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CBPF – IX ESCOLA - 2012
FUNDAMENTOS E MÉTODOS DE RENORMALIZAÇÃO EM TQC
Renormalização: uma Introdução
Diagramas de Feynman e a Teoria dos Grafos: Árvores e Florestas
Regularização Covariante de Calibre (DimReg) e Renormalização
Esquema de Renormalização BPHZ (Bogoliubov-Parasiuk-Hepp-Zimmermann) no Espaço dos
Momentos
Renormalização Iterativa EG (Epstein-Glaser) no Espaço das Coordenadas
A Estrutura Algébrica da Renormalização: Álgebras de Hopf na Co-homologia de Hochschild
Esquema de Renormalização de Taylor-Lagrange: Um Método mais Geral
Armando Flavio Rodrigues – ICEx/UFF/Volta Redonda
1
Conteúdo
1.
RENORMALIZAÇÃO: UMA INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................................................. 6
1.1.
AS ORIGENS: A QED E A POLARIZAÇÃO DO VÁCUO (DYSON, SCHWINGER, FEYNMAN, TOMONAGA)............................................................................. 6
1.2. PRIMEIRA GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO: O GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO PERTURBATIVA NA TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS (STÜCKELBERG,
PETERMANN, GELL-MANN, LOW, KENNETH WILSON)................................................................................................................................................................ 12
1.3. SEGUNDA GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO: O (SEMI)GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO VARIACIONAL NA FÍSICA ESTATÍSTICA (KADANOFF, WILSON,
MIGDAL, E OUTROS) .................................................................................................................................................................................................................... 21
1.3.1. O MODELO DE ISING LINEAR ......................................................................................................................................................................................... 22
2.
DIAGRAMAS DE FEYNMAN E TEORIA DOS GRAFOS ................................................................................................................................................................ 26
3.
REGULARIZANDO DIVERGÊNCIAS UV COM RIGOR MATEMÁTICO: REGULARIZAÇÃO DIMENSIONAL .................................................................................... 38
4.
3.1.
REGULARIZAÇÃO DE PAULI-VILLARS ............................................................................................................................................................................... 39
3.2.
REGULARIZAÇÃO DIMENSIONAL ..................................................................................................................................................................................... 42
3.3.
DimReg: DEFINIÇÃO E AXIOMAS ..................................................................................................................................................................................... 53
3.4.
REPRESENTAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA IF NO ESPAÇO DE MINKOWSKI
d -DIMENSIONAL...................................................................................56
3.4.1.
PARAMETRIZAÇÃO DE SCHWINGER ....................................................................................................................................................................... 56
3.4.2.
PARAMETRIZAÇÃO DE FEYNMAN, OU FÓRMULA DE FEYNMAN ........................................................................................................................... 58
3.4.3.
MATRIZES DE DIRAC DIMENSIONALMENTE REGULARIZADAS ................................................................................................................................ 59
RENORMALIZAÇÃO BPHZ: INDEPENDÊNCIA DO REGULARIZADOR UV NO ESPAÇO DOS MOMENTOS .................................................................................. 64
4.1.
RENORMALIZAÇÃO BPHZ – UMA APRESENTAÇÃO INICIAL............................................................................................................................................. 73
4.2.
TEOREMA DE WEINBERG (POWER COUNTING THEOREM)............................................................................................................................................. 75
4.3.
A EQUAÇÃO DE DYSON-SCHWINGER .............................................................................................................................................................................. 76
2
4.4.
A RENORMALIZAÇÃO BPHZ EM DETALHE ....................................................................................................................................................................... 79
4.5. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO MÉTODO DE RENORMALIZAÇÃO BPHZ .......................................................................................................................... 98
4.6.
5.
RENORMALIZAÇÃO EG: FUNÇÕES DE GREEN POSICIONAIS .................................................................................................................................................. 110
5.1.
6.
RENORMALIZABILIDADE NO ESPAÇO DOS MOMENTOS ............................................................................................................................................... 108
RENORMALIZAÇÃO EG .................................................................................................................................................................................................. 111
5.1.1.
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA .............................................................................................................................................................................. 112
5.1.2.
TEORIA DE PERTURBAÇÕES ................................................................................................................................................................................... 114
5.1.3.
SOLUÇÃO GERAL .................................................................................................................................................................................................... 117
5.1.4.
GRAU SUPERFICIAL DE DIVERGÊNCIA, POWER COUNTING E EXEMPLOS ............................................................................................................ 119
5.1.5.
EQUIVALÊNCIA ENTRE OS MÉTODOS BPHZ E EG ................................................................................................................................................. 120
ESTRUTURA MATEMÁTICA DOS GRAFOS DE FEYNMAN: ÁLGEBRAS DE HOPF ..................................................................................................................... 125
6.1.
INTEGRAIS DE FEYNMAN COMO PERÍODOS.................................................................................................................................................................. 125
6.1.1.
INTRODUÇÃO......................................................................................................................................................................................................... 125
6.1.2.
PERÍODOS .............................................................................................................................................................................................................. 127
6.1.3.
EXPANSÕES DE INTEGRAIS DE FEYNMAN EM SÉRIES FORMAIS DE LAURENT ..................................................................................................... 134
6.2.
ÁLGEBRAS DE HOPF NA TEORIA DA RENORMALIZAÇÃO NO ESPAÇO DOS MOMENTOS ............................................................................................. 141
6.2.1. ÁLGEBRA DE HOPF – UMA INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................... 141
6.2.2.
BUSCANDO A ÁLGEBRA DE HOPF ............................................................................................................................................................................. 143
6.2.2.1.
O MODELO UNIVERSAL DA ÁLGEBRA DE HOPF DAS ÁRVORES ENRAIZADAS .................................................................................................. 146
6.2.2.2.
A ÁLGEBRA DE HOPF DAS ÁRVORES ENRAIZADAS ............................................................................................................................................ 151
6.2.2.3.
A ÁLGEBRA DE HOPF DOS GRAFOS DE FEYNMAN SEM SUBDIVERGÊNCIAS ..................................................................................................... 154
3
B
6.2.3.
O OPERADOR ENXERTO
NA CO-HOMOLOGIA DE HOCHSCHILD ................................................................................................................... 155
6.2.3.
SUBÁLGEBRAS DE HOPF E AS EQUAÇÕES QUÂNTICAS DE MOVIMENTO DE ....................................................................................................... 157
DYSON-SCHWINGER (OU DE SCHWINGER-DYSON) .............................................................................................................................................................. 157
6.3.
7.
ÁLGEBRAS DE HOPF NA TEORIA DA RENORMALIZAÇÃO NO ESPAÇO DAS POSIÇÕES .................................................................................................. 160
6.3.1.
REVISITANDO A RENORMALIZAÇÃO EG ................................................................................................................................................................ 161
6.3.2.
A ÁLGEBRA DE HOPF DAS ÁRVORES ENRAIZADAS NA RENORMALIZAÇÃO EG .................................................................................................... 163
A ESTRUTURA MATEMÁTICA DA RENORMALIZAÇÃO COMO UMA ÁLGEBRA DE HOPF. ...................................................................................................... 165
7.1.
INTRODUÇÃO................................................................................................................................................................................................................. 165
7.2.
CORREÇÕES DE VÉRTICES ............................................................................................................................................................................................. 171
7.2.1.
PRIMEIRA ITERAÇÃO............................................................................................................................................................................................. 180
7.2.2.
FATORAÇÃO .......................................................................................................................................................................................................... 183
7.3.
DIVERGÊNCIAS SUPERPOSTAS ....................................................................................................................................................................................... 188
7.3.1.
7.4.
8.
UM MODELO SIMPLIFICADO DE TQC ................................................................................................................................................................... 189
ALGUNS DETALHES TÉCNICOS ....................................................................................................................................................................................... 193
7.4.1.
FATORES DE FORMA ............................................................................................................................................................................................. 193
7.4.2.
OUTROS GRAUS DE DIVERGÊNCIA........................................................................................................................................................................ 194
O MÉTODO TL (ESQUEMA DE RENORMALIZAÇÃO TAYLOR-LAGRANGE) .............................................................................................................................. 197
8.1.
LIGHT-FRONT DYNAMICS (LFD): UMA PROPOSTA DE DIRAC COMO MOTIVAÇÃO ORIGINAL ...................................................................................... 199
8.2.
CAMPOS COMO DISTRIBUIÇÕES VALORADAS EM OPERADORES (DVOP) E PARTIÇÕES DA UNIDADE (PU) COMO FUNÇÕES DE TESTE ..................... 201
8.3.
DO MÉTODO EG APLICADO À LFQFT (LIGHT-FRONT QUANTUM FIELD THEORY) AO MÉTODO TL: 2006-2011 ........................................................... 203
4
8.3.1
9.
10.
ALGUNS RESULTADOS SURPREENDENTES EM LFQFT. .............................................................................................................................. 205
APÊNDICE A ........................................................................................................................................................................................................................... 207
APÊNDICE B ....................................................................................................................................................................................................................... 212
5
1.
RENORMALIZAÇÃO: UMA INTRODUÇÃO
1.1. AS ORIGENS: A QED E A POLARIZAÇÃO DO VÁCUO (DYSON, SCHWINGER, FEYNMAN, TOMONAGA)
É famoso o fato de que Hans Bethe, em 1947, em uma viagem de trem retornando da conferência de Shelter Island, na
qual o experimentalista americano e futuro prêmio Nobel Willis Lamb apresentou um deslocamento das linhas espectrais do
átomo de hidrogênio inexplicável pela equação relativística de Dirac, calculou (não-relativisticamente!) a diferença de
energia entre os orbitais eletrônicos 2s e 2 p (“The Electromagnetic Shift of Energy Levels”, Phys. Rev. 72 (1947) 339).
Nas palavras de Steven Weinberg em seu livro de referência Quantum Theory of Fields, ali nascia a renormalização, em seu
viés perturbativo, a qual seria a pedra de toque que faltava para o desenvolvimento posterior da Eletrodinâmica Quântica
(QED). Na época uma teoria desacreditada até mesmo por seu criador em 1927, P. A. M. Dirac, uma vez que qualquer
cálculo mais acurado que se pretendesse realizar levava quase sempre a resultados infinitos, tal como acontecera há meio
século com a eletrodinâmica clássica em relação à catástrofe do ultravioleta da radiação de corpo negro, a Teoria Quântica
de Campos (TQC) ganharia novo alento e novas ferramentas para se transmutar na teoria mais bem-sucedida da física do
século XX. E esse salto, necessário e vitorioso, se deveu apenas a um conceito, hoje óbvio, mas cuja construção rigorosa
exigiu décadas de trabalho árduo de cientistas de primeira linha: as teorias físicas microscópicas devem se adaptar à escala
em que se dão as interações, ou, citando Weinberg mais uma vez, devem ser “teorias efetivas”. Até então, subsistia
naturalmente no meio científico o pré-conceito mecanicista herdado do século XIX que estabelecia que uma teoria física
deveria ser totalizante, explicando os fenômenos naturais de uma única maneira e forma, sem concessões à... própria
Natureza.
O primeiro registro sistemático da renormalização pode ser encontrado em 1949, em um artigo de Freeman Dyson
(Phys. Ver. 75 (1949) 1736), incluído hoje, assim como o de Bethe, no livro Selected Papers in Quantum Electrodynamics,
compilado por Julian Schwinger. À época aluno de Bethe, Dyson recebeu deste em 1947 a tarefa de desenvolver a versão
relativística – a correta – dos cálculos do Lamb shift. Embora Dyson não tenha sido lembrado na premiação do Nobel em
1964, dedicada a Sin-itiro Tomonaga, Julian Schwinger e Richard Feynman, seu papel – principalmente como matemático 6
foi fundamental para a difusão da versão nascente da QED entre a comunidade científica, e para o aprofundamento do
conceito ainda embrionário e bastante obscuro de renormalização. O próprio termo, usado pela primeira vez em 1947 pelo
físico holandês Hendrik Kramers, na mesma conferência de Shelter Island à qual Bethe estava presente, é remanescente dos
primórdios da TQC, como sendo uma “re-normalização” das soluções da equação relativística de Dirac análoga a uma
“segunda quantização”, ou “requantização”, das soluções da equação não-relativística de Schrödinger. Explicando melhor
essa analogia: quando se fala em normalização de uma função de onda   r,t  em Mecânica Quântica, isto significa, na
interpretação probabilística, considerar que o vetor de estado correspondente tem norma unitária:    1 . No conceito
inicial de renormalização, nas palavras de Bethe, “... o efeito da massa eletromagnética infinita de um elétron pontual pode
ser eliminado pela identificação adequada dos termos na teoria da radiação de Dirac”. Ou, mais explicitamente ainda:
“devemos subtrair da expressão teórica” [da auto-energia de um elétron ligado em um orbital] “a expressão correspondente
para um elétron livre com a mesma energia cinética. O resultado divergirá então apenas logaritmicamente” [e não
linearmente] “na teoria não-relativística”. [E como] “na teoria de Dirac a auto-energia do elétron diverge logaritmicamente,
o resultado será convergente após a subtração da expressão do elétron livre”. É fácil perceber que os argumentos intuitivos
de Bethe eram fortemente duvidosos, e se apoiavam apenas na suposta igualdade de dois termos logaritmicamente
divergentes, cada qual em uma teoria diferente. Mas o resultado numérico de 1040 MHz coincidia quase exatamente com o
shift de 1000 MHz encontrado no experimento de Lamb, e era isso o que mais importava em 1947.
Sabemos hoje que não se tratava apenas de encontrar um limite daquela equação de Schrödinger para N partículas
“segundo-quantizada” para campos no espaço-tempo quando se aumentasse o número de graus de liberdade da teoria
 N    . O véu que a equação de Dirac levantou revelou o vácuo quântico, onde não existe repouso nem frieza, e sim uma
dinâmica ininterrupta, em cada ponto desse espaço-tempo, de criação e destruição de partículas e antipartículas de matéria,
os férmions, sendo suas interações por sua vez mediadas por partículas de força, os bósons – dos quais pelo menos aqueles
associados à força nuclear fraca, W  ,W  , Z 0 , podemos afirmar que possuem massa (!?) – e esse vácuo se impõe como um
pano de fundo totalmente novo, e essencial à interpretação e análise dos eventos físicos microscópicos.
As próprias existências do vácuo quântico e de sua polarização, descritas acima, não foram a princípio uma
unanimidade entre pelo menos dois dos criadores da nova teoria: Feynman levou um certo tempo para aceitá-las, enquanto
7
Schwinger foi desde o início um propugnador delas. E o que tem isso a ver com renormalização, com a escala de distância
de observação da partícula? Às distâncias atômicas (1010 m ) ou maiores, a carga de um elétron é aquela medida por Robert
Millikan, e o valor numérico da constante de estrutura fina  , portanto, pode ser considerado como 1 137 . Já na década de
90, experimentos do LEP/CERN a 200GeV - isto é, em uma escala de distância cinco ordens de grandeza menor obtiveram para  um valor próximo a 1 127 , o que significa uma carga eletromagnética maior. Essa diferença de resultados
pode ser justificada qualitativamente pela seguinte descrição intuitiva:
um elétron não existe sozinho no vácuo quântico, está sempre imerso em um condensado de elétrons, pósitrons
e fótons virtuais, em constante interação de alta energia e em tempos não-observáveis (off-shell);
um elétron, por sua carga elétrica intrínseca, ou carga nua, atrai os pósitrons off-shell e repele os elétrons offshell, o que resulta, efetivamente, em uma blindagem de carga (charge screenning);
um elétron, a uma distância muito maior do que aquela em que se mantém a blindagem causada pela
polarização do vácuo, terá sua carga elétrica mensurável (aquela medida por Millikan) correspondente à sua carga nua já
distorcida e diminuída pelos pósitrons virtuais que o cercam;
um elétron, a uma distância menor ou igual à da blindagem da polarização, terá uma carga nua (bare charge)
de valor não-observável, que, eventualmente, a teoria interpreta como sendo um valor infinito.
Nas palavras de Dyson, “a polarização do vácuo é o efeito das flutuações do campo quantizado elétron-pósitron sobre
um dado campo de Maxwell (campo eletromagnético). O Lamb shift é o efeito do campo de Maxwell quantizado sobre um
dado elétron (a autoenergia do elétron). (...) Para obtermos uma teoria completa de ambos os efeitos, devemos quantizar
ambos os campos simultaneamente e considerar a reação de um em relação ao outro” (in Advanced Quantum Mechanics,
World Sci., 2007 – reprint das palestras dadas por Dyson na Universidade de Cornell, em 1951).
Partículas virtuais originadas pelas flutuações quânticas do vácuo possuem momentos lineares arbitrariamente altos –
por isso não são observáveis diretamente, sua vida média é muito pequena -, e naturalmente levam ao surgimento de termos
divergentes em uma expansão perturbativa, as chamadas divergências UV (no “ultravioleta”, significando altas frequências
ou pequenos comprimentos de onda de Compton C  h p ). Felizmente, embora não deixe de ser um resultado contraintuitivo e mesmo surpreendente, essas divergências podem em geral ser eliminadas, porque são restritas a valores de alguns
8
poucos parâmetros: as massas nuas e as constantes de acoplamento, ou, no caso das teorias ditas renormalizáveis, os
contratermos adicionados à densidade lagrangiana de interação através de algum método de regularização. Veremos mais
adiante com mais detalhe a regularização dimensional, que conserva as propriedades de invariância de calibre e de
covariância, ou invariância de Lorentz, da teoria.
Um grande obstáculo conceitual que retardou a descoberta da renormalização é oriundo do fato de que as teorias
quânticas provêm diretamente das teorias clássicas, nas quais o vácuo é perfeito, inerte e vazio. Logo, os parâmetros físicos
associados às partículas nas funções lagrangianas e hamiltonianas clássicas, como carga elétrica e massa, são também
diretamente transpostos para as densidades lagrangianas e hamiltonianas quânticas, isto é, são a carga nua e a massa nua
clássicas e intrínsecas que deixam de ter sentido físico – ou seja, não são observáveis – uma vez imersas no vácuo quântico
inerente a uma teoria quântica relativística. A necessidade de se lidar, não com esses parâmetros intrínsecos, mas com as
cargas e massas efetivas, mensuráveis, exige um método para que estas sejam extraídas das primeiras, e esse método é a
renormalização. E, como em ciência um método bem-sucedido em uma determinada área gera naturalmente tentativas de
estendê-lo a outras áreas carentes de métodos e de teorias, resulta que existem hoje vários métodos de renormalização
derivados do original, que foram e vêm sendo aplicados com sucesso em áreas distintas. Uma classificação mínima possível
em três classes dessas distintas renormalizações é proposta pelo físico russo Dmitry V. Shirkov, de acordo com as
respectivas áreas de aplicação:
1 - Na TQC e em alguns sistemas macroscópicos unidimensionais;
2 - Em modelos de turbulência, de campos contínuos de spin, e sistemas análogos;
3 - Em modelos de polímeros e alguns sistemas com percolação.
Veremos a seguir os exemplos de cálculo de renormalização da massa m e de carga e do elétron, representado pelo
campo fermiônico  , em um campo eletromagnético A , através das séries, ou transformações de Dyson.
Usando a regularização de Pauli-Villars, invariante de calibre embora não covariante, Dyson obteve uma expressão para os
contratermos finitos adicionados à lagrangiana inicial de interação análoga à seguinte expressão na representação de
9
coordenadas (a notação :  : corresponde à ordenação temporal dos produtos de operadores, z1  z2 , z3 e  m são constantes
finitas):
  e  z1  1 :  x  Aˆ  x   x  :  m :  x   x  : 
i 
 


