montagem do dodecaedro regular com tubos de caneta para

MONTAGEM DO DODECAEDRO REGULAR COM TUBOS DE
CANETA PARA APRENDIZAGEM DO VOLUME UTILIZANDO
CABRI 3D
Amarildo Aparecido dos Santos
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
[email protected]
Resumo:
Este relato de experiência foi desenvolvido com um grupo de alunos da 2ª série do E. M. em uma
Escola Estadual em Santo André. Apresentamos aos alunos um kit de materiais manipulativos para
que eles pudessem montar a representação do dodecaedro regular e perceber que esse sólido é formado
por 12 pirâmides de base pentagonal regular. Além disso, eles deveriam calcular o volume do sólido a
partir do volume da pirâmide pentagonal regular. O objetivo foi fazer com que os alunos, a partir da
montagem do dodecaedro regular, pudessem reproduzir o procedimento em um ambiente de geometria
dinâmica (Cabri-3D), além de calcular o volume do sólido e desenvolver a percepção de figuras
tridimensionais. O kit continha 20 tubos de caneta inteiros, 30 tubos de caneta cortados, com 9,5 cm,
barbante, tesoura e uma agulha de arame fino para passar o barbante. O grupo realizou a atividade com
certa dificuldade, até encontrar um jeito de ordenar a passagem do barbante, para finalmente conseguir
fechar todo o dodecaedro regular. Para a realização da construção no ambiente Cabri-3D, os alunos
conseguiram realizar a atividade com apoio do professor pesquisador para obter a pirâmide inicial
montada com material do kit.
Palavras-chave: Situação de ensino, Geometria, Dodecaedro regular, Cabri-3D.
1 – INTRODUÇÃO
Este relato de experiência descreve uma trajetória de desenvolvimento e aplicação de
estratégias de ensino para o estudo da geometria espacial. Procuramos aplicar um
procedimento diferente para o estudo do volume do dodecaedro regular por intermédio de
material manipulativo. Para incentivar a participação efetiva dos alunos, propusemos a
manipulação de materiais didáticos e montagem do dodecaedro regular com o uso de tubos de
caneta esferográfica. Para concluir o trabalho, retomamos a construção do dodecaedro regular,
em ambiente de geometria dinâmica Cabri-3D, utilizando-nos das ferramentas: “Plano”,
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“Corte do poliedro”, “Simetria central”, “Simetria axial” e “Rotação” para obter uma
pirâmide pentagonal regular. Finalizamos com o cálculo do volume do sólido com a
ferramenta “Volume” do dodecaedro regular.
Verificando os livros didáticos recomendados pelo PNLD/2010 para o Ensino Médio,
notamos que as abordagens encontradas nas coleções de livros didáticos iniciam o estudo da
geometria espacial por meio de noções intuitivas das mais diversas aplicações da geometria
no mundo físico, destacando algumas obras de pintores, construções que evidenciam boa
visualização de figuras geométricas, passando por figuras planas regulares ou não, a ponto de
provocar a percepção do aluno sobre a concepção da geometria em uma visão unidimensional,
bidimensional e tridimensional.
Para formalizar e direcionar a noção de dimensão de volume, a abordagem adotada
pelos livros didáticos para a segunda série do Ensino Médio passa pelas noções primitivas de
ponto, reta, plano e suas combinações, a fim de desenvolver no aluno a noção de
tridimensionalidade. Neste contexto, para desenvolver as noções de sólidos geométricos,
voltados para a métrica, são abordados os poliedros de Platão: tetraedro regular, hexaedro
regular, octaedro regular, dodecaedro regular e o icosaedro regular. São abordadas também as
relações de Euler desses sólidos, ou seja, os números de vértices, faces e arestas. É a partir
dessas relações que os poliedros são classificados como sólidos de Platão. Os poliedros são
definidos como formas espaciais sólidas delimitadas por superfícies planas e poligonais. O
cálculo do volume de sólidos geométricos é explorado utilizando os prismas, pirâmides e os
corpos redondos, sem, no entanto, retomar os sólidos de Platão para a apresentação do cálculo
do volume.
