da convoluc~ao na alnea 1. se o perodo fosse T < 4.
3. Determine a resposta y(t) do SLIT a entrada x(t).
4. Escreva a serie de Fourier associada a y(t) na forma trignometrica. Esboce o graco da serie trignometrica com
apenas os primeiros tr^es termos.
Problema 4
Considere os sinais em TD
(
g[n] = 3nu[;n ; 1]
x[n] = u[n] ; u[n ; 5]
1. Utilizando a transformac~ao Z, calcule a resposta y[n] dum SLIT com resposta impulsional g[n], para o sinal de
entrada x[n].
2. Calcule a resposta y1 [n] dum SLIT com resposta impulsional
h[n] = g[n ; N ]u[n];
com N > 0, para o sinal de entrada x[n].
Sugest~
ao: Comece por mostrar que
h[n] = g[n ; N ] ; (1=3)N g[n]:
3. Exprima a diferenca e[n] = y[n ; N ] ; y1 [n] em termos de y1 [n]. Calcule o limite da norma de e[n] quando
N ! 1.
4. Com base nos resultados anteriores, discuta a possibilidade de substituir o SLIT da alnea 1., pelo da alnea 2.
Que vantagem pratica adviria desta substituic~ao?