  z2  1  :   x   n n  n  n  x   : m :  x   x  : 
2 
x
x


 1 A  x  A  x  1  A  
  z3  1  : n m
:    .
2

x

x
2  x  

m
Substituindo agora a representação da transformada de Fourier
1
 Aˆ 
  p  Aˆ  q   p   p  q  p  dqdp
4 
 2 
resulta a expressão correspondente no espaço dos momentos
  p    z1  1 e : Aˆ :   z2  1 :  p  p  m    p  :  m :  p    p  : 
1
  z3  1 : Am  p   g mn p 2  p m p n  An   p  :
2
Sejam agora S  p  e D  p  as funções de Green causais, respectivamente, do elétron e do fóton virtuais,   p  ,  p  os
propagadores do pósitron e elétron, respectivamente, e A  p  o propagador do fóton. Os propagadores, a massa e a carga
renormalizados ( e, m são os valores observáveis da carga e da massa do elétron) obedecerão à transformação de Dyson, que
tem a seguinte forma:
S  p   z21S  p  , D  p   z31D  p  , e  z31 2e,
  p   z21 2  p  ,   p   z21 2  p  , A p   z31 2 A  p  , m  m   m .
n
2
10
É importante notar que, para que o significado físico da massa e da carga renormalizadas seja preservado, as constantes
arbitrárias devem obedecer a certas condições de restrição, que são dadas por
0  m   m  , 0  z3   .
A generalização desse conjunto de operações multiplicativas e de subtração, uma vez que estas apresentam propriedades de
um grupo de Lie, recebeu o nome de Grupo de Renormalização (RG), embora seus elementos nem sempre possuam inverso
– e neste caso, matematicamente, formem na verdade um semigrupo, como será mostrado mais à frente.
A primeira categoria de RG citada por Shirkov corresponde á renormalização no contexto da TQC, fundada por Stückelberg
e Peterman em 1953, como veremos a seguir. A segunda foi descoberta em sua forma qualitativa por Leo Kadanoff em
1966, e desenvolvida quantitativamente, a partir de 1971, por K. Wilson e outros. A terceira diz respeito ao estudo de uma
certa invariância de escala no estudo da turbulência de um fluido, e foi estabelecida avant la lettre pelo matemático russo
Andrei Nikolaevitch Kolmogorov, em 1941, portanto, antecedendo as demais. Kolmogorov definiu inicialmente um
comprimento fixo mínimo universal, a escala de comprimento de Kolmogorov, comum a todos os tipos de turbulência, e
essa invariância de escala, que pode ser obtida por uma simples análise dimensional, foi posteriormente associada através da
teoria KAM a um grupo de renormalização próprio de uma teoria de campo médio para transições de fase em um sistema
magnético macroscópico de spin contínuo. A teoria KAM, assim chamada por se originar do teorema de KolmogorovArnold-Moser, estabelecido em 1963, resolve o problema de pequenos divisores próprio à Teoria de Perturbações da
Mecânica Clássica. Essa terceira versão do RG não será estudada aqui, por dois motivos principais: (a) a teoria de campo
médio para as transições de fase está definitivamente ultrapassada (“Renormalization Group”, Giuseppe Benfatto and
Giovanni Gallavotti, Physics Notes 1, Princeton N. J., 1995); (b) seu distanciamento dos objetivos deste curso é evidente.
11
1.2. PRIMEIRA GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO: O GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO PERTURBATIVA NA
TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS (STÜCKELBERG, PETERMANN, GELL-MANN, LOW, KENNETH WILSON)
Na TQC perturbativa, o Grupo de Renormalização (RG) está usualmente associado com uma possibilidade de
representar uma dada quantidade física F  Q 2 , q  calculada de acordo com uma prescrição de renormalização definida pela
forma F  Q 2  2 , g   (por simplificação, mas sem perda de generalidade, será considerado o caso de massa nula), onde a
constante de acoplamento renormalizada g  está associada a um determinado ponto fixo de renormalização (ou escala de
referência de momentum) Q   . A equação diferencial do RG é usualmente obtida da condição de que F não dependa da
escolha de  :
dF
 0.
d
Por seu lado, a constante de acoplamento g  depende de  segundo o descrito por uma função específica g  Q 2  ,
chamada de acoplamento efetivo, ou constante efetiva de acoplamento g  g   2  .
A equação diferencial ordinária acima pode ser escrita então na forma de uma equação diferencial parcial
 

 x x    g  g  F  x, g   0


onde x  Q2  2 , g  g  e   g  , o gerador do grupo, é usualmente referido como a função beta, e se define como
  g   z
g  z 
.
z z  2
12
O acoplamento efetivo g deve ser considerado como uma função de dois argumentos g  x  Q2  2 , g   com a condição de
contorno g 1, g   g , resultando a equação diferencial parcial não-linear
g  x, g 
 

x
   g  x, g   .
 x x    g  g  g  x, g   0 

x


Que nada mais é do que uma equação característica de autovalores para a equação diferencial em F  x, g  inicial. Para
empregar este formalismo, a função   g  deve ser conhecida a priori, usualmente através de uma teoria perturbativa
renormalizada.
Uma equação diferencial análoga foi descrita por E. C. G. Stückelberg e A. Petermann em um artigo (Helv. Phys.
Acta 26 (1953) 499) que mostrava um método de eliminação de divergências UV na QED, onde a função beta era função da
constante de acoplamento e (a carga nua do elétron) e notada como uma certa h  e  que era por sua vez um operador de Lie
gerador de um grupo de renormalização contínuo. No ano seguinte, M. Gell-Mann e F. E. Low (Phys. Rev. 95 (1954)
1300), partindo das equações diferenciais de Dyson que geravam sobre a lagrangiana transformações de renormalização
usando o método de regularização de Pauli-Villars, obtiveram um algoritmo que permitia uma análise quantitativa do
comportamento das interações em QED a pequenas distâncias, apontando para duas possibilidades, finita e infinita, de
renormalização da constante de acoplamento, ou carga nua e . A função geradora do grupo foi chamada por eles de   e2  ,
e a amplitude do propagador transversal renormalizado do fóton de d  x, e2  , resultando na equação integral
e2 d
dy
ln x  
,
2   y
e
onde   e  
2

 e 2 d  x, e 2 

.
 ln x
x 1
A fixação da notação e do nome atuais da função beta resultou de dois artigos, de C. G. Callan (Phys. Rev. D2 (1970) 1541)
e K. Symanzik (Commun. Math. Phys. 18 (1970) 227), que serviram de referência para a descoberta da liberdade assintótica
(D. Gross e F.Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1343, Phys. Rev. D 8 (1973) 3633, Phys. Rev. D 9 (1974) 980; H. David
13
Politzer, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1346) e da renormalizabilidade das teorias de Yang-Mills (G. ‘t Hooft e M. Veltman,
Nucl. Phys. B44 (1972) 189, Nucl. Phys. B50 (1972) 318), responsáveis pela primeira formalização da Cromodinâmica
Quântica (QCD).
É ilustrativo observar que, ainda em 1965, a primeira edição do livro “Relativistic Quantum Fields” (MacGraw-Hill,
1965) de James D. Bjorken e Sidney D, Drell, que se tornaria uma referência para gerações de físicos de partículas, se
encerrava com uma avaliação não muito confiante dos métodos do grupo de renormalização:
“... as conclusões baseadas nos argumentos do grupo de renormalização que digam respeito ao comportamento da teoria,
quando somada em todas as ordens, são perigosas e devem ser vistas com a devida cautela”.
Mostraremos a seguir a sistematização do RG segundo Kenneth Wilson, empregando o formalismo integral funcional,
e que leva naturalmente a um conceito essencial ao entendimento do método: o de fluxos do RG, que por sua vez está
diretamente associado ao acoplamento variável de escala (scale-variable running coupling).
Na abordagem integral funcional da teoria de campos os graus de liberdade são variáveis de integração. Desta forma,
as divergências UV podem ser estudadas isolando-se a dependência da integral funcional em relação aos graus de liberdade
do campo a pequenas distâncias. Para fins de simplificação, isto será exemplificado qualitativamente com o auxílio do toy
model construído pela teoria  4 , com um campo neutro escalar em d dimensões do espaço-tempo plano, usando-se um
cutoff  fixo para os momentos lineares. A expressão do gerador funcional G  J  para as funções de Green da teoria  4 é
escrita como
i   J 

 i   J 
G  J    e 
    d  k   e 
.
 k

Para impormos o cutoff, basta restringirmos a integração sobre   k  para k   , fazendo   k   0 para k   . Este
procedimento se traduz em localizar a influência das flutuações do vácuo à região de momentos arbitrariamente grandes (ou
distâncias arbitrariamente pequenas) onde k   . Antes, porém, precisamos eliminar a possibilidade, existente no espaço de
14
Minkowski, de existirem componentes de k do tipo luz (lightlike) arbitrariamente pequenas, mesmo que as componentes
reais k 2 sejam arbitrariamente grandes. Para isso, efetuamos uma rotação de Wick t  it no integrando, e passamos a
trabalhar no espaço euclidiano, tendo agora a certeza de que a condição k   nos dá realmente o resultado esperado (um
outro bônus dessa transposição do problema para o espaço euclidiano é que obtemos uma integral funcional que pode
também ser empregada na descrição em mecânica estatística de um sistema contínuo de spins que forma um magneto
macroscópico, como o modelo de Ising – uma outra vertente do método de renormalização que veremos mais à frente).
Nesse caso, a integral, simplificada para o caso sem fonte externa J  0 , será

2
1 2 2  4 
d 1
Geucl      exp   d x       m     , onde      d  k  .
2
4!  
k 
2

Vamos dividir agora as variáveis de integração   k  em duas partes. Definindo um fator b  1, os graus de liberdade com
grandes momentos sobre as quais faremos a integração corresponderão à região   k  | b  k   . Podemos então definir
a nova variável
 k , b  k  
ˆ  k     
,
k  b
0,
e uma outra complementar
 k , k  b
 k     
.
k  b
0,
Logo, podemos fazer a substituição na integral     ˆ , e obteremos a nova expressão
2
2
4

1

1
Geucl     ˆ exp    d d x      ˆ  m2   ˆ    ˆ  
2
4!
2








15
2
1
ˆ  1 m2ˆ2    1  3ˆ  1  2ˆ2  1 ˆ3  1 ˆ4   




  .

2
2
6
4
6
4!

 


Duas observações: todos os termos independentes de ˆ estão agrupados em   , e, uma vez que as componentes de
ˆ são nulos.
Fourier com comprimentos de onda diferentes são ortogonais, todos os termos quadráticos ˆ, 

  e 
 

ˆ exp  d d x 
 
Integrando agora sobre ˆ resulta uma expressão da forma
Neste caso,
efet
 

Geucl     b exp   d d x
efet

envolve apenas as componentes de Fourier   k  | k  b . Verifica-se que
onde F    é uma expressão polinomial em  que pode ser interpretada no espaço real
d
efet
      F    ,
como uma série de Taylor, e no
espaço complexo d original como uma série de Laurent. Os termos corretivos em potências de  cumprem o papel de
compensar a remoção das componentes ˆ com grandes momentos, fornecendo as interações entre os   k  restantes que
foram mediados previamente pelas flutuações do campo ˆ . A forma explícita da expressão integral funcional da lagrangiana
efetiva pode ser escrita de forma resumida, com o auxílio dos correspondentes diagramas de Feynman, como
2
1
1
1
    m2 2   2   soma dos diagramas conexos  .

efet 
2
2
4!
Para chegarmos à noção de fluxos do RG precisamos agora analisar mais detidamente a expressão integral do funcional
gerador onde foi definida a lagrangiana efetiva:

Geucl     b exp   d d x
Vamos definir as distâncias e momentos através das escalas
k  k b ,
efet
.
x  xb
16
A variável escalonada k  será integrada agora na região k    , e podemos reescrever esquematicamente a lagrangiana
efetiva dentro da integral como
2
1
1
4

d
d 1
d
x

d
x
1


G


  m2  m2  2       4  C     D 6   .




eucl

 eff   2
2
4

Em termos da variável espacial reescalonada x , tratando os termos além da primeira ordem como pequenas perturbações, o
que é uma aproximação válida se os acoplamentos originais são pequenos, teremos
2
4
1 2
1

d
d
d  1
2
2
2
4
4



d
x

d
x
b
1


G
b



m


m









Cb


 D 6   .










efet
eucl




 2
2
4

Façamos agora a mudança de escala do campo  da forma
   b2d 1  Geucl   .
A ação não-perturbada retoma então sua forma original, enquanto as várias perturbações sofrem uma transformação:
4
 1   2 1 2 2 1   4

d
d




d
x

d
x



m





C


 D 6   .





 efet   2 
2
4

Os novos parâmetros da lagrangiana são agora dados pelas expressões
1
m2   m2  m2  1  Geucl  b2 ,
12
       1  Geucl  bd 4 ,
2
C   C  C  1  Geucl  bd ,
2
D   D  D  1  Geucl  b2 d 6 ,
...
3
17
E assim por diante. As integrações podem ser refeitas em novas escalas, e se tomamos o parâmetro b muito próximo a 1, de
forma a que as hipersuperfícies dos momentos estejam infinitesimalmente separadas, a transformação passa a ser uma
transformação contínua. Desta forma, podemos descrever o resultado de integração sobre os momentos arbitrariamente
grandes de uma teoria de campos como uma trajetória, ou um fluxo através do espaço de todas as possíveis lagrangianas. Já
vimos que o termo grupo de renormalização advém dessas transformações continuamente geradas por operadores de Lie,
mas, uma vez que as operações de integração sobre graus de liberdade não é inversível, trata-se a rigor de um subgrupo de
renormalização.
Alguns exemplos de trajetórias do RG no espaço das lagrangianas, os chamados fluxos de RG, podem ser vistos
abaixo para a teoria de campo escalar  4 . Representam a variação das lagrangianas efetivas efet de acordo com a escala
b  1 e com o número de dimensões d , nas vizinhanças do ponto fixo correspondente à lagrangiana livre
0
.
A figura (a) mostra fluxos do grupo de renormalização para d  4 , e a (b) para d  4 . Na figura abaixo, vemos fluxos do
grupo de renormalização para d  4 .
18
A formalização completa do método de Wilson ilustrado acima foi realizada por Callan e Symanzik nos dois trabalhos já
citados, e fornece uma equação para as funções de Green renormalizadas em uma escala arbitrária de renormalização do
momentum M definida pela condição de renormalização, no espaço p dos momentos tipo espaço, dada por p 2  M 2 . A
equação de Callan-Symanzik para a QED é



  m ,n 
xi ; M , e   0 .
 M M    e  e  n 2  e   m 3  e   G
As variáveis inteiras m, n são, respectivamente, os números de campos de elétron e de fóton na função de Green G  m,n  e
 2 ,  3 as funções de escala desses campos de elétron e de fóton. Considerando a função de Green conexa de três pontos
G
1,1
   p1   p2  A  q  pode-se calcular perturbativamente a função beta da QED na ordem mais baixa da constante de
acoplamento 
1, e terá um valor positivo dado por
e3
 e 
,
12 2
ou
2
    .
3
19
A expressão da constante de acoplamento variável (running coupling) eletromagnética neste caso será
  x,   


1
ln 1 x 
3
,
onde x é proporcional à distância da interação. Logo, vê-se que o acoplamento cresce com a aproximação e vai a zero com
o afastamento, coerentemente com o comportamento de uma interação coulombiana.
No caso de um campo de Yang-Mills com constante de acoplamento g , que corresponde ao modelo de interação da QCD, a
função beta possui o valor negativo
22 g 4
2
 g   
.
3  4 2
A variação do acoplamento será dada por
g 2  x, g 2  
1
.
g 4 22
1
ln 1 x 
2
3
4

 
Esta expressão descreve o comportamento da interação como tendendo a zero na região euclidiana de espalhamento
profundo (deep scattering) x  0 , ou seja, a pequenas distâncias os bósons de Yang-Mills (glúons) atuam fracamente, o que
se traduz em um comportamento dos quarks como partículas livres, ao passo que, com o aumento do afastamento, os quarks
ficam mais ligados, o que se traduz no fenômeno do confinamento. Experimentalmente, a detecção de partículas livres por
deep inelastic scattering no interior dos prótons e nêutrons (por espalhamento inelástico de prótons e nêutrons por léptons
com energias cinéticas acima de 20 Gev, correspondendo a distâncias de interação menores que 1015 m ) antes da
confirmação da existência dos quarks prevista desde 1960/61 por Murray Gell-Mann e Yuval Ne’eman, fez com que
Feynman batizasse essas partículas provisoriamente com o nome de partons. Até que, em 1974, a descoberta do primeiro
charmônio, ou méson de quark-antiquark com sabor charm, a partícula J /  , estabeleceu definitivamente como correto o
modelo de quarks, e estes foram finalmente identificados aos pártons.
20
1.3. SEGUNDA GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO: O (SEMI)GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO VARIACIONAL NA
FÍSICA ESTATÍSTICA (KADANOFF, WILSON, MIGDAL, E OUTROS)
É comum em ciência o uso de modelos simplificados, os toy models, para o tratamento matemático de problemas
muito complexos, visando um melhor entendimento dos padrões e propriedades dos sistemas estudados, e sua posterior
expansão – ma medida do possível – aos problemas reais. Em TQC, como já vimos, especialmente no que se refere ao
estudo da renormalização e da diagramática de Feynman, as teorias  4 e  3 são frequentemente usadas, por serem ambas
exemplos de teorias renormalizáveis: a primeira em 4 dimensões e a segunda em 6 dimensões espaço-temporais. Em meados
dos anos 60, a então chamada física do estado sólido – hoje física da matéria condensada – enfrentava problemas
aparentemente insolúveis no estudo das mudanças de fase e da interpretação dos expoentes críticos correspondentes, os
quais se repetiam em valor para fenômenos de origem diversa, como supercondutividade, superfluidez, e outros, sem
explicação visível. O físico norte-americano Leo Philip Kadanoff, apoiando-se principalmente nos trabalhos do químico B.
Widom sobre a hipótese de homogeneidade da energia livre de Gibbs em um sistema nas proximidades de uma transição de
fase de segunda ordem, descobriu uma aplicação do RG a um toy model, o modelo de Ising unidimensional, extensível à
solução bidimensional de Onsager, para estudar qualitativamente as transições de fase de magnetização de um sistema
contínuo de spin nas proximidades da temperatura de Curie (“Scaling laws for Ising models near Tc ”, Leo P. Kadanoff,
Physics 2 (1966) 263-272). Cinco anos depois, Wilson aprofundou a análise de Kadanoff e extraiu dela uma teoria
quantitativa que reproduziu as equações diferenciais do RG, e permitiu calcular a solução do até então inexpugnável
“problema de Kondo” (K. G. Wilson, Phys. Rev. B4 (1971) 3174 e 3184). A generalização da ideia original de Widom e
Kadanoff par um número arbitrário de dimensões só foi construída mais tarde, por Th. Niemeijer e J. M. J. van Leeuwen (in
“Phase Transitions and Critical Phenomena” Vol.6, Academic Press, N. Y. 1976, pp 425-505). Para entender como surge
naturalmente o RG neste caso, revisitaremos rapidamente o modelo de Ising unidimensional.
21
1.3.1. O MODELO DE ISING LINEAR
O hamiltoniano do modelo de Ising 1D, considerando apenas as interações entre os vizinhos mais próximos é dado
por

N
N
i 1
i 1
 K  i i 1  h i .
Nesta equação, K é a constante de acoplamento, h   B H , onde   1 kT , H  H  z  é o campo magnético no sentido do
eixo z ,  B  e 2mec é o magneton de Bohr em unidades gaussianas,  i são os operadores de spin na direção z com
autovalores  i  1 satisfazendo a relação  i  i   i  i .
Aplicando condições de contorno periódicas, a função de partição canônica será dada por
N



1


     i exp  K i i 1  h  i   i 1    i 1  .
2



 i1 i 1 

Para reduzir à metade os graus de liberdade do sistema, vamos agrupar os spins em blocos de 2, como na figura abaixo:
Os pontos da rede circulados são pares e rotulam os blocos de spin. Somando sobre os spins conectados do bloco J obtemos
h2
f J  i 1, i    i 1 e  2cosh  K  i 1   i   h   i 1 .
Definindo agora  i1   J ,  i1   J 1 podemos escrever o operador da expressão acima como um operador de interação de
bloco de spin, numerados por inteiros pares, e interagindo apenas com outros spins pares:
22
1


cosh  K  J   J 1   h   exp 2 g 0  K  J J 1  h  J   J 1   ,
2


0
Nesta expressão, g é um fator a ser calculado, assim como a nova constante de acoplamento K  e o novo campo
magnético adimensional h , a partir das propriedades das funções hiperbólicas e da condição de normalização  2  1 . Após
um extenso algebrismo, obtemos que
1
K   ln cosh  2 K  h  cosh  2 K  h  cosh 2 h
4
1
h  h  ln cosh  2 K  h  cosh  2 K  h 
2
1
1
g 0   ln 2  ln cosh  2 K  h  cosh  2 K  h  cosh 2 h .
2
8
Continuando iterativamente esse procedimento, obtemos para a energia livre de Gibbs a expressão convergente
n