De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006,
v.2), pensando na Tecnologia para a Matemática, há programas de computador (softwares)
nos quais os alunos podem explorar e construir diferentes conceitos matemáticos, referidos
como programas de expressão. Os programas de expressão apresentam recursos que
provocam, de forma muito natural, o processo que caracteriza o “pensar matematicamente”,
ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam
estratégias para resolver problemas. São características desses programas: a) conter certo
domínio de saber matemático; b) oferecer diferentes representações para um mesmo objeto
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matemático; c) possibilitar a expansão de sua base de conhecimento por meio de
macroconstruções; d) permitir a manipulação dos objetos que estão na tela.
Para o aprendizado da geometria, há programas que dispõem de régua e compasso
virtuais, com menu de construção e linguagem clássica de geometria – reta perpendicular,
ponto médio, mediatriz, bissetriz, etc. Feita uma construção, pode-se aplicar movimentos a
seus elementos, sendo preservadas as relações geométricas impostas à figura, daí serem
denominados programas de geometria dinâmica. Identificar o elemento que desencadeia o
movimento e, a partir dele, prosseguir com uma construção sincronizada, em que se preserva
a proporção entre os elementos, exige, além do conhecimento em geometria, uma escolha de
estratégia de resolução de problemas, com a elaboração de um cronograma de ataque aos
diferentes subproblemas que compõem o problema maior. São atividades que colocam em
funcionamento diferentes habilidades cognitivas – o pensar geométrico, o pensar estratégico,
o pensar hierárquico.
Para trabalhar com poliedros, existem também programas interessantes. Neles, há
poliedros em movimento com vistas diferentes, acompanhados de planificação. São
programas apropriados para o desenvolvimento da visualização espacial.
Silva (2012), em seu artigo “A construção de situações problemas utilizando o Cabri3D”, no grupo de pesquisa PEA-TIC, destaca que o estudo da geometria espacial acontece de
forma bastante precária, baseada em sólidos como prismas e pirâmides, às vezes esfera, mas
totalmente voltada para a métrica com a disponibilização de fórmulas. Os poliedros de Platão
ou poliedros regulares são apenas definidos para os alunos memorizarem que “todo poliedro
regular é de Platão”. Eventualmente, entregam a planificação de alguma superfície para que
os alunos construam um modelo em papel cartão.
De acordo com Lorenzato (apud Passos 2009. p77-92), os recursos didáticos nas aulas
de matemática envolvem uma diversidade de elementos utilizados principalmente como
suporte experimental na organização do processo de ensino e aprendizagem. Entretanto, esses
materiais
devem
servir
como
mediadores
para
facilitar
a
relação
professor/aluno/conhecimento.
Baseando-nos nessas argumentações, propomos a um grupo de 10 alunos da segunda
série do Ensino Médio, de uma escola Estadual de Santo André, montar o dodecaedro regular
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com material didático manipulativo, confeccionado com tubo de caneta esferográfica, para
que possam participar ativamente da construção do conhecimento sobre sólidos de Platão.
Após a montagem do dodecaedro regular, o grupo de alunos foi levado à sala de informática,
em um ambiente computacional, com o auxílio do software de geometria dinâmica Cabri-3D,
para reproduzir a montagem com o material manipulativo, utilizando as ferramentas:
“dodecaedro regular”, “reta perpendicular ao plano por um ponto”, “ponto médio”, “plano”,
“recorte do poliedro”, “simetria central”, “rotação”. E, finalmente, utilizaram a ferramenta
“volume” para encontrar o volume do dodecaedro regular.
Utilizamos, para tal atividade, as ferramentas do Cabri-3D, para a construção do
dodecaedro regular. Com as ferramentas adequadas do Cabri-3D, os alunos tiveram que
realizar cortes no dodecaedro regular a fim de obter somente uma pirâmide de base
pentagonal. Com cortes no dodecaedro regular conseguiram a pirâmide de base pentagonal
que é uma das faces do dodecaedro regular. Para dar continuidade, foi necessário traçar uma
reta perpendicular à base da pirâmide pentagonal regular. Com a ferramenta “simetria
central”, tiveram que encontrar outra pirâmide com o vértice comum simétrica à primeira.
Com o auxílio de retas que passam pelas arestas laterais da pirâmide de base pentagonal
regular, os alunos utilizaram a ferramenta “rotação de sólidos em torno de uma reta” para
montar o sólido do dodecaedro regular, que estava previamente representado na montagem
feita com material manipulativo.
Para que os alunos pudessem construir o dodecaedro regular, foram disponibilizados
dois jogos de materiais do kit. Além disso, para que os alunos utilizassem software Cabri-3D,
foram feitas aulas experimentais para que pudessem ter familiaridade com o software e
desenvolver a atividade adequadamente. Os alunos deveriam, dessa forma, compreender as
instruções passadas pelo professor e seguir os passos recomendados pela atividade para
chegar à construção propriamente dita.
Encontramos em Mello (2009) a descrição do processo de aprendizagem que
utilizamos neste trabalho.
Para analisar o processo de aprendizagem, a Teoria das Situações Didáticas de
Brousseau (Didática das matemáticas – Jean Brun) decompõe esse processo em quatro
fases diferentes. Nessas fases interligadas, podemos observar momentos de ação, de
formulação, de validação e de institucionalização.
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- Dialética da ação: consiste em colocar o aprendiz numa situação de ação,
apresentando-lhe um problema cuja melhor solução é o conhecimento a ensinar. O
aluno deve poder agir sobre essa situação e ela deve lhe retornar informações sobre
sua ação.
- Dialética da formulação: nesta fase o aluno troca informações com uma ou várias
pessoas. E o momento em que o aluno ou o grupo de alunos explicita, por escrito ou
oralmente, as ferramentas que utilizou e a solução encontrada.
- Dialética da validação: é esse momento que o aprendiz deve mostrar a validade do
modelo por ele criado submetendo a mensagem matemática ao julgamento de um
interlocutor.
- Dialética da institucionalização: são situações em que o professor fixa
convencionalmente e explicitamente o estatuto cognitivo do saber. Depois da
institucionalização, feita pelo professor, o saber torna-se oficial e os alunos devem
incorporá-lo a seus esquemas mentais, tornando-o disponível para utilização na
resolução de problemas. (Mello, 2009, p.25-26)
Ao desenvolver esta estratégia de ensino, não temos certeza da ordem que ocorrerão
cada uma das dialéticas citadas, como também não há como precisarmos de que a
metodologia aplicada será suficiente para que tenhamos a validação completa. Apenas
podemos afirmar que a estratégia aplicada desenvolverá nos alunos melhorias na compreensão
dos saberes matemáticos envolvidos na atividade.
METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS
Estamos propondo uma atividade com o dodecaedro regular de forma diferente. Neste
trabalho, montamos o dodecaedro regular para fazer com que os alunos pudessem participar
ativamente do processo de construção do conhecimento sobre os sólidos de Platão, neste caso,
o dodecaedro regular. Além disso, o aluno pôde reconhecer que no dodecaedro regular
podemos observar pirâmides de bases poligonais regulares.
Para a realização desta atividade, foi convidado um grupo de 10 alunos de uma sala de
2ª série do Ensino Médio, dividido em dois grupos de 5 alunos. Cada grupo recebeu,
juntamente com o kit de material, um roteiro para o desenvolvimento da construção do sólido.
O kit de material está apresentado a seguir:
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Figura 1: Kit de materiais
Para a realização da atividade cada grupo de alunos recebeu um kit de material
manipulativo contendo 20 tubos de caneta esferográfica inteiros, com 13,3 cm, 30 tubos de
caneta cortados com a medida de 9,5 cm, um rolo de barbante médio, uma tesoura e um arame
fino para auxiliar a passagem do barbante por dentro do tubo de caneta, conforme a figura 1.