1  n

gˆ  K , h      g  K n , hn  .
n 0  2 
O fato importante a ser observado é que as conexões funcionais Kn  Kn1 e hn  hn1 são as mesmas, qualquer que seja n .
Considerando K , h como as componentes de um vetor K , podemos escrever as transformações como
n 1
n
K    R K    ,
onde os infinitos R ’s constituem o grupo de renormalização RG para este caso. A propriedade operacional é expressa como:
- se R1 e R2 são transformações de K , então o produto R1R2 também é uma transformação de K . Porém, verificamos mais
uma vez que, como não existe uma transformação inversa (os spins não podem ser desbloqueados indefinidamente), o RG é
na verdade um semigrupo.
2e
h J  J 1  2
23
A figura abaixo ilustra exemplos de fluxos de RG (ou fluxos do vetor K sobre a superfície de interação, no caso, o plano de
interação) para o modelo de Ising 1D:
Nesse exemplo do modelo de Ising é imediato se apreender a noção de ponto fixo do RG: um ponto fixo é um ponto K  de
um fluxo do vetor K que possui a propriedade
R  K   K .
24
Os gráficos abaixo mostram (a) um ponto fixo crítico em uma superfície crítica; (b) um ponto fixo definido em um plano de
fluxos em um espaço bidimensional  K1  K 2  .
25
Na figura (b) a superfície crítica é unidimensional, representada pela linha u1  K  , e os pontos na região A se movem para
T   , enquanto que os pontos na região B se movem para T  0 . As setas mostram os sentidos dos reescalonamentos.
2.
DIAGRAMAS DE FEYNMAN E TEORIA DOS GRAFOS
Os físicos usam os diagramas, ou grafos de Feynman, juntamente com as integrais associadas a eles, para calcular a
partir de teorias quânticas de campo certas quantidades mensuráveis experimentalmente. A má notícia é que existem sérias
dificuldades conceituais na definição de teorias quânticas de campo em quatro dimensões. A boa notícia é que, mesmo
assim, o formalismo dos grafos de Feynman tem um sucesso surpreendente: a concordância entre as quantidades calculadas
e as medidas pode chegar a uma parte em 1010 , a maior acurácia apresentada por uma teoria física moderna. Os grafos de
Feynman são interpretados como elementos de uma teoria perturbativa resultante da expansão de uma TQC interativa na
vizinhança de um TQC livre, ou sem interação. É natural que se espere que um melhor entendimento dos grafos de Feynman
e de suas integrais possam eventualmente conduzir a um melhor entendimento da verdadeira natureza das TQCs,
contribuindo para a resolução de algumas questões referentes a elas que continuam em aberto após um quase um século de
pesquisas e modelos teóricos.
A Teoria dos Grafos teve início em 1735, em um artigo de Leonhard Euler para a Academia de S. Petersburgo, em que
provava que um problema matemático famoso na época, conhecido como As Sete Pontes de Königsberg, não era solúvel.
Königsberg (onde viveu Kant em 1724-1804), na então Prússia, chama-se hoje Kaliningrado, e está incorporada à Rússia.
26
→
→
Outro problema famoso de grafos, somente resolvido em 1976 com recursos computacionais, é o Problema das 4 Cores. O
termo grafo só veio a ser empregado no sentido atual em 1878, pelo matemático inglês James Joseph Sylvester.
Mas o que é um grafo de Feynman, afinal? A associação dos diagramas originais à Teoria dos Grafos foi realizada
pela primeira vez por Noboru Nakanishi (“Graph Theory and Feynman Integrals”, Ed. Gordon & Breach, 1971), onde um
grafo de Feynman é simplesmente um grafo finito, ao qual se associa uma determinada integral. O integrando depende da
TQC em questão, mas no caso mais simples ele é exatamente o inverso de um produto direto de formas quadráticas de grau
4, a cada um correspondendo uma aresta do grafo, e restrito a um subespaço linear real determinado pela topologia do grafo.
No caso de um grafo genérico não existe ainda um método canônico de resolução analítica para a integral associada.
Entretanto, no caso simples em que o integrando é algébrico, sempre se pode tentar a identificação da integral a um período
de um motivo misto de Tate, que é uma outra noção não inteiramente resolvida de forma rigorosa hoje. Todos os períodos de
Feynman que já foram calculados são combinações lineares racionais de valores múltiplos da função zeta de Riemann, estes
sim já identificados aos motivos mistos de Tate, mas ainda não se sabe se todas as integrais de Feynman são períodos desses
motivos. Antes de prosseguir, precisamos fixar melhor esses novos conceitos que foram citados (uma descrição mais
detalhada dos fundamentos matemáticos será apresentada no item final deste curso).
A Teoria dos Motivos, ou Teoria de Co-homologia Universal, foi criada pelo matemático alemão Alexander
Grothendieck, em 1960, como uma proposta para unificar, em um nível de abstração mais altos, as várias co-homologias
então existentes, e se apresenta hoje em duas categorias: a dos “motivos puros”, associados a variedades algébricas
projetivas, suaves e bem-comportadas; e a dos “motivos mistos”, associados a variedades algébricas que podem ser
27
singulares, ou mesmo não-compactas. A subcategoria dos motivos mistos de Tate (MMT), definida sobre um campo
numérico, é a que apresenta maior interesse para a TQC, devido ao fato de que certas variedades algébricas naturalmente
associadas aos grafos de Feynman são tipicamente singulares, e não podem ser descritas por motivos puros. Dito mais
precisamente, ocorre com frequência que os coeficientes de Taylor de amplitudes de Feynman regularizadas
dimensionalmente sejam não apenas períodos, no sentido definido para os MMT, mas também os múltiplos valores de uma
função zeta (MZV, de multiple zeta values), como já está demonstrado através de uma farta literatura.
Os MZV são números reais obtidos pela soma de séries convergentes da forma
  n1 ,
nr  

0 k1  k2   kr
1
n1
1
k
krnr
,
em que os ni são inteiros positivos, sendo nr  2 . A identificação desses MZV com os períodos dos motivos mistos de Tate
já foi bem estabelecida, por mais de um caminho. Como os MZV também surgem no cálculo dos grafos de Feynman, há
fortes indícios de uma conexão, pelo menos, estreita, entre a integral de Feynman (IF) e os MMT.
Entretanto, a total identificação, ou a relação precisa, entre os coeficientes da IF e os MMT, permanece ainda sendo
uma questão de importância crucial, mesmo que muito se haja avançado, de 2006 para cá, para provar essa conjetura. Esta
questão pode ser sintetizada na pergunta, formulada pelos matemáticos Alain Connes e Matilde Marcolli: “Sob quais
condições impostas sobre os grafos de Feynman, sobre a teoria escalar correspondente, e sobre o procedimento de
renormalização, podem os resíduos dos diagramas de Feynman ser identificados a períodos de motivos mistos de
Tate, além dos casos já conhecidos?” (Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives, Ed. Colloquium
Publications, American Mathematical Society, 2007)
Retornando á argumentação anterior, um grafo de Feynman é simplesmente um multigrafo finito conexo, onde
“multi” significa que podem existir múltiplas arestas paralelas entre vértices. Laços fechados na forma de “girinos”
(tadpoles), isto é, arestas conectando um mesmo vértice em ambas as extremidades, não serão considerados aqui, mesmo
porque pode ser demonstrado que esses grafos são eliminados na renormalização (Francis Brown & Dirk Kreimer, Angles,
Scales and Parametric Renormalization, 2011, Proposition 7). Na linguagem representativa dos físicos, arestas são
28
partículas virtuais, e vértices são interações entre as partículas virtuais correspondentes às arestas adjacentes. A figura
abaixo mostra um exemplo simples de um grafo de Feynman segundo esta definição:
Este grafo de Feynman descreve um processo teórico interno a um experimento de espalhamento: um par de partículas se
aniquila, criando uma terceira partícula intermediária, a qual por sua vez decai nas duas partículas emergentes à direita. Este
grafo, e a amplitude de probabilidade associada a ele, correspondem apenas a um termo único em uma aproximação de
primeira ordem. O cálculo da seção de choque para esse espalhamento resultará da soma de infinitos grafos de Feynman
com as mesmas quatro “pernas” exteriores, mas de complexidade cada vez maior, com a adição de ciclos como no exemplo
seguinte:
As quatro pernas externas representam assintoticamente as partículas físicas incidentes e emergentes da região de interação,
são imutáveis, correspondem a fatores constantes, e são, portanto, irrelevantes para esse cálculo, que é feito sobre o grafo
dito “amputado”.
Uma IF é um par  A, u  , onde A é um intervalo aberto em n e u é uma distribuição em uma intercessão de A com um
certo subespaço de n . Por sua vez, uma distribuição em X é um funcional linear contínuo no espaço C0  X  das funções
de teste a suporte compacto, na topologia usual de Borel. As funções localmente integráveis no sentido de Lebesgue, ou seja,
integráveis em subconjuntos compactos, definem distribuições de maneira óbvia: uma função   x  de Dirac é uma
distribuição sobre qualquer suporte compacto em torno de x  0 . Consideremos a função característica de A ,  A , sobre n .
Esta função certamente não será uma função de teste, a não ser que A seja um conjunto compacto, mas se u tende a zero
29
mais rapidamente do que qualquer potência 1 x quando x   , podemos calcular a integral de u sobre  A . Se a
distribuição u é dada por uma função localmente integrável e se f é uma função de teste, podemos sempre escrever a
n
integral  u  x  f  x  dx .
Se u é dada por uma função integrável sobre todo o conjunto A , então o par  A, u  pode ser associado com a integral
usual de Lebesgue
 u  x  dx  u 
A
. As IF, entretanto, se apresentam frequentemente com divergências, significando que
A
 u  x  dx é divergente, por motivos nem sempre óbvios.
A

Um exemplo básico de uma integral divergente desse tipo é dado pelo par A 
\ 0 , u  x   x
1
 . A função u é
localmente integrável no interior de A , logo, é uma distribuição em A . Porém, não é integrável quando x   , nem
localmente integrável em 0 . Pode-se mostrar que todas as integrais de Feynman divergentes da TQC são generalizações
deste exemplo em dimensões maiores.
As IF são um poderoso instrumento no estudo das teorias físicas invariantes de calibre, isto é, aquelas cuja densidade
lagrangiana possui uma simetria de calibre. Uma simetria de calibre é uma invariância sob um grupo G em que a
transformação de grupo é diferente em cada ponto do espaço-tempo. Os primeiros exemplos foram a Teoria da Relatividade
Geral, em que G  †  1,3  SL  2,  GL  4  é o grupo de Poincaré que transforma linearmente as coordenadas, e a
QED, em que G  U 1 é o grupo das rotações de fase. Um exemplo geral de uma lagrangiana invariante de calibre, válido
tanto para o grupo abeliano U 1 quanto para o grupo não-abeliano SU  3 pode ser dado pela expressão:
1  2
inv    F     iD  M  .
4
Nesta expressão, o campo  é um campo de matéria representado por um vetor coluna de suas componentes, e se
transforma de acordo com a relação
30
  x   exp  i g  x  t   x   U   x    .
1
As matrizes U   formam uma representação do grupo de transformações, assim como as matrizes hermitianas t , que são
normalizadas como tr  t t    2 , e g é a constante de acoplamento da interação. Foram introduzidos o potencial de
calibre A    A , como um vetor invariante sob as transformações de Lorentz, a derivada covariante

D      i gA  
e o tensor de intensidade de campo
em que c
F    A   A  g c A A ,
são as constantes de estrutura definidas pelo comutador das matrizes hermitianas t :
t , t   ic t .
Fechando a notação da lagrangiana,    † 0 e D    D , como é usual; os índices alternados são somados (contraídos),
segundo a convenção de Einstein.
Uma teoria de calibre definida por essa lagrangiana pode, em princípio, ser resolvida pelo método integral funcional,
e, consequentemente, se for renormalizável, pode ser expandida perturbativamente através dos grafos e das integrais de
Feynman. Vamos mostrar abaixo as regras de Feynman dessa lagrangiana para uma teoria renormalizável, a QCD, em que o
grupo de calibre é o SU  3 , não-abeliano, as partículas de matéria, os férmions, são os quarks u, d , s, c, b, t ; os campos de
calibre são os glúons, com simetria de cor RGB . As três cores da interação são os análogos à carga eletromagnética na
simetria de calibre abeliano U 1 . Para essas regras de Feynman foi escolhido o termo de fixação de calibre F    A , que
transforma a simetria invariante de calibre da lagrangiana em uma simetria BRST independente de calibre, através da
técnica de gauge-slice, envolvendo parâmetros e campos “fantasmas” (ghosts de Fadeev-Popov) com valores em uma
álgebra de Grassman.
31
32
Um exemplo mais simples, e, portanto, de mais fácil entendimento, é o das regras e diagramas de Feynman para a teoria do
méson  de Hideki Yukawa, descrita pela densidade lagrangiana abaixo:
1
M2 2


 i  m      
  g   4 .
2
2
4!
O campo escalar  representa o méson com massa M , o campo fermiônico  representa um próton ou um nêutron de
massa m , e g é a constante de acoplamento de Yukawa. As regras de Feynman nesse caso são as seguintes:
33
A linha tracejada representa o propagador do campo escalar, logo, não possui um sentido. Os propagadores do antiférmion
 têm os sentidos de propagação invertidos aos da figura. O grafo de ordem mais baixa envolvendo férmion dá origem ao
conhecido potencial de Yukawa, e dá o nome de acoplamento de Yukawa ao acoplamento cúbico g envolvendo um
férmion, um antiférmion e um méson. Uma observação importante é que estão omitidos nos denominadores dos
propagadores os termos infinitesimais i e i (prescrição de Feynman), às vezes simbolizados por i0 e i0 .
Para o cálculo de termos, ou diagramas, de ordem perturbativa mais alta nessa teoria, devemos observar que esses
diagramas envolverão mais linhas internas, ou ciclos, como já foi mencionado. Isso envolve a combinação de
denominadores, e para tal podemos empregar a conhecida fórmula de Feynman (1949):
1
1 1
 1  x1  x2 
1
dx


dx
dx
1
2
2 .
AB 0  xA  1  x  B 2 
 x1 A  x2 B 
0 0
A generalização dessa fórmula para o produto de n denominadores é imediata:
1 n
n
 1  x1   xn 
1
   dxi
.

n
n
A
i 1
i
0 i 1
xA

i 1 i
i

Usando a fórmula, podemos calcular os dois primeiros grafos não triviais envolvendo laços. A autoenergia do férmion a um
laço é dada por:
34
Nessa expressão final deve ser tomado o limite    (  é uma constante de integração, que pode ser interpretada como

 2  q2

y
um cutoff UV, que surge do resultado intermediário parcial  dy
 ln 
 1 ).
2
2

0
 y  q2   q
Da mesma forma, o grafo da autoenergia do campo escalar é dado por
Em ambas as expressões acima fica claro que podemos fazer a expansão de Taylor das amplitudes nas vizinhanças do ponto
fixo, que corresponde ao momento zero das linhas externas.
A autoenergia do férmion pode ser escrita, então, como:
1


ig 2
2


dx

1

x
p

m

ln

termos
finitos
quando






.
2 
2
2

16 0 
xm

1

x
M





Fazendo o mesmo tratamento, a autoenergia do campo escalar na teoria de Yukawa passa a ser:
1
 2

ig 2
2
2
2
2
dx    3m ln 2  3x 1  x  p ln 2  termos finitos quando     .
2 
4 0 
m
m

Mostramos assim explicitamente que qualquer amplitude de um grafo de Feynman pode ser expandida por Taylor de forma
que as partes divergentes possam ser isoladas como funções locais, independentes dos momentos. Porém, para uma teoria de
35
massa nula, a expansão na vizinhança de um momento externo nulo será desastrosa, devido às divergências no
infravermalho (IR) que podemos verificar nas expressões acima, fazendo m  0 . Para contornar esse problema, nessas
teorias de massa nula, a expansão de Taylor é realizada na vizinhança de um momento externo nulo, porém finito, usando a
prescrição de Feynman i nos denominadores.
(NOTA: Para um tratamento detalhado do cálculo dos diagramas e regras de Feynman para as teorias  4 ,  3 e QED,
ver referências “A integral de Feynman – VIII Escola do CBPF – 2010”, ou “Field Theory – a Modern Primer”, Pierre
Ramond, Ed. Westview, 2001)
Uma observação crucial para o que será tratado daqui por diante:
ISOMORFISMO ENTRE OS ESPAÇOS DOS MOMENTOS E O ESPAÇO DAS POSIÇÕES EM UMA DADA
TQC
- Todo conjunto de regras de Feynman de uma teoria referente ao espaço dos momentos é isomorfo a um conjunto de
regras de Feynman da mesma teoria, referente ao espaço das posições.
Este isomorfismo nada mais é do que uma consequência do fato de que, em Mecânica Quântica não-relativística, os espaços
de Hilbert dos estados das partículas, na representação dos momentos e na representação das posições, são isomorfos através
do mapa bijetivo gerado pela ação das transformadas de Fourier e suas inversas. Desta forma, todo conjunto de grafos de
Feynman definido no espaço dos momentos está associado a funções de Green que possuem a sua correspondente no espaço
das posições. No primeiro caso, a restrição ao subespaço apropriado é obtida pela multiplicação do produto direto dos
propagadores por várias distribuições    pi  , que são interpretadas como “conservação do momentum” em cada vértice
do diagrama respectivo; na representação do espaço das posições as distribuições  duais são interpretadas como
“invariância de translação” das interações no espaço euclidiano 4 - não esqueçamos da rotação de Wick sobre a ação
36
complexa. A unicidade da expansão perturbativa de uma TQC interativa através de uma série de potências da constante de
acoplamento  com coeficientes da teoria de campo livre é assegurada pelo Teorema da Reconstrução de Arthur
Wightman (“PCT, Spin and Statistics, and All That”, Princeton, 1964, reprint 2000). A convergência dessa expansão
dependerá da renormalizabilidade da teoria efetiva.
37
3.
REGULARIZANDO DIVERGÊNCIAS UV COM RIGOR MATEMÁTICO: REGULARIZAÇÃO DIMENSIONAL
Antes de prosseguirmos, é importante fazer a distinção entre renormalização e regularização.
Os grafos de Feynman amputados dizem respeito, do ponto de vista da teoria, a partículas virtuais, cujos parâmetros
físicos, como massa e carga, não possuem significado real, devido à sua imersão no vácuo quântico e por serem offshell ,
isto é, existirem em um tempo muito pequeno para serem observadas e terem sua massa, ou carga, medidas. Esses
parâmetros não são observáveis, e, por isso, precisam ser renormalizados. As divergências devem ser de alguma forma
absorvidas por contratermos na lagrangiana, de mesma natureza que as divergências encontradas, que deverão ser anuladas
por esses contratermos. Quando as divergências podem ser compensadas através de um número finito de contratermos,
mantendo invariante a forma da lagrangiana, a teoria é dita ser renormalizável. Um bom e necessário critério para a
adequação dos contratermos à lagrangiana, uma vez que essa tem a propriedade de localidade, isto é, seus termos são
polinômios de campos e de suas derivadas, é que os contratermos sejam locais, ou seja, possuam a mesma propriedade da
lagrangiana.
Por outro lado, regularização é o termo empregado para uma variedade de métodos matemáticos de escrever a
integral ou o integrando divergentes como o limite de uma família holomorfa, ou inteira, de integrais ou integrandos
convergentes, por exemplo, sobre uma variedade algébrica gaussiana isomorfa a um disco unitário perfurado na origem

 0  z  1 . Eventualmente, o integrando é fixo, e então o domínio de integração é que varia holomorficamente sobre
esse disco perfurado.
Em outras palavras, RENORMALIZAÇÃO é um procedimento que leva em conta a escala física das interações, e
REGULARIZAÇÃO é um determinado procedimento analítico escolhido pelo calculista que focaliza e procura resolver as
características de convergência das integrais e de seus integrandos.
Como já vimos no item (2) acima, a regularização de um diagrama de Feynman pela eliminação das contribuições de
grandes valores dos momentos, através de um parâmetro de cut-off  , surge naturalmente, mas fica evidente que esse tipo
de regularização viola manifestamente a invariância de Poincaré da TQC. Além disso, esse cut-off pode conduzir a uma
violação da invariância de calibre em teorias de calibre, pela eventual atribuição de massa ao bóson de calibre. Por outro
38
lado, uma regularização em rede (lattice regularization), que regulariza uma teoria definindo uma escala de distância
granular a que gera por sua vez uma rede discreta de pontos no espaço-tempo, leva a uma quebra manifesta da invariância
rotacional, que só é reconstituída no limite contínuo. Portanto, é mais útil se considerar um esquema de regularização
covariante que também respeite a invariância de calibre. No caso de uma TQC abeliana, como a QED, a regularização de
Pauli-Villars preenche esses requisitos, e é o que veremos a seguir.
3.1. REGULARIZAÇÃO DE PAULI-VILLARS
Consideremos uma QED descrita pela lagrangiana
1
1
  F F   i D  m     A  .
4
2
As regras de Feynman para essa teoria são:
39
Com essas regras, podemos calcular várias amplitudes 1PI (one-particle-irreductible) em QED. Por exemplo, a autoenergia
fermiônica a um laço será dada por
onde introduzimos provisoriamente uma massa  para o fóton e efetuamos uma rotação de Wick sobre as matrizes de Dirac
para definir, no espaço euclidiano,
Q2  m,    x 1  x  pE2  xm2  1  x   2 .
É evidente que a integral sobre o momentum é divergente (logaritmicamente, se a analisarmos usando o power counting, que
consiste na contagem das potências de momento), como no caso da autoenergia fermiônica do acoplamento de Yukawa já
mostrado acima. Na regularização de Pauli-Villars, definimos a teoria com um acoplamento mínimo do fóton a outro
férmion que assumimos massivo, assim como introduzimos um segundo fóton massivo que se acopla tanto ao férmion
original quanto ao férmion massivo introduzido à mão. Traduzindo esse procedimento em termos da lagrangiana, vamos
adicionar um novo termo invariante de calibre da forma
1
2

  F F  
A A  i  D  A  A        e A .
4
2
Nesta expressão,  , A ,  m,  são campos massivos fictícios introduzidos apenas com o fim de regularizar os
diagramas, e a derivada covariante é definida sobre a combinação dos campos de calibre  A  A  . Note-se que o sinal
desses campos fictícios na lagrangiana é oposto ao sinal dos campos da densidade lagrangiana original, logo, possuem
métrica indefinida e atuam como campos fantasmas, subtraindo suas contribuições. A ideia central é tomar ao final o limite
   , no qual os campos massivos não se propagam, e, logo, são desacoplados dos campos originais. Entretanto, esses
campos adicionais interagem e dão uma contribuição adicional à autoenergia fermiônica, com origem no diagrama em que
um fóton massivo é emitido e reabsorvido. Essa contribuição adicional à autoenergia do férmion será igual a:
40


ie2
dk E2


I   2  dx 1  x  pE  2m    2
 1 .
2
8
 0 k E  Q  m,   


E a autoenergia fermiônica regularizada efetiva será igual a:
Q 2  m,  
ie2
 reg P V
.
I
 I  I    2  dx 1  x  pE  2m  ln 2
8
Q  m,  
Esta integral é finita para qualquer valor de  . Retornando ao espaço de Minkowski, resulta:
 reg P V
Q 2  m,  
ie2
.
I
 2  dx 1  x  p  2m  ln 2
8
Q  m,  
Nesta expressão, Q 2  m,     x 1  x  p 2  xm2  1  x   2 .
Procedimento semelhante pode ser feito para regularizar a autoenergia do fóton em QED. Em geral, a regularização de
Pauli-Villars envolve a introdução, de forma invariante de calibre, de um conjunto de campos massivos com massas  i e
cargas e ci , i  1,2, , n , tal que a amplitude regularizada seja dada pela relação:
I
 reg P V
n
 I  p, m    ci I i  p, i 
i 1
com a condição de que as expressões seguintes dos parâmetros sejam finitas e invariantes de calibre:
 ci  1,  ci i2  m2 .
i
i
No caso mais geral de uma TQC não-abeliana, a regularização de Pauli-Villars, ainda que sempre seja invariante de calibre,
por construção, deixa de ser invariante de Lorentz, ou covariante. Precisamos então de outro esquema de regularização, e o
que melhor se adapta a todas as teorias de campos é o esquema da regularização dimensional.
41
3.2. REGULARIZAÇÃO DIMENSIONAL
A regularização dimensional foi criada, de forma independente e quase simultânea, pelos físicos argentinos
Giambiaggi e Bollini (C. G. Bollini & J. J. Giambiaggi, Nuovo Cimento 12B (1972) 20, Phys. Lett. B40 (1972) 566) e pelos
físicos holandeses Martinus Veltman e Gerard ‘t Hooft (G. ‘t Hooft & M. Veltman, Nucl. Phys. B44 (1972) 189), e é
reconhecidamente o esquema de regularização com estrutura matemática mais genérica e rigorosa, sem necessidade dos
recursos ad hoc da regularização de Pauli-Villars.
Das análises acima, fica claro que as divergências das integrais funcionais associadas aos grafos de Feynman estão
diretamente associadas à dimensionalidade D do espaço-tempo. A QED2 , também conhecida como modelo de Schwinger,
proposta em 1962, é uma teoria eletrodinâmica quântica em duas dimensões 1+1 não só convergente, mas com solução
exata. Outros modelos bidimensionais, como o da interação fermiônica quártica apresentada pelo físico americano Walter
Thirring em 1958 (modelo de Thirring – W. Thirring, Ann. Phys. 3 (1958) 91), ou o modelo de Thirring-Wess (W.
Thirring & J. E. Wess, Ann. Phys 27 (1964) 331), uma extensão daquele, também apresentam soluções exatas, tendo servido
de laboratórios teóricos para a TQC em 4 dimensões. O modelo de Schwinger, por exemplo, apresenta naturalmente um
mecanismo de criação de massa para o férmion de massa nula inicial, inteiramente análogo ao mecanismo de Higgs
necessário ao atual Modelo Padrão, e por isso chamado de mecanismo de Schwinger-Higgs. Ou seja, serviu como
laboratório para a QCD desenvolvida posteriormente. Isto sugere que integrais divergentes em quatro dimensões possam ser
convergentes em dimensões mais baixas, ou talvez mais altas. Um exemplo é o da integral
d 4k
  k 2  m 2   k  p  2  M 2  .


Esta integral é divergente em D=4, mas converge para D<4. Um método possível de regularização de integrais de Feynman
divergentes em D=4 pode ser, portanto, defini-las em uma dimensão qualquer D  n , e proceder depois à sua continuação
analítica quadridimensional. Este procedimento é chamado de regularização dimensional. Um bônus dessa construção é
que, como a invariância de calibre independe da dimensionalidade do espaço, a regularização dimensional já nasce
invariante de calibre. E mais, como a continuação analítica não altera a invariância de Lorentz, na verdade a regularização
42
dimensional é covariante de calibre, o que a torna adequada ao tratamento das teorias não-abelianas, como a QCD e a
Teoria das Interações Fracas, onde falha a regularização de Pauli-Villars. Como, por exemplo, no grafo de Feynman
mostrado na figura abaixo, que representa uma contribuição para a autoenergia do glúon:
E também, por não usar análises ad hoc, nem introduzir à mão campos fictícios diretamente na lagrangiana, a manipulação
da regularização dimensional (DimReg) é extremamente simples e mesmo automatizável, como será exemplificado a seguir
através da teoria  4 descrita pela seguinte densidade lagrangiana:
1
M2 2  4

     
   .
2
2
4!
Aplicando a análise dimensional em n dimensões (com as definições  c  1 a ação é um escalar adimensional, logo, a
integral da densidade lagrangiana sobre dx n deverá ser adimensional, e, consequentemente, a dimensão da lagrangiana terá
que ser igual a d  n ), obtemos as dimensões de massa dos parâmetros da lagrangiana:
1
 M            L  1
n2
  
2
   4  n .
(Explicitando:               n  2  2   n     n  2 
2 ;       n     2  n  2  n     4  n )
Logo, a constante de acoplamento da interação quártica possui dimensão de massa, e precisamos introduzir uma escala de
massa arbitrária  que permita escrever a densidade lagrangiana em n dimensões de modo que a constante de acoplamento
 se conserve adimensional, da seguinte forma:
43
1
M 2 2  4n 4

     
 
 .
2
2
4!
Para esta teoria, as regras de Feynman serão dadas por:
Em n dimensões, deve-se ter cuidado com a manipulação de tensores, como, por exemplo, uma vez que cada índice vetorial
assume n valores, devemos ter
n  n .
Para o cálculo de amplitudes em n dimensões, precisamos calcular a integral básica:
44
onde nos cálculos acima foram feitas a rotação para o espaço euclidiano, a translação da variável de integração e a definição
Q2  M 2  pE2 .
Essa integral é esfericamente simétrica, e podemos efetuar separadamente a integração nas variáveis angulares em n
dimensões:
Usando o valor da integral gaussiana em n dimensões
e integrando em coordenadas esféricas:
45
onde foi definida a variável y  kE2 2 e empregada uma das várias definições integrais da função gama. Desta forma, a
integral da integral angular será dada por:
Podemos confirmar esse resultado geral, simplesmente verificando sua validade nos casos de baixas dimensões:
46
A integral básica inicial pode agora ser calculada:
Usando agora a definição da função beta de Riemann:
e fazendo as identificações
a integral básica pode ser escrita como
47
Retornando para o espaço de Minkowski:
Esta fórmula básica pode ser usada como geradora de todas as integrais de amplitudes em n dimensões, para qualquer
lagrangiana, e qualquer outra fórmula pode ser obtida dela, por diferenciação, como nos exemplos abaixo:
48
E também
e assim por diante.
Voltando à teoria  4 , vamos exemplificar o uso da DimReg com o cálculo da amplitude do grafo em um laço da
autoenergia:
49
Em n dimensões a integral se escreve
Para efetuar a continuação analítica para 4 dimensões devemos fazer agora n  4   , e, ao final dos cálculos, efetuar o
limite n  4    0 . Obtemos então, com grande economia de cálculos, por exemplo, se compararmos a DimReg com o
método de regularização por cut-off, a expressão intermediária:
Usando agora algumas propriedades da função gama, no limite   0 , onde o símbolo  representa a constante de EulerMascheroni
50
e também a identidade
obtemos finalmente
51
A integração em um espaço vetorial com n dimensões envolve dificuldades conceituais, e, para que não surjam
inconsistências, é necessário construir definições explícitas do procedimento usado, focalizando três pontos:
(a) Unicidade – para que se evite a possibilidade de se construírem duas definições autoconsistentes e inconsistentes entre
si.;
(b) Existência – necessária para provar que uma definição explícita não acarreta inconsistências;
(c) Propriedades – uma vez definida a integração em uma dimensão n não-inteira, não se pode simplesmente assumir que
as propriedades usuais da integral se conservam. Uma forma de verificar isso é provar que, para n inteiro, as propriedades
usuais são válidas.
Um problema adicional a ser resolvido é encontrar expressões válidas para as matrizes de Dirac em n dimensões nãointeiras, digamos, n  3,99 . Para satisfazer tudo isso, será necessária uma definição axiomática dessa integração.
52
3.3. DimReg: DEFINIÇÃO E AXIOMAS
Seja um número complexo d . Queremos definir uma operação que possa ser interpretada como uma integração sobre
um espaço d -dimensional, da seguinte forma:
d
 d p f p .
Nesta definição, f  p  é qualquer função de um vetor p que reside em um espaço euclidiano d -dimensional ( o espaço de
Minkowski é interpretado como um espaço de tempo unidimensional agregado a um espaço euclidiano  d  1 -dimensional,
 
com a notação
). Veremos que essa operação de integração em um espaço com dimensionalidade não-inteira
acarretará que um vetor nesse espaço possua um número infinito de componentes, logo, o espaço será na verdade
- dimensional . Os seguintes axiomas são naturais e necessários para as aplicações sobre os grafos de Feynman (K. G.
Wilson Phys. Rev. D7 (1973) 2911):
(1) Linearidade: Sejam a, b números complexos. A seguinte expressão é válida, a, b :
1, d 1
(2)
Escala:
A seguinte expressão é válida para qualquer número s :
(3)
Invariância translacional: Para todo vetor q :
53
Os resultados também deverão apresentar invariância rotacional. A linearidade é propriedade de qualquer integral, por
construção; invariâncias de translação e rotação são propriedades natas do espaço euclidiano; finalmente, a propriedade de
escala é a portadora da d -dimensionalidade. Os axiomas acima não somente são necessários, como também asseguram a
unicidade da integração, a menos, é claro, de um fator de normalização arbitrário.
As funções mais genéricas que precisamos considerar são funções tensoriais obtidas escrevendo-se explicitamente
tensores em termos dos vetores p, q1, , q N e do tensor métrico  ij , com coeficientes escalares, como se segue:
f ij  p, q   qi p j f a  p2 , p  q, q 2    ij fb  p 2 , p  q, q 2  .
Cada vetor é definido em um espaço vetorial usual através de uma sequência de componentes
p   p1 , p 2 , 
com a métrica dada por
p  q  p1q1  p 2q 2 
A razão para a  -dimensionalidade é que uma integral com d  3,99 , por exemplo, pode ser usada para regularizar uma
teoria física em um espaço-tempo com dimensão d 0 qualquer, suficientemente grande para comportar d 0 momentos
linearmente independentes. Uma vez que d 0 é qualquer, o espaço deverá ter dimensão infinita.
Começamos agora definindo a integral d -dimensional de uma função escalar, escolhendo um espaço com dimensão
J
finita que contenha todos os vetores q j . Escrevemos então o vetor p como a composição p  p  p    p je j em vetores
j 1
ortogonais, dos quais p está contido no mesmo espaço dos q j com bases e j ortonormais, um “espaço paralelo”. Podemos
assim definir a integral sobre p como sendo a integral usual J -dimensional sobre p efetuada depois da integral em J  d
dimensões sobre p  :
d
d
p f  p    dp1
dp J  d d  J p f  p  .
54
Uma vez que f  p  é uma função escalar, e não depende da direção de p  , podemos separar a integral angular e definir:
d
d J

p  f  p   K d  J  dp pd  J 1 f  p  .
0
Nesta expressão, K   d  J  nada mais é do que a área de uma hiperesfera em  dimensões, cujo valor obtemos do
caso especial em que a função escalar f é gaussiana:
Conseguimos assim obter uma definição de uma integração em d dimensões em termos de uma integração usual:
O problema encontra-se então resolvido para uma função escalar. Para estender a solução a uma função tensorial, basta
tratarmos cada componente usando o mesmo procedimento. Por exemplo, para uma função tensorial
onde g é uma função escalar, obtemos que
Um resultado importante que resulta da definição é que toda integral de uma potência de p é nula:
55
para qualquer valor de  , inteiro ou não-inteiro.
3.4. REPRESENTAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA IF NO ESPAÇO DE MINKOWSKI d -DIMENSIONAL
Frequentemente são usadas representações paramétricas de elementos do integrando de uma IF, particularmente de
propagadores, evitando assim que expressões de resultado já conhecido sejam recalculadas sem necessidade. As
representações desse tipo mais conhecidas se devem a Schwinger e a Feynman, e são de grande utilidade no cálculo da
DimReg de grafos de Feynman.
3.4.1. PARAMETRIZAÇÃO DE SCHWINGER
Seguindo o formalismo de Schwinger para a QED, para converter um grafo arbitrário em d dimensões em uma
integral paramétrica, primeiramente devemos escrever cada propagador usando a expressão:
As integrações sobre os momentos são feitas em seguida. Uma vez que qualquer grafo de Feynman tem a forma de um
polinômio de momentos multiplicado por um produto de propagadores escalares simples, temos apenas de calcular integrais
d -dimensionais da forma:
Usando a linearidade da integral em d dimensões, podemos encontrar I n simplesmente derivando I 0 :
56
Para calcular a integral da última expressão, usamos a translação k   k   B  A , a mudança de escala k  kA
rotação de Wick, e obtemos:
1 2
e a
Derivando sucessivamente, tiramos os resultados:
 i  A 
d 2
e
 B2 A
 B B B  B  B B  g   cinco termos análogos   g  g   dois análogos  



.
A4
2 A3
4 A2


57
3.4.2.
PARAMETRIZAÇÃO DE FEYNMAN, OU FÓRMULA DE FEYNMAN
A parametrização unidimensional devida a Feynman consiste no uso da seguinte fórmula para produtos de
denominadores de propagadores de um grafo de Feynman, como já foi mostrado antes:
Sua generalização natural é
As integrais de momento resultantes têm a forma:
Usando o procedimento e os resultados anteriores resultam as seguintes expressões sucessivas:
58
3.4.3. MATRIZES DE DIRAC DIMENSIONALMENTE REGULARIZADAS
As matrizes de Dirac possuem as seguintes propriedades:
(1) Relação de anticomutação:
(2) Hermiticidade:
Quando usamos a DimReg, os índices de Lorentz percorrem um conjunto infinito de valores, logo, precisamos de matrizes
de dimensão infinita para representar a álgebra de Clifford obedecida pelas matrizes de Dirac. E precisamos também de uma
operação de traço
59
de forma tal que a representação se comporte como se sua dimensão fosse dada por f  d  , onde f  d0  assuma o valor
usual na dimensão do espaço-tempo físico d  d0 , como, por exemplo, f  4   4 . As condições para se estabelecer um
formalismo para matrizes  dimensionalmente regularizadas são as seguintes:
(1) Deve existir uma representação da relação de anticomutação, para assegurar a consistência do formalismo.
(2) Deve ser encontrada uma fórmula para o traço de um produto arbitrário de matrizes   .
(3) Embora seja suficiente o conhecimento das   nos casos da QED e da QCD, precisamos também definir uma matriz  5
que possibilite o tratamento das simetrias e anomalias quirais. O que forçosamente nos dará uma definição apropriada do
tensor completamente antissimétrico (mais rigorosamente, da densidade tensorial antissimétrica)   .
Essa representação será construída da forma que se segue.
Seja  um inteiro positivo, e suponhamos indutivamente que esteja definida uma representação 2 -dimensional da álgebra
de matrizes    no intervalo 0    2  1 . Vamos então definir uma matriz   diagonal de dimensão infinita nesse
intervalo, com uma sequência de    na diagonal e zeros em todos os outros elementos de matriz:
    0
0


    0   
.


0



Agora podemos construir a representação imediatamente superior   1 com dimensão 2 1 , no intervalo 0    2  1 .
Para que a representação escolhida independa de  , devemos ter a relação de recorrência, para 0    2  1 :
60
    0 
.