O arame tem um laço em uma das extremidades, estrategicamente confeccionado para passar
o barbante pelo tubo de caneta, e uma folha impressa com as orientações básicas para a
montagem do dodecaedro regular, como mostramos a seguir.
E. E. PROFª INAH DE MELLO
DATA __ / __ / __
O grupo está recebendo um kit contendo 20 tubos de caneta esferográfica com 13,3 cm de
comprimento, 30 tudo de canetas, cortados com 9,5 cm de comprimento, uma tesoura, um arame
médio com um arco na ponta para auxiliar no momento de passar o barbante pelo tubo de caneta.
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Vocês deverão montar o dodecaedro regular com este material e, para isso, devem seguir as
recomendações a seguir:

Pegar um pedaço de barbante com comprimento suficiente para passar por três tubos de
caneta e ainda sobrar uma boa quantidade que possa passar por outros dois tubos de caneta;

Procurar montar uma pirâmide de base pentagonal, pois, conforme observado na figura
acima, todas as pirâmides têm bases pentagonais.

Seguir o mesmo procedimento até conseguir montar todo o dodecaedro regular.
Neste material consta uma imagem do dodecaedro regular construído com o software
Cabri-3D, além de algumas recomendações para que iniciassem montando primeiro uma
pirâmide de base pentagonal. Caso o grupo não conseguisse iniciar a montagem do
dodecaedro regular, o professor pesquisador deveria orientar sobre a passagem do barbante
pelos tubos de caneta, para que a montagem da primeira pirâmide com 5 tubos de caneta de
caneta de 13,3 cm e 5 tubos de caneta cortados com 9,5 cm fosse concluída.
O objetivo desta atividade foi fazer com que os alunos construíssem o dodecaedro
regular com os tubos de caneta para facilitar a compreensão e a visualização em três
dimensões. Posteriormente, eles tiveram que reproduzir a construção do dodecaedro regular,
utilizando os recursos do software Cabri-3D. Finalmente, os alunos encontraram o volume do
dodecaedro utilizando a ferramenta – “volume” no Cabri-3D.
A seguir, apresentamos na figura 2 o dodecaedro regular montado com tubos de
caneta:
Figura 2: Dodecaedro montado com tubos de caneta
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Observando a figura 2, percebemos que possui 12 pentágonos regulares. Verificamos
que cada pentágono regular é formado por 5 tubos de caneta de 13,3 cm de comprimento e 5
tubos de caneta com 9,5 cm de comprimento. Para montar o dodecaedro regular, o aluno teve
que perceber que foi necessário passar o barbante pelo mesmo tubo de caneta mais de uma
vez, e que os tubos de caneta internos, de 13,3 cm, deveriam ser utilizados nas pirâmides
adjacentes a fim de montar completamente o dodecaedro regular. Além disso, foi possível
visualizar que os pentágonos regulares são simetricamente opostos um ao outro, em relação
ao centro da representação do sólido.
Como encontramos neste sólido uma pirâmide de base pentagonal regular, podemos
questionar o aluno da seguinte maneira: Como encontrar o volume deste sólido, observando
que se trata de 12 pirâmides de base pentagonal regular?
Baseados nesta ideia, recorremos ao software Cabri-3D para montar o mesmo sólido
na tela do computador e encontrar o volume por intermédio da ferramenta “volume”.
A situação problema e o Cabri-3D
Para a montagem do dodecaedro regular, conforme foi feito com os tubos de caneta,
necessitamos de uma preparação antecipada. Partimos do dodecaedro regular, utilizando a
ferramenta “plano”, traçamos um plano que passa pelo centro do dodecaedro. Neste caso, o
aluno percebeu que o plano passou, necessariamente, por três pontos simétricos em relação ao
centro do sólido. Cortou-se o dodecaedro regular com a ferramenta “corte do dodecaedro”.
Traçaram-se dois segmentos entre os pontos simétricos do corte, a fim de encontrar o centro
do sólido. Escolhendo uma das faces do dodecaedro, cortou-se mais quatro vezes o sólido
para encontrar a pirâmide de base pentagonal.