 0    


Esta relação satisfaz as relações de anticomutatividade e de hermiticidade, desde que 0   ,   2  1. Precisamos
encontrar agora a matriz   1 , para   2, 2  1. O teorema da indução exige que se comece com   1, logo, podemos

 1
definir:
A partir da representação 2 -dimensional    definimos então uma nova matriz
Esta matriz tem as propriedades explícitas
É imediato verificar que, para   2 , teremos ˆ   5 , na notação usual para matrizes de Dirac quando d  4 . Podemos
definir finalmente as matrizes
Essas matrizes satisfazem as condições exigidas, para os intervalos 0   ,   2  1.
61
Um bônus desta construção é que os resultados usuais envolvendo as relações de anticomutação continuam válidos,
independente de d . Por exemplo:
Uma definição do traço de uma matriz infinita com componentes M ij pode ser, por exemplo:
Em 4 dimensões,
e o tensor   é um tensor invariante de Lorentz totalmente antissimétrico com o valor  0123  1. Em duas dimensões, as
definições mudam:
 5  ˆ1   0 1 ,

10 .
      01  1  
00
11  0
Só é possível obter uma definição invariante de Lorentz para  5 e   nas primeiras 4 dimensões:
62
 
1 se   for uma permutação par de  0123

 1 se   for uma permutação ímpar de  0123

0 em nenhum dos casos acima
Nestas condições, as seguintes relações são válidas:
em caso contrário,
e, finalmente,
A incompleteza da invariância de Lorentz das matrizes de Dirac em todo o espaço vetorial d -dimensional, mesmo assim,
garante a representação correta da anomalia axial descoberta por Adler, Bell e Jackiw (S. Adler, Phys. Rev. 177 (1969)
2426; J. S. Bell & R. Jackiw, Nuovo Cimento 60A (1969) 47).
63
4.
RENORMALIZAÇÃO BPHZ: INDEPENDÊNCIA DO REGULARIZADOR UV NO ESPAÇO DOS MOMENTOS
Vimos no item anterior como grafos de autoenergia com laços, em diversas teorias físicas ou mesmo em toy models,
apresentam divergências e, em princípio, precisam ser regularizados para assumirem valores finitos. Também foi
mencionado o fato de que, como as amplitudes de Feynman são funções analíticas dos momentos externos, sempre podemos
expandi-las em torno de algum valor de referência de momento – que em geral é o valor zero -, tornando possível que os
termos divergentes regularizados sejam isolados como termos locais, e serem assim compensados por contratermos na
densidade lagrangiana. O passo seguinte no processo de entendimento da renormalização é encontrar um método de
determinar quais grafos de Feynman de uma teoria são divergentes, assim como a natureza dessa divergência, sem que seja
necessário calcular as integrais desde o início. Esse método decorre naturalmente da identificação do grau superficial de
divergência de um grafo. Comecemos escrevendo a lagrangiana de uma dada teoria da seguinte forma:
onde 0 representa a soma das densidades lagrangianas livres para todas as variáveis de campo da teoria e cada
i
representa alguma interação através de monômios nas variáveis de campo básicas e suas derivadas. Com as unidades
 c  1 usuais, a ação resultante da lagrangiana acima é adimensional, o que força a densidade lagrangiana a possuir
dimensão canônica 4 em um espaço-tempo de quatro dimensões, e n em um espaço-tempo n -dimensional. Aplicando a
análise dimensional nessas unidades aos parâmetros da lagrangiana, obtemos:
1
 M    L   1.
Para a lagrangiana livre de um campo escalar dada por
teremos, portanto, uma vez que
64
a dimensão canônica do campo escalar será
De forma análoga, para a lagrangiana livre de um campo fermiônico dada por
teremos a dimensão canônica do campo fermiônico em 4 dimensões dada por
Vamos introduzir agora as notações fi , bi , di para representar, respectivamente, o número de férmions, bósons e derivadas
em um vértice de interação presente em uma teoria dada pela lagrangiana de interação i . Por exemplo, para a interação de
Yukawa
Já no caso da interação  4 ,
65
Analogamente, para a lagrangiana de interação com acoplamento férmion-derivada escalar:
teremos que:
e assim por diante.
Essa notação nos permite agora introduzir a noção de grau superficial de divergência de um grafo de Feynman.
Calcula-se a diferença entre o número de momentos no numerador resultantes da integração dos laços, mais o número dos
acoplamentos de derivadas, e o número dos momentos nos propagadores do denominador. Podemos ir mais além e encontrar
uma fórmula geral que dê o grau superficial de divergência de qualquer grafo de Feynman conexo. Para isso precisamos
definir de início as seguintes quantidades:
B  número de linhas externas de bósons
I B  número de linhas internas de bósons
F  número de linhas externas de férmions
I F  números de linhas internas de férmions
ni  número de vértices de tipo i em i .
O trabalho é simplificado pela existência de relações topológicas entre essas quantidades. Uma vez que um vértice de i
possui bi linhas de bósons ligados a ele, e como cada uma delas pode ser uma linha de bóson externa ou interna, devemos
ter
B  2 I B   nibi .
i
66
O fator 2 se deve ao fato de que são necessárias duas linhas de bóson ligadas a dois vértices diferentes para formar um
propagador, ou uma linha de bóson interna. Similarmente, no caso das linhas de férmion, teremos a relação:
F  2 I F   ni fi .
i
O grau superficial de divergência D pode então ser definido pela expressão:
O primeiro termo significa que cada derivada em um vértice dá origem a um momento no numerador, e se existem ni
vértices do tipo i em um grafo, isso leva a uma potência ni di de momento no numerador, que deve ser somada sobre todos
os tipos possíveis de vértices. No segundo termo, por outro lado, a cada linha de bóson interna está associado um
propagador, logo, cada uma delas leva efetivamente a duas potências de momento no numerador. De forma similar, cada
linha de férmion interna soma três potências do momento ao numerador, como mostra o terceiro termo. Entretanto, em cada
vértice o momento total deve ser conservado, e, uma vez que uma função delta em 4 dimensões tem dimensão (-4), cada
vértice subtrai quatro potências de momento, exceto por uma função delta geral que é necessária para a conservação do
momento total em todo o grafo; os dois últimos termos refletem isso.
Essa expressão ainda pode ser simplificada, usando as relações topológicas para eliminar I B e I F . Resulta então a
fórmula geral
3
D  4  B  F   ni i ,
2
i
onde foi definida a notação
3
 i  di  bi  fi  4  dim i  4 .
2
3
Evidentemente, em 4 dimensões  i  0  D  4  B  F . Abaixo, alguns exemplos de graus superficiais de divergência:
2
67
Quando D  0 , diz-se que o grafo é superficialmente logaritmicamente divergente. Grafos com D  1 e D  2 possuem,
respectivamente, divergência superficial linear ou quadrática. Quando D  0 , o grafo é superficialmente convergente. O
sentido do termo “superficial” fica claro no último grafo acima, que é superficialmente convergente, mas possui um
subgrafo divergente, e, logo, o grafo principal é na verdade divergente.
68
É importante observar que, em teorias de calibre, a invariância de calibre tem a propriedade de poder transformar um
grafo superficialmente divergente em um grafo convergente.
Analisando a composição da fórmula que fornece o grau superficial de divergência de um grafo, fica claro que
somente alguns poucos grafos de uma teoria apresentarão esse grau com valor positivo. Por exemplo, se considerarmos a
teoria  4 , apenas as seguintes funções de Green conexas 1PI terão divergência superficial:
A função de zero ponto contribui apenas para a energia de ponto zero, que pode ser eliminada pela ordenação normal, ou
ordenação de Wick. A função de um ponto seria divergente, em princípio, mas essa função não pode existir na teoria  4 ,
porque esta possui a simetria discreta    , e a função de um ponto viola esta simetria. O mesmo ocorre com a função de
três pontos. Portanto, na teoria  4 só existem dois grafos superficialmente divergentes, correspondentes às funções de dois e
de quatro pontos:
,
.
Podemos, entretanto, desenvolver um modo sistemático de tornar esses grafos finitos. Qualquer grafo 1PI de mais pontos
pode, obviamente, conter esses grafos como subgrafos, fazendo com que os grafos totais sejam divergentes, mesmo que
69
superficialmente convergentes. Veremos mais adiante o Teorema de Weinberg, que trata exatamente desses casos. O grafo
abaixo, por exemplo, é um grafo superficialmente convergente de seis pontos na teoria  4 que contém um subgrafo
divergente:
Podemos, porém, definir um “grafo esqueleto”, também de seis pontos, topologicamente equivalente ao original, fazendo
contrair a um ponto o laço do subgrafo divergente:
Por definição (e pelo Teorema de Weinberg), um grafo esqueleto de um grafo superficialmente convergente será
convergente. No caso genérico de um grafo de n pontos, o grafo original poderá sempre ser recuperado pela inserção dos
2
4
grafos   e   das funções de dois e de quatro pontos, respectivamente, nos locais apropriados. Se obtivermos um
2
4
método de tornar esses grafos   e   finitos, independentemente de regularização, através de um procedimento de
renormalização, esse procedimento fará com que todos os grafos de n pontos sejam finitos, independentes de regularização.
Vejamos agora o caso de uma teoria física, a QED descrita pela seguinte densidade lagrangiana:
As regras de Feynman, no parâmetro de fixação de calibre de Feynman   1 (na simetria BRST), serão:
70
A tabela correspondente aos graus de divergência superficial será a seguinte:
Os grafos de ponto 0 são desprezados, pois podem ser eliminados pela ordenação de Wick. Os grafos de fóton de 1 ponto
não existem, porque violam tanto a invariância de Lorentz quanto a invariância de calibre, assim como os grafos de fóton de
3 pontos. O grafo de fóton de 4 pontos parece ser superficialmente divergente (logaritmicamente), mas na verdade é finito,
forçado pela invariância de calibre. Os grafos de férmion com um número par de linhas de férmion podem ser não-nulos, por
causa da invariância de Lorentz e da conservação do número de férmion. Portanto, existem potencialmente apenas três
grafos com divergência superficial, os grafos de autoenergia do fóton e do férmion, e o grafo de vértice de interação
férmion-fóton. Da mesma forma que acima, se pudermos torná-los finitos independentemente de regularização, a teoria é
renormalizável, e, logo, bem-definida perturbativamente:
71
Autoenergia a um laço do fóton na QED
Autoenergia a um laço do férmion na QED
Vértice de interação fóton-férmion na QED
As teorias que possuem a propriedade de que todas as divergências podem ser absorvidas pela redefinição de
parâmetros da teoria – por exemplo, na densidade lagrangiana – são ditas teorias renormalizáveis. Analisando a fórmula do
grau superficial de divergência já mostrada acima,
fica claro que somente teorias em que o índice de divergência for
72
podem ser renormalizáveis. Se  i  0 , à medida que a ordem de interação vai ficando mais elevada, serão gerados grafos
divergentes com mais e mais linhas externas. Isto corresponderia a adicionar à lagrangiana infinitos contratermos que não
poderiam ser absorvidos em uma redefinição dos parâmetros finitos existentes na teoria.
Motivados pela noção de contratermos adicionais, N. N. Bogoliubov e O. Parasiuk (N. N. Bogoliubov & O. S.
Parasiuk, Acta Math. 97 (1957) 227) desenvolveram um esquema recursivo de renormalização de grafos de Feynman por
subtração de divergências, aplicável tanto a teorias normalizáveis quanto a teorias não-renormalizáveis. Mais tarde
verificou-se que a prova de um dos teoremas intermediários era incorreta, e o mesmo foi demonstrado em definitivo por
Hepp (K. Hepp, Commun. Math. Phys. 6 (1967) 161), o que originou a designação abreviada do método como
renormalização BPH. Um refinamento estendido, com o auxílio do novo conceito de florestas e da fórmula de florestas, e
a resolução das relações BPH, realizado posteriormente por Zimmermann (W. Zimmermann, Commun. Math. Phys. 15
(1969) 208) deu o nome atual do método, conhecido com renormalização BPHZ, cujo sucesso se deve ao rigor
matemático, ao caráter recursivo, e, principalmente, à sua imediata extensão e aplicação às teorias não-abelianas de calibre.
Esse método será brevemente apresentado abaixo, e posteriormente mostrado em detalhe.
4.1. RENORMALIZAÇÃO BPHZ – UMA APRESENTAÇÃO INICIAL
O método de renormalização BPHZ corresponde a associar florestas a cada grafo, construindo-as da seguinte maneira.
Quando um grafo possui partes para renormalizar, ou seja, subgrafos com grau superficial de divergência não-negativo,
desenhamos retângulos em torno dessas partes de todas as maneiras possíveis, de modo a que os lados dos retângulos não se
interceptem. Um conjunto particular F de retângulos, ou caixas, a ser renormalizado, é chamado de floresta. Uma forma
mais intuitiva de descrever esse conceito é dizer que uma floresta é uma união disjunta de árvores enraizadas. Cada
floresta é representada por F , e cada caixa ou elemento de uma floresta se representa por  . Deste modo, construímos um
conjunto de florestas, constituído por todas as maneiras de desenhar as caixas em torno das partes a renormalizar, e esse
73
conjunto é associado a cada grafo, conforme ilustra a figura abaixo no caso do grafo de quatro pontos 
vértice a dois laços para a teoria  4 :
4
de correção de
Uma floresta pode também ser vazia, o que corresponde a desenharmos uma caixa em torno de todo o grafo, se ele próprio
for uma parte a ser renormalizada. Deve ser ressaltado que as caixas contêm apenas as partes a serem renormalizadas, e
nunca um propagador externo a cada uma dessas partes, e também que os grafos devem ser considerados como funções dos
laços de momentos internos, assim como dos momentos externos. Entretanto, os laços dos momentos internos não foram
integrados ainda, isto é, as florestas dizem respeito aos integrandos das amplitudes, e não às integrais, e esta é a maior
diferença entre a renormalização BPHZ e qualquer outro método de renormalização: todo o trabalho de eliminação de
divergências é feito sobre os integrandos das amplitudes, antes de serem realizadas as integrações.
Definimos agora um operador de Taylor (estamos trabalhando no espaço euclidiano) t  que atua sobre um subgrafo 
e o substituímos pela correspondente expansão de Taylor nas variáveis de momentos externos, no entorno do
quadrimomento de valor zero, até a ordem D    correspondente ao grau superficial de divergência de  . No exemplo da
segunda figura acima, em que a caixa abrange o grafo inteiro     , D    0 , e o operador t  simplesmente calcula o
4
elemento  em torno do momento externo zero. Se  representasse a função de 2 pontos 
genérico, teríamos D    2 , e o resultado do operador de Taylor seria
2
e k o momento interno
74
O termo de Taylor linear foi desprezado, uma vez que desaparecia na integração, devido à propriedade de antissimetria
   . No caso de um grafo H convergente, temos t  H  0 . A noção desse operador de Taylor permite que se obtenha
um integrando renormalizado R  G  para o grafo G através da seguinte expressão:
Nesta expressão, I  G  representa o integrando do grafo G e  representa o conjunto completo de florestas disjuntas e em
ninho (como a quarta figura acima) associadas com o grafo. Devemos somente lembrar que, quando existem caixas em
ninho, a operação t  deve ser efetuada de dentro para fora, ou seja, da caixa mais interna para a mais externa. O grafo de
Feynman assim renormalizado será convergente. Note-se mais uma vez que o método BPHZ subtrai as partes divergentes do
próprio integrando, tornando a integral final convergente.
Enunciaremos agora um resultado importante e já citado anteriormente, devido a Steven Weinberg.
4.2. TEOREMA DE WEINBERG (POWER COUNTING THEOREM)
“ A integral de um grafo de Feynman G é absolutamente convergente se o grau superficial de divergência DH for
negativo para todo subgrafo H de G , incluído o caso em que H  G .”
Antes de estudarmos em mais detalhe a renormalização BPHZ, vamos apresentar uma equação (na verdade, um conjunto de
equações integrais) que correspondem às equações de movimento de uma TQC renormalizável: as Equações de SchwingerDyson, também conhecidas na literatura como Equações de Dyson-Schwinger.
75
4.3. A EQUAÇÃO DE DYSON-SCHWINGER
Vamos considerar mais uma vez a teoria toy model  3 , que já sabemos que é renormalizável em 6 dimensões, descrita pela
lagrangiana clássica:
A equação de Euler-Lagrange para essa teoria é dada por:
Esta equação descreve a dinâmica do sistema ao nível de árvore, usando a terminologia dos grafos de Feynman. Isto é, é
uma equação de movimento clássica, sem que as interações sejam corrigidas pela presença de partículas virtuais. É claro
que, se introduzirmos as correções quânticas de energia, essa equação é modificada. A equação quântica resultante pode
facilmente ser obtida a partir do funcional gerador W  J  e da função de partição Z  J  da teoria, da forma seguinte:
Uma vez que Z  J  independe da variável de campo, pois a integral é realizada sobre o conjunto total das configurações de
campo, podemos aplicar o princípio variacional, redefinindo arbitrariamente o campo no interior da integral como
     . A função de partição é, por construção, estacionária, de onde resulta a expressão:
com o operador de Euler-Lagrange definido acima. Explicitando mais detalhadamente:
76
No caso particular da teoria  3 , podemos levar os cálculos mais além:
onde podemos ainda incluir a expressão para a ação efetiva
A expressão final passa a ser então:
a qual pode ainda ser trabalhada, calculando-se a derivada funcional com respeito a c e fazendo-se c  0 :
77
onde  representa a autoenergia total do campo  . Essa autoenergia é definida como sendo a função de dois pontos
completa depois de se subtrair a contribuição do nível de árvore do grafo correspondente. A representação gráfica dessa
equação de Dyson-Schwinger correspondente à função de dois pontos é mostrada abaixo:
O termo à esquerda representa a autoenergia total, enquanto o termo à direita representa os propagadores e os vértices da
teoria, incluindo todas as ordens de correções quânticas. Nessa notação compacta as integrações intermediárias não são
mostradas (o que é simbolizado pelas bolhas de cor preta).
Derivando mais uma vez em relação a c a expressão acima , e calculando o resultado no ponto c  0 , obtemos a equação
de Dyson-Schwinger para a função de 3 pontos da teoria:
78
que pode ser representada graficamente, usando a mesma notação compacta, como:
Reproduzindo o mesmo procedimento para as funções de Green conexas de ordem superior, obtemos a sequência das
equações integrais de Dyson-Schwinger, cuja soma, no caso de uma teoria renormalizável, é absolutamente convergente.
Resumindo, essas equações integrais são uma forma iterativa de se construir a série perturbativa convergente para uma
teoria renormalizável.
4.4. A RENORMALIZAÇÃO BPHZ EM DETALHE
Consideremos mais uma vez a teoria  3 em 6 dimensões descrita pela densidade lagrangiana
Uma vez que estamos interessados no comportamento das divergências UV da teoria, podemos simplificar as contas,
fazendo M  0 .
Em 6 dimensões, a dimensão canônica do campo escalar será
   2 .
Logo, o grau superficial de divergência para qualquer grafo dessa teoria será dado por:
79
Observe-se que a lagrangiana não é invariante sob a antissimetria    , portanto, as amplitudes de 1, 2 e 3 pontos são
superficialmente divergentes. Mais uma vez, embora a função de 0 ponto seja divergente, isto pode ser resolvido com a
ordenação de Wick. Além disso, usando a DimReg, a amplitude de 1 ponto é eliminada, na teoria de massa nula, como
podemos constatar calculando o grafo tadpole abaixo:
ao fazermos n  6 . Portanto, somente as amplitudes de 2 e 3 pontos são divergentes, e podem ser tornadas finitas pela
adição finita de contratermos na lagrangiana, o que demonstra que a teoria é efetivamente renormalizável em 6 dimensões.
Vamos agora calcular algumas amplitudes de ordem superior a um laço, para exemplificar como são tratadas as
divergências quando estas se superpõem em um mesmo grafo. Usaremos a DimReg, operando a continuação analítica para
n dimensões e definindo o parâmetro contínuo   6  n . Desta forma, a análise dimensional simples nos fornece como
dimensões canônicas:
80
e precisamos, como já fizemos antes, introduzir uma escala arbitrária de massa para que a constante de acoplamento se
mantenha adimensional:
g  g  2 .
Neste caso, a autoenergia a um laço pode ser calculada como:
Esta expressão permite de imediato que façamos cálculos a dois laços, mas ainda podemos fazer simplificações, utilizando
propriedades e definições das funções gama, como as seguintes:
81
82
Substituindo esses resultados na expressão da autoenergia a um laço, resulta:
Obtemos assim o contratermo em um laço da autoenergia, na notação usual para os grafos de Feynman:
Existe um segundo grafo idêntico, apenas substituindo o momento do segundo ponto p1  p2 , mas como o método BPHZ
subtrai as divergências em todos os grafos, não precisamos repetir o procedimento, basta nos concentrarmos nos grafos de
natureza distinta. Prosseguindo de modo similar, podemos calcular a amplitude da função de 3 pontos a um laço:
83
Empregamos aqui a fórmula de combinação de denominadores de Feynman, em sua forma geral:
Vamos agora simplificar o denominador do integrando:
84
onde fizemos a identificação
e usamos o vínculo de conservação de momento através da função delta, em passos intermediários. Fazendo uma translação
na variável de integração, obtemos o valor da integral, como sendo
85
Usamos também o fato de que, devido aos vínculos representados pela função delta, temos que x3  1  x1  x2 e
portanto,
Visando já o cálculo da autoenergia a dois laços, definimos agora uma nova variável u , pela relação
e assim podemos reescrever o resultado acima como
86
onde, nas novas variáveis,
Integrando sobre x1 , x2 , precisamos acrescentar um fator 1 2 , e o resultado acima corresponde a um contratermo
Agora podemos calcular a autoenergia a dois laços, considerando primeiro os grafos sem divergências superpostas, como os
mostrados na figura abaixo (lembrando que existem também grafos análogos em que a inserção do contratermo é na outra
linha interna):
87
onde foi usada a forma do contratermo a um laço encontrado anteriormente. Vamos olhar separadamente para as duas
integrais. Empregando a forma da autoenergia de dois pontos a um laço, antes da simplificação com as propriedades das
funções gama, a primeira das duas integrais da soma acima pode ser calculada diretamente:
88
 parte finita
 parte finita 
 parte finita 
 parte finita  .
89
É importante observar aqui que os termos logarítmicos
1
 p 
ln
2
na expressão acima são potencialmente perigosos,
4 2
porque, se estão presentes termos com esse tipo de divergência não-local, para cancelá-los será necessário usar contratermos
igualmente não-locais, o que viola a microcausalidade da lagrangiana.
Vamos considerar agora a segunda integral da soma, cuja expressão calculada será:

90
 parte finita  .
Somando finalmente as duas integrais, obtemos o seguinte resultado:
 parte finita 
 parte finita  .
Constatamos com alívio que as divergências não-locais potencialmente divergentes foram canceladas nos grafos divergentes
não superpostos, e as divergências restantes podem ser canceladas por um número finito de contratermos locais.
==> PRIMEIRO PROBLEMA PARA A AVALIAÇÃO: Collins, p. 344, 2ª linha após a eq. 13.5.8: ‘it is
left as an exercise to the reader...’
91
Vamos olhar agora para o grafo divergente com superposição da autoenergia a dois laços, que, usando a função de vértice a
um laço expressa com a nova variável u definida anteriormente em termos de x1 , x2 ( x2  1  x1  u ), tem a forma seguinte:
onde definimos mais uma vez Q 2 , com os momentos adequados, através da expressão
Usando novamente a fórmula de Feynman geral para combinar denominadores, a expressão do grafo pode ser escrita como:
onde abreviamos o denominador através da identidade
92
Numa visão rápida, aparentemente a divergência da integral a dois laços estaria totalmente contida na integral em , a qual
possui apenas uma estrutura divergente a um laço (observando que a função gama multiplicativa com singularidade que é
gerada pelo vértice a um laço foi cancelada pelas funções gama que vêm da fórmula geral de combinação de denomiadores
de Feynman). Entretanto, isso não é verdade, porque, de fato, a divergência do subgrafo de vértice a um laço foi
transformada em integrais de Feynman paramétricas. Esta é uma propriedade especial de grafos divergentes superpostos, o
que podemos apreciar melhor efetuando a última integral com mais detalhamento.
Em primeiro lugar, faremos um deslocamento da variável de integração:
O próximo passo é efetuar a integração sobre y3 usando a função delta. Finalmente, podemos redefinir a variável y2 como:
obtendo assim uma nova forma para o denominador do integrando:
Fazendo as devidas substituições e efetuando a integral em , obtemos o resultado:
93
onde d  d  x1, u, y1, v  já foi definido acima. A estrutura de polo a um laço está manifesta na função gama multiplicativa
fora da integral. Para analisar a estrutura da divergência a partir da integral paramétrica, é suficiente olhar o termo de
1
primeira ordem em  x1d  . Usando os resultados padronizados
o termo de primeira ordem da integração paramétrica encontrada acima será dado por:
94
Isso demonstra de que forma a subdivergência se oculta na integração paramétrica, a qual pode ser calculada exatamente
usando-s polinômios de Gegenbauer, com a única modificação no termo de primeira ordem sendo a mudança da constante
finita dentro dos parênteses de   1 6 para o valor 4.
A autoenergia do grafo divergente com superposição será finalmente
 parte finita  .
Constatamos novamente que os sempre ameaçadores termos divergentes não-locais da forma
1

 p
ln
2
4 2
também estão
presentes nesse grafo.
Por outro lado, com o contratermo para a função de 3 pontos a um laço, temos uma contribuição a mais dada por:
95
 parte finita.
De forma inteiramente similar, o grafo com o contratermo no vértice esquerdo contribui também com o mesmo resultado:
96
 parte finita.
Portanto, a soma dos três grafos abaixo, representando a superposição de grafos de autoenergia a dois laços na teoria  3 :
resulta ser igual a
 parte finita 
ig 4 p2  2
2


 2
 parte finita  .
6 
3

12  4   
Podemos verificar que todos os termos divergentes não-locais potencialmente perigosos desapareceram da autoenergia, e as
divergências remanescentes podem ser removidas pela adição de um contratermo local a dois laços.
BPHZ é um método de renormalização no qual as divergências são subtraídas no próprio grafo, e, em consequência
disso, pode ser utilizado com qualquer esquema de regularização.
97
Estudaremos a seguir a formulação matemática rigorosa do método de renormalização BPHZ, usado em conjunto com
o esquema de regularização DimReg.
4.5. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO MÉTODO DE RENORMALIZAÇÃO BPHZ
Consideremos um grafo de Feynman arbitrário G que pode conter subgrafos 1PI superficialmente divergentes. Um
subgrafo 1PI  é próprio quando é diferente do próprio grafo G , e dito uma parte de renormalização se for
superficialmente divergente, ou seja:
D    0 .
A figura abaixo ilustra dois subgrafos próprios que correspondem a partes de renormalização:
Dado um grafo de Feynman G vamos agora desenhar retângulos Mem torno de todas as partes de renormalização, incluindo
o próprio G , se este também for superficialmente divergente. Por exemplo, para o grafo de autoenergia a três laços da teoria
 3 , as figuras abaixo mostram exemplos de florestas, ou diferentes modos distintos de se construir retângulos, ou caixas, em
torno das partes de renormalização:
98
Duas partes de renormalização  1 ,  2 serão disjuntas quando
1   2  0 ,
e serão em ninho se uma está inteiramente contida na outra:
ou
1   2 ,
1   2 .
99
Duas partes de renormalização são superpostas quando compartilham linhas e vértices, isto é, quando nenhuma das três
condições anteriores é válida. Como já foi mencionado, um conjunto de caixas envolvendo partes de renormalização é uma
floresta. Uma floresta é vazia se não existe nenhuma caixa envolvendo um subgrafo. Uma floresta é normal se não existe
nenhuma caixa contendo todo o grafo G . Quando uma floresta inclui o próprio grafo G , é uma floresta cheia.
Seja agora
o conjunto de florestas, ou caixas que contêm apenas partes de renormalização disjuntas, ao qual vamos
adicionar o próprio grafo G sem nenhuma caixa. Neste caso, o conjunto
completo de florestas contendo partes de
3
renormalização disjuntas para o grafo de autoenergia a dois laços para a teoria  é o exibido na figura abaixo:
De forma análoga, seja
o conjunto de florestas contendo apenas partes de renormalização em ninho. A figura abaixo
mostra o conjunto
completo para o grafo de autoenergia a dois laços para a teoria  3 :
Indo além, seja
o conjunto de florestas contendo apenas partes de renormalização superpostas. O conjunto
para o grafo de autoenergia a dois laços para a teoria  3 é exibido na figura seguinte:
completo
100
A razão pela qual construímos essas florestas é que os subgrafos correspondentes são superficialmente divergentes, e, para
que o grafo completo se torne finito, precisamos subtrair as divergências existentes em cada um desses subgrafos.
No método BPHZ convencional, introduzimos um operador t  de Taylor, ou operador de expansão de Taylor, para
qualquer grafo  , de modo que sua ação sobre o integrando do grafo seja fazer sua expansão em série de Taylor em torno
dos momentos externos ao grafo, até o termo de ordem D    . Representando esse procedimento, e eliminando o termo
linear da expansão, que, como já vimos, é nulo, devido à antissimetria da teoria, podemos escrever:
101
Em outras palavras, atuando sobre um grafo, o operador de Taylor simplesmente separa os termos potencialmente
divergentes pertencentes ao integrando, de tal maneira que a parte finita do grafo possa ser identificada com o integrando
1  t  I

G
 I G  parte finita.
Cabe aqui observar que, por definição,
t  IG  0 ,
se
D    0 .
Este é o operador t  convencional na prescrição BPHZ, e fica claro que, usando essa operação, simplesmente ficamos
capazes de descartar partes potencialmente divergentes no interior da integral. Deste modo, a BPHZ jamais usa uma dada
regularização e, na verdade, é compatível com qualquer regularização. No caso da DimReg, em particular, a integral
associada a um grafo a n laços tem a seguinte forma geral:
Nesse caso, a operação t  separa naturalmente os termos com polos, e é definida como:
102
de maneira que a parte finita do grafo possa ser identificada com
Uma vez mais, fica claro que , para um grafo sem termos com polos e superficialmente convergente:
Para uma dada parte de renormalização  em um grafo de Feynman, se a integral é da forma
como vimos, a operação de Taylor é definida de forma tal que
t  I 
1
a 
m n
m
m
 partes divergentes ,

1  t   I   am m  partes finitas .
m 0
Assim, comparando com outros métodos de supressão de divergências, podemos imaginar o efeito BPHZ do termo  t  I 
como sendo o de adicionar contratermos que subtraem a divergência. Entretanto, uma vez que na renormalização BPHZ
nunca é necessário explicitar o uso de contratermos, na verdade o método é mais geral, como vamos mostrar.
Consideremos um grafo de Feynman arbitrário G cujos subgrafos são partes de renormalização próprias  1,  2 , ,  s ,
e vamos definir a seguinte expressão:
103
Isto faz com que, de maneira óbvia, todos os subgrafos de G , que são partes renormalizadas próprias, sejam finitos.
Entretanto, o próprio grafo G pode ser superficialmente divergente, e nesse caso, é necessária uma subtração final para
tornar G finito. Para isso, definimos a operação composta:
Verificamos que, se G não é superficialmente divergente, então, por definição:
e também
mas isto não é verdade em qualquer outro caso.
De qualquer forma, a partir da definição de RG I G acima, constatamos que todos os subgrafos superficialmente
divergentes, assim como o grafo inteiro, foram tornados finitos por subtrações (de contratermos), resultando que o grau
superficial de divergência, tanto dos subgrafos, quanto do grafo inteiro, seja negativo, e, logo, pelo Teorema de Weinberg, o
grafo agora seja finito. Assim, esse procedimento pode ser aplicado, grafo a grafo, fazendo cada grafo se tornar finito.
Observando apenas que, no caso de grafos e subgrafos em ninho, a subtração deve ser realizada de dentro para fora, da parte
de renormalização mais interna para a mais externa. Para divergências disjuntas ou entrelaçadas (overlapping divergences),
a ordem da subtração é irrelevante.
Embora este método de fazer com que um grafo de Feynman seja finito seja absolutamente correto, não lança
nenhuma luz sobre a questão da localidade de contratermos, uma vez que estamos subtraindo divergências superpostas que,
como vimos, pode levar a contratermos não-locais. A prova da renormalização por contratermos locais requer, de maneira
104
óbvia, que as divergências entrelaçadas sejam resolvidas por contratermos de ordem inferior. Isto pode ser visto através do
operador R de Bogoliubov que define a relação
onde  i representa o conjunto completo de subgrafos que são partes de renormalização próprias e disjuntas de G . O
conjunto  i pode ser vazio, e neste caso o operador de Taylor atua como o operador identidade, reproduzindo a própria
integral I G . Nessa expressão, R k é o operador RG I G associado com a parte de renormalização superficialmente divergente
 k . Esta fórmula, conhecida com a fórmula BPH, é uma relação recursiva que não envolve divergências em ninho nem
entrelaçadas, e onde o operador RG , para toda ordem, é determinado pelos operadores R k de ordem inferior.
A contribuição de Zimmermann foi feita na forma de uma solução da relação de recursão BPH, obtida como se segue.
Em vez de considerar o conjunto de partes de renormalização próprias e disjuntas que são subgrafos de um grafo G de
Feynman, vamos olhar o conjunto completo de subgrafos que inclui apenas as partes de normalização próprias, em ninho e
disjuntas. A figura abaixo define na teoria  3 todas essas partes de renormalização para o grafo de autoenergia a três laços.
A partir daí, podemos escrever a solução de Zimmermann:
105
onde  i é o conjunto completo de florestas definidas pelas partes de renormalização próprias que não são superpostas. A
relação recursiva BPH e a solução de Zimmermann parecem bem diferentes da relação original dada por
Pode-se mostrar, entretanto, que as três expressões são, na verdade, equivalentes. Demonstraremos essa equivalência usando
o exemplo da figura acima, apenas entre a solução de Zimmermann e a relação recursiva BPH;
Observemos que o grafo a três laços da teoria  3 se decompõe em oito florestas que consistem em partes de
normalização próprias, em ninho e disjuntas. Aplicando explicitamente a solução de Zimmermann, obtemos:
106
Lembrando agora que, uma vez que  1 e  1 não contêm nenhuma parte de renormalização própria, podemos escrever:
Usando este fato, podemos reescrever a soma acima da seguinte forma:
107
onde  i é o conjunto completo de partes de renormalização próprias que consistem apenas em grafos disjuntos. Ou seja,
esta última expressão é exatamente a relação recursiva BPH. Isto mostra que, de fato, a fórmula BPH conduz à solução de
Zimmermann e que, de acordo com o Teorema de Weinberg, ambos os procedimentos são equivalentes a tornar qualquer
grafo de Feynman finito usando subtração local, ou contratermos.
4.6. RENORMALIZABILIDADE NO ESPAÇO DOS MOMENTOS
De maneira geral, independente de regularização ou método de renormalização, quando o índice de divergência de
interações dado pela fórmula
3
 i  di  bi  fi  4  dim i  4
2
é zero, o grau superficial de divergência de qualquer grafo de Feynman é completamente determinado pelo número de linhas
externas no grafo. Essas teorias são renormalizáveis, através da adição de um número finito de contratermos locais que
simplesmente redefinem os campos e os parâmetros da teoria original. Por outro lado, se
i  0
108
fica claro que o grau superficial de divergência de um grafo cresce com o aumento do número de vértices de interação,
significando que teremos mais e mais linhas externas. É claro que sempre poderíamos remover essas divergências
adicionando contratermos locais, mas o número desses contratermos não teria limite, seria infinito, e os parâmetros finitos
da teoria seriam incapazes de absorvê-los. Essas teorias são não-renormalizáveis. E, por último, se o índice de divergência
é negativo:
i  0 ,
não somente teremos um número finito de tipos de grafos potencialmente divergentes, mas, mais importante, somente um
número finito de grafos serão divergentes, e somente nas ordens mais baixas da série perturbativa, uma vez que aumentando
a ordem, ou o número de vértices de interação, o grau de divergência diminui. Essas são teorias super-renormalizáveis, e
exemplos destas podem ser estudados em duas dimensões, por exemplo, nos modelo de Schwinger e de Thirring já
mencionados.
109
5.
RENORMALIZAÇÃO EG: FUNÇÕES DE GREEN POSICIONAIS
Vimos mais de uma vez em TQC que a rotação de Wick, ou seja, a transformação da ação do espaço de Minkowski
para o espaço euclidiano através da correspondência t  it , particularmente quando estamos lidando com soluções de
teorias relativísticas livres, como as soluções da equação de Klein-Gordon ou as funções de Wightman – estas são as
funções de correlação da TQC no espaço de Minkowski, representadas pelo valor esperado no vácuo (VEV) de produtos de
campos livres -, resulta em expressões mais confortáveis e fáceis de trabalhar do que as originais. Uma vez que a rotação de
Wick traduza uma continuação analítica, o que nem sempre é inteiramente correto, o retorno ao espaço de origem é
realizado sem maiores consequências quanto à validade dos resultados encontrados no espaço real. A vantagem desse
procedimento é visível quando comparamos a expressão da distância em ambos os espaços, nas métricas usuais e notações
próprias a cada espaço:
dM  x02  x12  x22  x32
d E  x12  x22  x32  x42 .
É imediato ver que a distância no espaço-tempo real só se anula na origem, ao passo que no minkowskiano ela se anula
sobre o cone de luz passado e sobre o cone de luz futuro. Esta propriedade permite que, após a rotação de Wick, as
amplitudes dos grafos de Feynman com, no máximo, um laço, logaritmicamente divergentes, podem ser tornadas
absolutamente convergentes, ao passo que as divergências de ordem superior, especialmente as divergências entrelaçadas,
podem ser canceladas, subgrafo a subgrafo e grafo a grafo, pelo procedimento de renormalização BPHZ, conforme já vimos
no item anterior. O problema básico do tratamento de funções de Wightman (Robert F. Streater & Arthur Wightman, “PCT,
Spin and Statistics, and All That”, W. A. Benjamins Inc., Amsterdam and New York, 1964) no espaço euclidiano é que a
causalidade relativística de eventos, originada naturalmente da definição de simultaneidade inerente à assinatura
minkowskiana (1, 1, 1, 1) , se perde no espaço euclidiano, o qual somente comporta a causalidade galileana. O próprio
conceito de localidade, portanto, é diferente em ambos os espaços. O procedimento de renormalização de Epstein e Glaser
não só resgata a causalidade e a localidade das interações entre os campos, por usar diretamente o espaço de Minkowski,
como é definido sobre produtos ordenados no tempo das funções de Green no espaço das posições, o espaço dual do espaço
dos momentos usado na renormalização BPHZ. Será visto no último item que ambos os procedimentos de renormalização
110
possuem a mesma álgebra de grafos – como era de se esperar, uma vez que ambos os espaços de Hilbert são duais, como já
sabemos desde a Mecânica Quântica, devido ao mapeamento isomórfico das transformadas de Fourier.
Vejamos então no que consiste o método de renormalização EG (Epstein-Glaser).
5.1. RENORMALIZAÇÃO EG
Conforme já mencionado antes, o método de renormalização EG, esboçado no final da década de 60 (H. Epstein & V.
Glaser, Proceedings of the Informal Meeting on Renormalization, 1969, ICTP Trieste IC/69/121) e rigorosamente
formalizado alguns anos depois (H. Epstein & V. Glaser, The role of locality in perturbation theory, Ann. Inst. Henri
Poincaré XIX (1973) 211-295)211-295) é inteiramente equivalente ao método BPHZ, com a diferença de focalizar as
funções de Green da TQC perturbativa no espaço das posições, dual do espaço dos momentos. A motivação dos dois autores
do método foi provar com o devido rigor matemático que a série renormalizada satisfaz dois requisitos cruciais:
microcausalidade, ou comutatividade local, e unitariedade, o que nos trabalhos antecedentes não havia sido feito. O primeiro
requisito equivale à condição de que as amplitudes de Feynman renormalizadas sejam analíticas no domínio previsto pela
teoria de campo. O sucesso alcançado pelo método BPHZ, cujo cerne é composto pelo operador R definido por Bogoliubov
e as correspondentes fórmulas recursivas (N. N. Bogoliubov & D. V. Shirkov, Introduction to the Theory of Quantized
Fields, New York, Interscience, 1959), levou Epstein e Glaser a partirem da mesma linha de raciocínio e de procedimentos
análogos, com fortes fundamentos na Teoria das Distribuições de Laurent Schwartz (L. Schwartz, Théorie des Distributions,
Hermann, 1966) para obterem seus resultados. Somente a partir dos últimos 15 anos foi desenvolvido o pano de fundo
matemático, particularmente com o uso da Geometria Algébrica, uma área importante da Álgebra Abstrata, que permitiu
visualizar as ligações entre os dois métodos de renormalização, que se dá ao nível de álgebras de Hopf, esquema de
decomposição algébrico de Birkhoff, álgebras de Rota-Baxter, períodos, teoria dos motivos e outras teorias e resultados que
serão apresentados resumidamente no final do curso. Tentaremos a seguir dar uma ideia simplificada do método de EpsteinGlaser, ressaltando que, pelas conhecidas dificuldades de tratamento de integrais divergentes no espaço dos momentos, a
111
importância desse método é mais teórica do que operacional, haja vista a ausência radical de qualquer menção a ele nos
livros-textos de TQC.
5.1.1. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
Vamos considerar uma teoria de um campo escalar neutro, dada pela densidade lagrangiana de interação:
  g  x   x   Q  x  A x  .
Nesta expressão, para todo par de funções com valores reais  g , Q    g1, g 2   g pertencentes a uma classe de funções
suaves existentes no espaço de funções de teste de Schwartz
  - existe uma matriz unitária S  g , Q   S  g  , definida
4
pela equação de movimento de Dyson-Schwinger, representada simbolicamente como se segue:

i
    x   , 0  ,
  x 
A x   Ain  x  é um campo escalar
 0 , 0   1 ,
S   ,   .
livre neutro de massa m ,
é a parte essencial da interação [por exemplo,
 x  : A x 

: ], e o espaço de Hilbert subentendido
é o espaço de Fock usual para o campo A . A matriz S , portanto, é
a própria matriz S de espalhamento. Podemos escrever a densidade lagrangiana de interação na forma mais geral:
p
 x    g j  x 
j 1
 x ,
g  x    g1  x  , g 2  x  ,
g j  Re g j 
 ,
4
, g p  x  .
deve ser tomada como a verdadeira densidade lagrangiana de interação, g1  x  tenderá eventualmente a um valor
constante (a verdadeira constante de acoplamento), enquanto g j , j servirão para gerar campos de Heisenberg interativos
1
 x
j
112
que, na ordem zero em g j , se reduzem a expressões de j  x  , como, por exemplo, : A  x  : . Eventualmente, os g j , j  1
assumirão valor zero.
A partir da natureza real das g , da hermiticidade das lagrangianas j , das covariâncias de ambas em relação às
transformações de Poincaré, ou seja, translações no espaço-tempo mais transformações de Lorentz, e também do caráter
formal de propagação multiplicativa de  , 0  da hipersuperfície tipo-espaço  0 para a hipersuperfície tipo-espaço  ,
espera-se que a matriz de espalhamento S “satisfaça” as seguintes propriedades, ou melhor dizendo, axiomas:
(I )
(
(condição inicial):
) (unitariedade):
S  0  1.
S  g  S  g   S  g  S  g   1 , para todo g 

(Trinv)
(Linv)

 
4
(invariância translacional):
1
U  a,1 S g U  a,1  S g a ,
para todo a 
(invariância de Lorentz; opcional):
1
U  0,   S g U  0,    S g a ,
para todo   L† , g  x   g   1x  .
 