Para encontrar o volume da pirâmide após o corte, o aluno teve que utilizar a
ferramenta “volume” para obter o volume da pirâmide de base pentagonal. A seguir, utilizou
as ferramentas “simetria central” e “rotação” para formar novamente o dodecaedro regular,
mas, naquele momento, a partir da pirâmide de base pentagonal, conforme foi montado com
os tubos de caneta.
Segue a representação dos cortes realizados com o Cabri-3D no dodecaedro regular
indicado na figura 3:
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Figura 3: Cortes no dodecaedro regular no Cabri-3D
Na figura 4, apresentamos o dodecaedro regular que o aluno deveria montar:
Figura 4: Dodecaedro montado a partir da pirâmide de base pentagonal regular no Cabri-3D
Finalmente, o aluno teve que encontrar o volume do dodecaedro regular, percebendo
que o mesmo foi montado com 12 pirâmides de base pentagonal regular, encontrando assim o
seu volume.
Análise dos resultados
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Durante a realização da atividade, cada grupo teve dúvidas em relação ao início da
montagem do dodecaedro regular com o material manipulativo. Foi feita uma recomendação
inicial para que os grupos conseguissem iniciar a passagem do barbante nos tubos de caneta.
Foi recomendado aos alunos que fizessem amarrações periódicas, para que a montagem
apresentasse uma firmeza adequada a fim de que pudessem concluir as amarrações dos
barbantes.
A dificuldade dos alunos estava em conduzir a montagem. Os grupos não notaram
inicialmente que os tubos de caneta menores teriam que estar distribuídos de cinco em cinco
para formar o pentágono. A manipulação dos tubos de caneta foi complicada até que os
alunos conseguissem manipular o material para montar as pirâmides. Eles só conseguiram
firmeza no procedimento correto para a atividade depois que conseguiram montar a primeira
pirâmide.
Como o objetivo desta atividade foi fazer com que o grupo de alunos montasse o
dodecaedro regular com material manipulativo, podemos afirmar que tal meta foi atingida.
Sendo assim, notamos que nesta fase, conforme esperávamos, os alunos desenvolveram a
percepção e a visualização tridimensional. Para a reprodução do procedimento em um
ambiente de geometria dinâmica Cabri-3D, a percepção dos resultados pelos alunos foi
trabalhosa, necessitando de auxílio do professor. Finalmente, ao calcular o volume do sólido
com a ferramenta “volume”, pudemos observar que os alunos utilizaram esse recurso de
forma adequada.
Baseados no processo de aprendizagem da Teoria das Situações Didáticas de
Brousseau, notamos que os alunos se posicionaram na dialética da ação, ou seja, se depararam
com o problema, que foi a montagem do dodecaedro regular, e conseguiram formar o
dodecaedro com tubos de caneta. Observamos que os alunos também se posicionam na
dialética da formulação, pois trocaram ideias no grupo, oralmente ou por apoio a manipulação
do material, para encontrar a solução para o problema. A fase da validação, porém, foi
atingida parcialmente, pois os alunos apresentaram dificuldades na utilização das ferramentas
do Cabri-3D, sendo necessária a intervenção do professor para montagem do dodecaedro
regular. Não chegaram à fase da institucionalização pelas dificuldades apresentadas nas fases
anteriores. Este relato de experiência foi aplicado em períodos de duas horas por dia,
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realizados em 2 encontros. A atividade foi importante para que os alunos ampliassem seus
conhecimentos geométricos sobre sólidos de Platão e para que houvesse a percepção de forma
mais concreta de figuras tridimensionais.
Referências
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto/Secretaria de Educação Média e
Tecnológica. PCN+ - Ensino Médio. Brasília: MEC, 2002.
BRASIL, Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Médio – PCNEM - MEC - Brasília, 2000.
LORENZATO, Sergio, O laboratório de ensino de matemática na formação de professores.
MELLO, Elisabete Marcon, Análise de dificuldades de alunos com o algoritmo da subtração,
p. 23-26.
SÃO PAULO, Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas
tecnologias. SEE-2010.