 
 
 
4
, ga  x   g  x  a  .
Nas duas últimas expressões,  a,    U  a,   é a representação usual do grupo de Poincaré P† no espaço de Fock. As
duas condições (Trinv) e (Linv) foram separadas propositalmente, para realçar o fato de que a totalidade da teoria de
perturbações (incluindo as propriedades corretas de analiticidade no espaço dos momentos) pode ser desenvolvida sem a
necessidade de (Linv). É claro, desde que se exija a propriedade seguinte, na verdade, a base de todo o método:
(Caus)
(condição de causalidade):
113
Sejam X e Y dois subconjuntos de 4 . A condição de causalidade diz que X e Y são separados tipo-espaço, ou X
quando valem as seguintes condições equivalentes:
X  Y  V     ,
Y  X V     ,
onde
V   V   x 
4
: x0  x , V   V   x 
4
Y
: x0  x  .
Ou seja:
X não faz intercessão com a sombra causal passada de V ;
Y não faz intercessão com a sombra causal futura de X .
O método agora consiste em demonstrar que existe uma solução geral para os axiomas acima, na forma de uma série de
potências formal em g .
5.1.2. TEORIA DE PERTURBAÇÕES
Entende-se por Teoria das Perturbações, no presente contexto, como sendo o problema de encontrar uma série formal
p
de potências em g  g   g1 , g 2 , , g p    4   :



 


in
T j1


n
!
n 0
j1 jn
S g 

in
   T  x1 ,
n 0 n!
jn
 x1,
, xn  g j1  x1 
, xn  g  x1 
g jn  xn  dx1
g  xn  dx1
dxn
dxn .
114
Essa série formal de potências em g deve satisfazer os postulados, ou axiomas, de ( I ) a (Caus) e, sob certas condições,
deverá ser possivelmente a série desse tipo mais geral. Essas condições específicas dizem respeito ao domínio de definição
do termo de n -ésima ordem da série enquanto um operador no espaço de Fock: esse operador é necessariamente ilimitado;
uma vez que desejamos que expressões da forma S  g1  S  g p  sejam séries formais bem definidas em g1 , , g p , devemos
exigir que o n -ésimo termo da série S  g  acima esteja definido em um subespaço denso D1 
do espaço de Fock que
seja independente de n e de g e que seja um endomorfismo, ou seja, tenha um mapeamento injetivo sobre si mesmo. Sob
essa condição, S  g  , ou qualquer série formal que se inicie em 1, possuirá uma série inversa, que notaremos como:
 
1


 i 
n
T  x1 , , xn  g  x1  g  xn  dx1 dxn .
n! 
T e T são distribuições temperadas (uma distribuição temperada sempre possui transformada de Fourier; toda função de
quadrado somável f  L2  4  pertence a um espaço de Hilbert e é uma distribuição temperada), e T pode ser expressa de
S g
n 0
forma simples em termos de T , como veremos a seguir. Por definição, ambas as distribuições devem ser simétricas em
relação a permutações dos argumentos, da forma representada abaixo:
T j1 jn  x1, , xn   Tj 1 j n  x 1, , x n 
T j1
jn
 x1,
, xn   Tj 1
j n
 x 1,
, x n  .
Essa propriedade nos permite usar algumas abreviações de notação. Se J  u1 , , uq  é um conjunto de q inteiros distintos,
substituiremos:
T  J  em lugar de T ju
juq
T  J  em lugar de T ju
juq
1
1
x ,
x ,

.
u1
, xuq ,
u1
, xuq
Observemos que, se duas séries formais são definidas como:
115

U g  
1
U  x1, , xn  g  x1  g  xn  dx1 dxn
n 0 n!

1
V  g    V  x1 , , xn  g  x1  g  xn  dx1 dxn
n 0 n!
o seu produto U  g V  g  é a série formal de potências

W g  
1
W  x1 ,

n
!
n 0
onde
, xn  g  x1 
g  xn  dx1
dxn
W  X    U  I V  X \ I  .
IX
Nessa expressão a soma percorre todos os subconjuntos I de X , inclusive o subconjunto vazio I   e I  X . A notação
X \ I representa a diferença entre os dois conjuntos, isto é, o conjunto dos elementos de X que não pertence a I . É claro
que a afirmação acima só faz sentido se as condições sobre os domínios das distribuições U e V são as mesmas já referidas
antes, quando definimos a série em T . Nas mesmas condições, é imediato calcular a inversa de uma série formal de
potências do tipo 1  K  g  , com K  0   0 ( X é o número de elementos de X ):

1 K  g 

1
 H  x1,
n  0 m!


1


  K  g 
n 0
, xm  g  x1 

n
g  xm  dx1
dxm ,
116
X
H  X     1
n 0
n

K  I1 
K  In  .
I1 , , I n
I1   I n  X
I j  I k  , j  k
I j  , j
Os operadores T  X  e T  X  serão determinados indutivamente sobre X , sob a condição de que S  g  satisfaça os
postulados de ( I ) a (Caus), com os principais papéis a cargo pela causalidade e pela invariância translacional. As restrições
impostas sobre a distribuição temperada T  X  serão formulada nas hipóteses de aplicação do teorema da indução, cujas
tecnicidades não mostraremos aqui, lembrando apenas que se trata de demonstrar que a validade de uma expressão nos casos
j  1 e j  n  1 acarreta forçosamente a validade da mesma expressão para j  n .
5.1.3. SOLUÇÃO GERAL
Retomando a densidade lagrangiana i definida anteriormente em termos do campo escalar neutro livre A  x  , e
considerando-a como um conjunto de funções contínuas de x , e não como uma distribuição temperada, poderíamos
construir uma solução definindo o operador T da forma seguinte:
Ti1 in  x1 , , xn 

   x01  x0 2   x0 n1  x0n


i 1
 x 1 
i n
 x n  .
Esta solução corresponde na verdade, no espaço dos momentos, aos grafos de Feynman não normalizados, particularmente
se as i forem substituídas por operadores regularizados de forma apropriada.
117
Aplicando a essa solução o teorema de Wick (o q ue também não mostraremos aqui), conclui-se que é recomendável
não somente definir cronologicamente os produtos das i , isto é, ordenados temporalmente, mas também os produtos das
derivadas
 ri 
i
. Com modificações triviais, essa é a solução mais geral do problema proposto.
Análises mais recentes (Gudrun Pinter, “Epstein-Glaser renormalization: finite renormalization, the S-matrix of  4
theory and the action principle”, PhD thesis, University of Hamburg, October 2000; Annalen Phys. 10 (2001) 333-363; Dirk
Prange, J. Phs. A: Math. Gen. (1999) 2225) demonstram que o método EG possui intrinsecamente uma liberdade de escolha
de regularização que é essencial ao subsequente processo de renormalização, o qual termina por relacionar os parâmetros
livres aos valores de parâmetros físicos.
118
5.1.4.
GRAU SUPERFICIAL DE DIVERGÊNCIA, POWER COUNTING E EXEMPLOS
Definindo uma extensão tensorial para a distribuição T , é possível deduzir uma expressão para o grau superficial de
divergência no espaço de Minkowski das posições, obtendo-se os mesmos resultados apresentados pela técnica de power
counting no espaço dos momentos. Em particular, pode-se demonstrar que as seguintes distribuições possuem divergências
de ordem 2 em x  0 :
i
   x; m  
eipx  p 0   p 2  m2  d 4 p
3 
 2 
  

 i 0  i 0  1 F  x; m  ,
x  x

 i x0 ipx 3
e
d p
,
F  x; m    2
2
2   1
2
onde  2   p 2  m2  , e F  x; m  é uma função contínua limitada sobre
4
.
As distribuições retardada e avançada
 R  x; m  
 A  x; m  
1
 2 
eipx
4 
1
p
e

2

 
p
2
 i   p  m
2
2
   x 0    x; m  ,
2
    x 0    x; m  ,
d4p
 ipx
4
2
d4p
2
 i   p  m
2
2
onde
119
  x; m  
1
e

2

 
3
  p 0   p 2  m2  d 4 p, 0<  p   1.
 ipx
A transformada de Fourier do propagador de Feynman será dada por:
1
d4p
 ipx
 F  x; m  
e
   x 0     x; m      x 0      x; m  .
4 
2
2
 p  m  i 
 2 
5.1.5.
EQUIVALÊNCIA ENTRE OS MÉTODOS BPHZ E EG
A equivalência entre ambos os métodos, ao nível das regras de regularização de grafos a um laço, é demonstrada pela
comparação termo a termo da sequência de contratermos, quando o regulador é removido (Epstein e Glaser usaram as
regularizações analítica e de Pauli-Villars, mas a mesma conclusão é válida para a regularição DimReg). A lista desses
contratermos infinitos é exatamente a mesma do que a lista encontrada no formalismo BPH, e como são univocamente
determinados pelos requisitos das transformadas de Fourier, o formalismo BPH e Epstein-Glaser coincidem. Para grafos de
ordens superiores de laço, o método BPHZ contém uma prescrição geral adicional, a fórmula das florestas de Zimmermann.
Essa fórmula, porém, embora matematicamente rigorosa e logicamente transparente, resulta em integrais de difícil resolução
quando aplicada a cálculos explícitos de amplitudes de Feynman, o que cede preferência a métodos mais empíricos, tais
como a DimReg com MS.
Para mostrarmos a equivalência entre os dois métodos para grafos a um laço, vamos definir o método EG como a
seguir.
Seja d  x  uma distribuição escalar com ordem de singularidade  . O método EG define distribuições avançadas e
retardadas fazendo o corte (splitting) dos suportes por uma hipersuperfície do tipo espaço, por exemplo, v  x  0 , sendo v
120
um vetor do tipo tempo. É bem conhecido o resultado de que uma construção válida para todos os valores fisicamente
relevantes  , para todas as funções de teste   x   k é a seguinte:
onde o operador W é definido em termos da sua ação sobre as funções de teste g  x  :
e D a é a notação usual para derivadas parciais:
x a é notação multicomponente padrão para as coordenadas, e w  x  é uma função que satisfaz as condições
Uma dada escolha da função w  x  representa uma regularização específica, e quaisquer duas regularização distintas diferem
nos integrandos por uma distribuição  e por derivadas até a ordem  :
121
onde
O esquema BPHZ é fundamentado nas regras de Feynman no espaço dos momentos. De um ponto de vista formal, um dado
diagrama  com momentos internos k se traduz em um integrando da forma:
onde p representa o conjunto dos momentos externos, e k representa os momentos internos sobre os quais será feita a
integração. Os fatores  c são proporcionais aos propagadores de Feynman  p no espaço dos momentos, e correspondem às
linhas internas l de um dado conjunto . O fluxo dos momentos é determinado pelas convenções usadas na fórmula das
florestas. Um dado vértice V do conjunto de vértices contribui com o fator PV . Consideremos agora um grafo a um laço
irredutível, cujo grau de divergência é d    . A abordagem BPHZ substitui o integrando pela seguinte expressão
modificada:
onde
O operador de Taylor t p   representa simbolicamente a expansão em termos do conjunto dos momentos externos
independentes p . Procedendo à renormalização subsequente, o resultado geral da regularização tem a seguinte forma:
d 
122
onde P    p  é um polinômio de grau d    que representa a liberdade de regularização que ainda resta.
Para ilustração da equivalência entre os dois métodos, vamos considerar o grafo seguinte em que é mostrada a função
de 4 pontos da teoria  4 a um laço, onde PV determina uma potência da constante de acoplamento g :
d 
A figura contém momento externo total p  p1  p2 e duas linhas internas. Neste caso, d    0 , e resulta da regularização
BPHZ que:
Para comparar com o resultado correspondente da regularização EG, as equações (1a) e (2a), assim como todas as funções
de teste, são transformadas para o espaço dos momentos pela transformação de Fourier, e obtemos:
assim como a equação análoga de (6):
123
Se escolhermos a função w , em um caso limite, como sendo igual a w  x   1, obedecendo, portanto, à condição (2b), sua
transformada de Fourier será dada por
E assim recuperamos a expressão BPHZ (6).
É claro que provar a equivalência entre os esquemas BPHZ e EG, para outras teorias e a mais de um laço, é
tecnicamente mais complicado, embora conceitualmente factível. A maior complexidade nesses casos se deve ao fato de que
EG é uma expansão em termos do número n de vértices, ou seja, em termos de potências da constante de acoplamento g ,
enquanto que BPHZ é uma expansão em termos de laços, isto é, uma expansão formal em termos da constante de Planck.
124
6.
ESTRUTURA MATEMÁTICA DOS GRAFOS DE FEYNMAN: ÁLGEBRAS DE HOPF
6.1. INTEGRAIS DE FEYNMAN COMO PERÍODOS
Precisamos do ferramental da Geometria Algébrica (GA) para estudar as estruturas matemáticas subjacentes aos
métodos de renormalização das integrais de Feynman – restritos aqui ao método BPHZ e ao método Epstein-Glaser. Um
primeiro passo possível é o da identificação entre integrais de Feynman (IF) e um objeto da GA definido como período, que
apresentaremos a seguir
6.1.1. INTRODUÇÃO
O cálculo de integrais de Feynman de grafos com laços nas TQC perturbativas é essencial para se obter resultados
teóricos acurados e precisos, necessários às comparações com os resultados dos experimentos. Essas integrais, entretanto,
apresentam grandes dificuldades, pelas ocorrências de singularidades, ou divergências, UV e IR. As divergências UV, como
já foi visto, estão relacionadas ao comportamento das integrais em regiões de altas energias, com os momentos
arbitrariamente grandes de partículas virtuais off-shell. Quando a teoria é renormalizável, essas divergências podem ser
absorvidas por contratermos na lagrangiana, e já vimos vários métodos de fazer isso. As divergências IR dizem respeito à
existência de partículas sem massa na teoria, e, quando os observáveis a considerar são independentes dessas partículas, as
divergências IR podem ser canceladas no resultado final, quando é feita a soma da série perturbativa sobre todos os estados
degenerados.
Já mostramos também que a DimReg pode ser usada para regularizar essas divergências, de um modo que pode ser
resumido assim:
(a) considera-se a integral de laço em um espaço infinito de d dimensões contínuas;
(b) o resultado é expandido em uma série de Laurent no parâmetro    4  d  2 ;
125
(c) as singularidades se manifestam como polos em 1  ;
(d) cada laço com divergência UV contribui com um fator 1  ;
(e) cada laço com divergência IR contribui com um fator 1  2 ;
(f) logo, a integral de um grafo com laços pode ter polos de até 1  2 .
O próximo passo é investigar que tipo de números os coeficientes da série de Laurent podem ser. Em primeiro lugar,
esses coeficientes dependem certamente dos momentos externos e das massas das partículas virtuais que se propagam nos
laços. Já foi visto também que, para conservar a integral adimensional, introduz-se uma escala arbitrária de massa  , e o
resultado final também dependerá dessa massa. Para simplificar, vamos considerar apenas integrais de laços de campos
escalares. Nesse caso, a dependência dos momentos externos se dá somente através de invariantes de Lorentz do tipo
p  p
1
2

 p j  . Vamos supor, por hipótese, que as razões entre todos esses invariantes e massas sejam números
2
racionais a   . Essa restrição não é limitadora, em princípio, uma vez que o conjunto dos racionais é denso no
conjunto dos reais. Prosseguindo, vamos considerar uma integral de laço na região euclidiana, ou seja, todas as massas são
positivas ou zero, e todos os invariantes são negativos ou zero. Os resultados de cálculos explícitos mostram que, para todas
as integrais a um laço, o coeficiente   0 envolve somente números racionais, logaritmos e dilogaritmos. As integrais a dois
laços resultam em coeficientes que são polilogaritmos múltiplos, e para a função de dois pontos a dois laços com massa
nula, todos os coeficientes de Laurent podem ser expressos em termos de MZV (multiple zeta values). Da mesma forma, há
fortes evidências numéricas de que a função de três pontos a três laços com massas internas iguais envolve como
coeficientes integrais elípticas. Tudo isto parece apontar para um padrão, um conjunto comum de números ou de funções ao
qual todos esses exemplos pertencem. De fato, todas essas funções associadas aos coeficientes da série de Laurent, quando
têm números racionais como argumentos, são um tipo especial de número, chamados períodos, que passaremos a definir em
seguida.
126
6.1.2. PERÍODOS
Como já foi dito acima, períodos são números especiais. Para defini-los, precisaremos listar antes certos conjuntos de
números bem conhecidos. Como os naturais :
 1,2,3,  ,
os inteiros :
  , 2, 1,0,1,2,  ,
os racionais
das frações irredutíveis:
p

  | p  , q  , m.d .c. p, q   1 ,
q

os reais
e os complexos :
 x  i  y | x, y   .
Um conjunto de números particularmente adequado ao nosso propósito é o dos números algébricos
é uma solução de uma equação polinomial com coeficientes racionais:
xn  an1xn1   a1x  a0  0, a j  .
: um número algébrico
Como todas as soluções desse tipo de equação pertencem a , o conjunto
é um subconjunto de . O número algébrico
real irracional mais simples é 2  1,4142135 , já citado por Euclides nos “Elementos”. Funções trigonométricas de
qualquer ângulo racional também são números algébricos, como sen  60º   3 4 , tan 18º   1  2 5
Tradicionalmente, os números são classificados de aocrdo com sua posição na hierarquia dos conjuntos
127






Números que não são algébricos são ditos transcendentais. Os conjuntos , , e
são contáveis, enquanto que os
conjuntos , e o conjunto dos números transcendentais são incontáveis, o que significa que existe uma enorme diferença
de tamanho entre os conjuntos de números algébricos e números transcendentais, que se pode denotar pelo índice de
cardinalidade (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1873). A demonstração por Cantor de que os transcendentais eram
incontáveis, assim como os reais, e os números algébricos eram contáveis, entre outros conceitos revolucionários para a
época, como o de números transfinitos, lhe valeu a ira dos contemporâneos, como Leopold Kronecker, que o chamou de
“corruptor da juventude”.
Períodos constituem um conjunto contável de números, situado entre
e , que não está presente na hierarquia
acima. Dentre as várias definições de períodos, usaremos uma fornecida pelos matemáticos Maxim Kontsevich e Don Zagier
(“Mathematics unlimited – 2001 and beyond”, Ed. Björn Engquis e Wilfried Schmid, 2001, p.772):
“Período é um número complexo cujas partes imaginária e real são valores de integrais absolutamente convergentes
de integrais de funções racionais com coeficientes racionais, sobre domínios em n dados por desigualdades polinomiais
com coeficientes racionais.”
Domínios definidos por desigualdades polinomiais com coeficientes racionais são chamados de conjuntos
semialgébricos.
Vamos simbolizar o conjunto dos períodos por . Os números algébricos estão contidos no conjunto dos períodos:
 . Em acréscimo, também contém números transcendentais, como, por exemplo, o número  :
128


x 2  y 2 1
1
1
dxdy  2  1  x dx  
2
1
1
dx
1  x2


dx
 1 x

2

1
dz
 3,1415926535

2i 0 z  z
As integrais do lado direito mostram claramente que  se enquadra na definição, logo, é um período. Por outro lado,
conjetura-se que números tais como a base dos logaritmos naturais (que o matemático francês Charles Hermite provou em
1873 ser um transcendental)
n
1n
 1
e  lim 1    lim 1  n   2,7182818284590
n
 n  n0
e a constante de Euler- Mascheroni
1
 1

  lim 1     ln n   0,5772156
n
n
 2

não sejam períodos.
Existem também vários exemplos de períodos diferentes de  e de números algébricos. Por exemplo, logaritmos de
números algébricos são períodos, como:
2
dx
ln 2   .
x
1
De maneira similar, o perímetro de uma elipse de raios a e b é dado pela integral elíptica:
b
a2 x2
2  1 4
dx ,
2 2
b

b
x
b
a qual não pode ser expressa algebricamente usando  para a  b, a, b  0 . Várias somas infinitas de expressões
elementares são períodos. Por exemplo, o particular valor da função zeta de Riemann
129
  3  1 
1 1
 
23 33
 1,2020569
possui a seguinte representação integral:
dxdydz
.

1

x
yz


0 x  y  z 1
De modo mais geral, são períodos todos os valores da função zeta de Riemann
1
 s   s , s  2 ,
n1 n
assim como são períodos todos o valores da função multizeta (MZV)
1
  s1 , , sk   
 si  , sk  2  .
s1
nksk
0 n1   n n1
Pode ocorrer, porém que a integral de uma função transcendental seja “acidentalmente” um período, como, por exemplo:
1
x
0 ln 1 1  x  dx  ln 2 .
Também ocorre que valores da função gama em valores racionais do argumento sejam relacionados a períodos:
q
 p q 
 p, q   ,
como, por exemplo,
1
dx
2
3
43 12
 1 2   
e
.
 1 3  2 3  
3
0 1 x
Isso ilustra como, de forma geral, parece não existir uma regra universal que explique porque certas somas de séries infinitas
ou integrais de funções transcendentais sejam períodos. De cada vez é necessário descobrir um novo artifício para provar
que uma dada expressão transcendental seja um período.
  3 
130
Como, por outro lado, se pode dizer sem muito exagero que uma grande parte da Geometria Algébrica consiste (de
forma velada) no estudo das integrais de funções algébricas de múltiplas variáveis, deve-se seguir, na prática, o seguinte
princípio:
Sempre que um novo número for encontrado, e tenha sido decidido (ou suposto) que seja um transcendental, deve-se tentar
descobrir se esse número é um período.
Complicando mais as coisas, não está claro como descobrir se dois períodos são idênticos. Ou seja, não existe um conjunto
finito de regras que possibilite essa comparação em todos os casos. Por exemplo, os dois períodos abaixo:
a


6
3502 ;

 4

b  ln  2 x j  x 2j  1  , onde
 j 1

1071
1553
627
x1 
 92 34, x2 
 133 34, x3  429  304 2, x4 
 221 2 ,
2
2
2
coincidem numericamente até em mais de 80 casas decimais, mas, no entanto, são diferentes.
Vejamos agora algumas propriedades básicas dos períodos que podemos afirmar com segurança:
(a) o conjunto dos períodos
é uma -álgebra. Em particular, a soma e o produto de períodos são também períodos. A
demonstração para a multiplicação é imediata: Sejam a e b dois períodos, dados pelas integrais:
onde f  x  e g  y  são funções racionais com coeficientes racionais. Pelas propriedades da integral, decorre então que:
131
Consideremos, para a soma de dois períodos, o domínio:
Define-se então a soma:
onde t é a coordenada do fator central
do produto cartesiano
n
 
m
.
A definição inicial das integrais de períodos contém integrandos que são funções racionais com coeficientes racionais.
Para os nossos propósitos, porém, essa definição é restritiva, uma vez que também encontraremos logaritmos nos
integrandos. O seguinte lema, de prova imediata, resolve essa omissão:
Lema 1. Sejam G  n um conjunto semialgébrico, f  x  e g  x  duas funções racionais com coeficientes racionais.
Vamos assumir que a integral abaixo seja absolutamente convergente:
Então I é um período.
Prova: Podemos transformar a integral da seguinte forma:
132
onde G  n1 e  x1, , xn , t   G se  x1, , xn , t   G e t  0,1 . Por construção, G é claramente também um conjunto
semialgébrico. Logo, a integral é um período.
Usando a mesma técnica de introduzir variáveis adicionais se pode mostrar que, para funções racionais
f1  x  , g1  x  , f 2  x  , g2  x  , todas elas com coeficientes algébricos, a seguinte afirmação é verdadeira. Se a integral
converge absolutamente, é um período. As transformações realizadas resultaram em
onde  x1, , xn , t1, t2   G  n2 se  x1, , xn   G , t1  0,1 e t2  0,1 . Desta forma, G é um conjunto semialgébrico, e,
logo, J é um período.
Como exemplo final consideremos, com as definições acima, a integral:
Se a integral K é absolutamente convergente, então é um período.
Combinando agora esses exemplos por somas e iterações, podemos concluir de forma clara que, de acordo com a
definição integral de um período, também os integrandos que sejam combinações lineares de produtos de funções racionais
por logaritmos de funções racionais, todos os termos com coeficientes racionais, são períodos.
133
6.1.3.
EXPANSÕES DE INTEGRAIS DE FEYNMAN EM SÉRIES FORMAIS DE LAURENT
Serão consideradas somente integrais escalares (podemos sempre usar um algoritmo de redução das integrais
tensoriais mais complexas a integrais escalares, mas não detalharemos esse procedimento). Vamos nos concentrar no grafo
de Feynman mostrado abaixo, com dois laços, ou seis linhas internas, e três pernas externas:
Os momentos que percorrem as linhas externas estão simbolizados por p1, p2 , p3 , e podem ser tomados como vetores fixos,
além de estarem restringidos à conservação do momento: se todos estiverem fluindo para fora do grafo, a seguinte relação é
obrigatória:
p1  p2  p3  0 .
Também em cada vértice do grafo há conservação de momento linear: a soma de todos os momentos que se aproximam do
vértice é igual à soma de todos os momentos que se afastam do vértice. Um grafo no qual os momentos externos
determinam univocamente todos os momentos internos é chamado de grafo em árvore. Pode ser demonstrado que esse tipo
de grafo não contém nenhum ciclo fechado. Por outro lado, grafos que contêm um ou mais ciclos fechados são chamados
grafos de laços. Quando é necessário especificar, além dos momentos externos, momentos internos para que todos os
momentos sejam determinados univocamente, se diz que o grafo contém
laços. São usualmente atribuídas aos
momentos internos adicionados ao grafo as denominações de k1 a k .
As regras de Feynman traduzem um grafo de Feynman em uma fórmula matemática. No caso de um grafo escalar,
cada linha interna j , onde flui uma partícula virtual de massa m j e momento q j , deve ser substituída por um propagador
da forma:
134
i
.
q  m 2j
O momento q j é uma combinação linear dos momentos externos p e dos momentos de laços k :
2
j
q j  q j  p, k  .
As regras de Feynman exigem também a integração em cada laço sobre o momento do laço:
d 4 kr
  2 4 .
Aqui surge uma complicação. Se prosseguirmos de forma usual, escrevendo para cada laço uma integral sobre o espaço de
Minkowski quadridimensional, o resultado será um conjunto de integrais mal definidas, contendo divergências UV ou IR. O
primeiro passo, então, é fazer com que essas integrais se tornem bem definidas, através da introdução de um regulador. Já
vimos que existem várias alternativas para se aplicar essa técnica, mas o método DimReg é hoje quase um padrão, uma vez
que os cálculos com esse esquema de regularização mostram ser os mais simples. A axiomatização da DimReg, já
estabelecida anteriormente, pode ser reapresentada na seguinte forma:
 A DimReg preserva a invariância de Poincaré, ou seja, é covariante.
 É formalmente definida para uma dimensão D complexa e analítica. A diferença entre essa dimensão e a dimensão
real inteira D das teorias físicas será definida como o número complexo D  D 2ε .
 Se a integral existe, ela tem o mesmo resultado da usual integral de Riemann no limite ε  0 .
 Se a integral diverge, ela corresponde a uma série de Laurent em ε .
Vamos proceder como já foi feito anteriormente, parametrizando o desvio da dimensão D de 4 pela relação:
135
As divergências nas integrais de laço se manifestam como polos em 1  . Em uma integral sobre laços, divergências UV e
IR resultam, no pior caso, em polos 1  e 1  2 , respectivamente. Também haverá integrais cuja dimensão estará deslocada
por unidades de 2. Nesses casos, usa-se usualmente a relação:
com m inteiro, para desenvolver a série de Laurent em  .
Vamos considerar agora uma integral escalar genérica I G sobre
laços, em D  2m  2 dimensões, com n
propagadores, correspondente a um grafo G , com uma pequena generalização adicional: para cada linha interna j o
propagador correspondente no integrando pode estar elevado a uma potência v j . Assim, a integral dependerá também dos
números v1 , , vn . Para nosso propósito, basta considerar o caso em que todos os expoentes são números naturais: v j  .
Essa integral pode ser definida pela expressão:
onde foi usada a notação abreviada v  v1   vn . Os momentos q j dos propagadores são combinações lineares dos
momentos externos com os momentos em laços. Nessa equação há outros fatores globais, inseridos por conveniência futura:
um pré-fator composto por funções gama; a escala arbitrária de massa  garante que a equação seja adimensional. A
medida da integral passa a ser d D k  i D 2  , no lugar de d D k  2  , e cada propagador foi multiplicado por i . Esses préD
fatores foram escolhidos para que, depois da parametrização de Feynman, a IF tenha uma forma simples (não serão
mostradas aqui em detalhes essas modificações).
O primeiro passo para efetuar essas integrações é converter os produtos de propagadores em somas, por exemplo,
usando a técnica de parametrização de Feynman. Na sua fórmula mais geral, essa técnica também é aplicável a casos em que
cada fator no denominador aparece elevado a uma certa potência v j :
136
Aplicando essa fórmula à equação da integral, resulta:
Podemos agora usar a invariância translacional das integrais D -dimensionais sobre laços, deslocando cada momento de laço
k r para completar o quadrado, fazendo com que a integral dependa somente de kr2 . Fazendo isso, a fórmula máster para a
integração em um único laço será dada por:
As funções U e F dependem dos parâmetros de Feynman, e são obtidas depois da parametrização de Feynman para
completar o quadrado. Estão sendo permitidas também potências adicionais  k 2  do momento do laço no numerador, para
a
uso posterior.
A partir dessa equação todas as integrais D -dimensionais sobre laços podem ser calculadas iterativamente. Uma vez
que as integrais sobre os parâmetros de Feynman permanecem, isto permite que as integrais D -dimensionais sobre laços
sejam tratadas como integrais sobre parâmetros de Feynman. Chega-se finalmente à seguinte integral paramétrica de
Feynman:
As funções
e F dependem dos parâmetros de Feynman. Se escrevermos
137
onde M é uma matriz l  l com elementos escalares e Q é um l -vetor com quadrivetores como componentes, obtém-se:
As funções
e F podem ser obtidas alternativamente a partir da topologia do grafo de Feynman G correspondente. O
corte de l linhas de um grafo conexo com l laços, de forma que resulte um grafo em árvore conexo T , define um conjunto
de cordas T , G  cujo conteúdo é constituído pelas linhas que não pertencem a essa árvore. Os parâmetros de Feynman
associados com cada corda desse conjunto define um monômio de ordem l . O conjunto de todas essas 1-árvores é
simbolizado por 1 . As 1-árvores T  1 definem
como sendo a soma de todos os monômios correspondentes às cordas
em T , G  . O corte de mais uma linha de uma 1-árvore resulta em duas 2-árvores desconexas T1 ,T2  . O conjunto de todos
esses pares é 2 , e as cordas correspondentes definem monômios de grau l  1. Cada 2-árvore de um grafo corresponde a um
corte definido pelo corte das linhas do grafo original que conectavam as duas árvores agora desconexas. O quadrado da
soma dos momentos sobre as linhas de corte de uma das duas árvores desconexas T1 ou T2 define um invariante de Lorentz
A função F0 é a soma sobre todos aqueles monômios, subtraindo-se o invariante correspondente. A função F é dada então
pela função F0 mais uma parcela adicional envolvendo as massas internas m j . Resumindo essas operações, as funções
e
F são obtidas do grafo da forma que se segue:
138
Em geral, U é uma função positivo-definida, e seu valor zero está relacionado de algum modo às subdivergências UV do
grafo. Divergências UV genéricas, se existirem, estarão sempre contidas no pré-fator   v  lD 2  presente no denominador
da definição da integral I G mostrada acima. Na região euclidiana, F é também uma função positivo-definida dos
parâmetros de Feynman x j . A região euclidiana é definida como a região em que todos os invariantes sT são negativos ou
nulos. O valor zero de F está relacionado às divergências IR. É importante observar que isso é uma condição necessária,
mas não suficiente, à ocorrência de uma singularidade IR. Se uma singularidade IR ocorre ou não dependerá também da
cinemática externa da interação.
Para exemplificar o cálculo explícito dessas funções U e F , voltemos ao grafo da figura anterior, assumindo, para
simplificar, que todas as massas internas são nulas. Nesse caso, as funções terão as formas:
Usou-se aqui a notação abreviada
139
Vamos agora ao resultado principal que diz respeito à expansão em série de Laurent de uma integral I G . Consideremos
novamente a expressão de uma integral escalar I G genérica sobre múltiplos laços, em termos das funções
e F , já vista
acima:
Seja m um inteiro, e façamos D  2m  2 . Então, a integral I G possui uma expansão em série de Laurent de potências de
 dada por:
IG 

c
j 2 l
j
j
.
Pode-se provar então o seguinte teorema, relacionando a expansão das integrais ao conjunto dos períodos:
Teorema: No caso em que
1. todos os invariantes cinemáticos sT são negativos ou nulos;
2. todas as massas mi e  são positivas ou nulas    0  ;
3. todas as razões entre os invariantes e as massas são números racionais,
então os coeficientes c j da expansão de Laurent são períodos.
Este resultado estende e generaliza um teorema de Prakash Belkale e Patrick Brosnan sobre a expansão de Laurent de
funções zeta locais de Igusa (P. Belkale & P. Brosnan, Int. Math. Res. Not. (2003) 2655).
A importância desse teorema para a teoria das IF é que ele restringe a classe das funções que podem estar presentes no
cálculo das integrais de Feynman, quando os coeficientes das expansões de Laurent correspondentes são períodos. Observese que não foi provado que toda expansão de Laurent de uma IF exista e possa ser expressa em termos de períodos.
140
6.2. ÁLGEBRAS DE HOPF NA TEORIA DA RENORMALIZAÇÃO NO ESPAÇO DOS MOMENTOS
Antes de estudarmos o caso específico referido no título acima, precisamos esclarecer, ainda que sucintamente, o que
é uma álgebra de Hopf.
6.2.1. ÁLGEBRA DE HOPF – UMA INTRODUÇÃO
Uma álgebra de Hopf (Heinz Hopf, Ann. of Math. 42 (1941) 22-52) é uma estrutura matemática da Topologia Algébrica,
definida sobre um campo ou sobre um anel comutativo, e que, entre outros exemplos, é a álgebra da co-homologia dos
grupos de Lie. No contexto que estamos tratando, a álgebra de Hopf é a estrutura matemática seguida pelos grafos, ou
diagramas, 1PI de Feynman, ou, equivalentemente, pelas funções de Green correspondentes a esses grafos.
Definindo formalmente, uma álgebra de Hopf é uma biálgebra (simultaneamente uma álgebra unital associativa e uma
coálgebra counital coassociativa) H definida sobre um campo, ou um anel abeliano, K , acompanhada de um mapa K 
linear, chamado de antípoda, S : H  H , que obedece ao seguinte diagrama comutativo:
141
onde  é a comultiplicação da biálgebra,  é a multiplicação,  é a unidade e  é a counidade.
A teoria e representações das álgebras de Hopf não serão aprofundadas aqui, onde serão mostrados manifestações
dessa álgebra enquanto estrutura matemática subjacente aos grafos de Feynman. O esquema abaixo ilustra a “genealogia” de
uma álgebra de Hopf:
Uma álgebra e uma coálgebra são estruturas duais em um certo sentido a ser precisado. Existindo certas leis de
compatibilidade mútua, passam a constituir uma estrutura única de biálgebra. Quando essa estrutura contém um mapa
inverso da identidade definido como antípoda, passa a ser uma álgebra de Hopf. Cabe observar que hoje, na Álgebra
Abstrata, estão identificadas mais de 200 estruturas algébricas distintas, a álgebra de Hopf é apenas uma delas.
Exemplo: Um exemplo simples de uma álgebra de Hopf é a álgebra k G  dos elementos de um grupo G sobre um
campo k . A álgebra pode ser definida como a tripla  k G , m,  , onde
 :k G
m:G G G e
são mapas lineares, sendo m a operação de multiplicação e  descreve a unidade de G via  1k   1A . A biálgebra é
definida pelas equações abaixo que definem a comultiplicação  e a counidade  , sendo o antípoda S  g   g 1 :
 g   g  g
 g   1
e
142
Duas referências básicas e atuais sobre álgebras de Hopf são: “Quantum Groups”, Christian Kassel, Springer-Verlag,
1995, Parte I, particularmente os capítulos de 1 a 3; “Hopf Algebras”, David. E. Radford, World Scientific, 2012.
6.2.2.
BUSCANDO A ÁLGEBRA DE HOPF
Estamos agora com todos os instrumentos para atingir a meta principal, que é a formulação da teoria da renormalização em
termos de uma álgebra de Hopf. Existe um indicador natural para a classificação, ou graduação, de diagramas de Feynman,
que é o número de laços. Esta graduação, porém, não é a mais essencial no que tange à formulação da renormalização.
A presença de subdivergências e o próprio Teorema de Weinberg levam ao estabelecimento de uma graduação mais
fundamental que deve ser considerada: o número de subdivergências no grafo. Vamos classificar um grafo divergente que
não possua subdivergências como sendo de grau um. Um grafo em árvore será de grau zero. Consequentemente, um grafo
divergente com n  1 subdivergências será de grau n , e corresponde a uma expressão analítica na qual podemos localizar
simultaneamente n  1 subgrafos, eles próprios divergentes. Veremos que esse grafo pode ser construído a partir de n
grafos, cada um desses n grafos sem nenhuma subdivergência.
Renormalização é uma operação sobre grafos através da qual todas as divergências e subdivergências são
compensadas, usando-se a fórmula das florestas de Zimmermann. Embora não seja esta a maneira usual de obter essa
fórmula, vamos partir das Equações de Schwinger-Dyson (ESD), por ser mais fácil entendê-la assim. Voltemos à equação de
vértice
143
Para uma ESD completa, temos que considerar a correções radiativas também para propagadores e vértices internos. Isto
resulta em um sistema de equações acopladas da forma
onde 1 p 2 se refere ao propagador não renormalizado. Observe-se que estamos usando uma notação acentuadamente
simbólica.
Partindo da condição inicial Zi  1    podemos desenvolver a construção da série correspondente em para  e
P , usando como fonte de alimentação a série K . Já sabemos que os fatores Z são decompostos observando-se as várias
topologias distintas. Podemos também observar que os lados direitos das equações do sistema contêm funções finitas
renormalizadas que serão integradas. Isto significa que o fator Z para um dado diagrama de Feynman obtém contribuições
não só dos diagramas não normalizados gerados por P e K , mas também dos fatores de ordem mais baixa que tornam
144
finitas as subdivergências desta série, o que se evidencia através da forma explícita da iteração nas equações. Espera-se
então que o fator Z para um grafo  possua realmente a forma geral
conforme já observado de forma particular na equação
Para um dado grafo  essas fórmulas resultam na expressão
que representa uma grandeza que tem todas as suas subdivergências localizadas em subgrafos próprios  e renormalizadas.
A partir dessa grandeza é possível se obter uma expressão para o contratermo Z  tal que   Z  seja uma grandeza finita. O
contratermo será no máximo um polinômio em parâmetros externos tais como massas e momentos, e, logo, será um
operador local, cuja forma específica dependerá da escolha do esquema de renormalização, e também da regularização, se
usada. Tal como consta dos livros textos, por exemplo, “Renormalization” de J. Collins, Cambridge UP, 1984. Neste
exemplo foi usado o esquema MS, em que os colchetes quebrados indicam uma projeção sobre a parte própria de polo da
série de Laurent em  , como já foi mostrado, mas a equação continua valendo se os colchetes significarem qualquer outra
operação que extraia as divergências. Do ponto de vista do rigor matemático, é mais recomendável a DimReg, uma vez que
este esquema corresponde a uma decomposição (de Birkhoff) da função de Green não renormalizada em sua parte
holomorfa em D  4  0 e sua parte holomorfa em D  4   (Alain Connes e Dirk Kreimer, J. High Energ. Phys. 09 (1999)
24).
Mas, afinal, de que modo se pode relacionar a renormalização com uma estrutura de álgebra de Hopf?
145
6.2.2.1.
O MODELO UNIVERSAL DA ÁLGEBRA DE HOPF DAS ÁRVORES ENRAIZADAS
Já foi visto que o método, ou esquema, de renormalização BPHZ tem com cerne a fórmula recursiva de BogoliubovParasiuk (1957), posteriormente demonstrada com rigor por Hepp (1966) e complementada em definitivo com a fórmula de
florestas de Zimmermann (1969). No entanto, somente em 1997 a estrutura algébrica da recursividade de Bogoliubov foi
elucidada, em um artigo seminal do físico alemão Dirk Kreimer (“On the Hopf álgebra structure of perturbative quantum
Field theories”, arXiv:q-alg/9707029v4), mostrando que é essencialmente dada pelo coproduto e o correspondente antípoda
de uma álgebra de Hopf cujos elementos são grafos de árvores enraizadas. Essas árvores descrevem graficamente
integrações encapsuladas, ou em ninho, que podem ser resolvidas pelo lema das integrais iteradas de Chen (Kuo-Tsai Chen,
Trans. Am. Math. Soc. 156 (1971) 359) .
Como exemplo, consideremos uma função f  x  e sua 1-forma associada f  x  dx , definidas sobre a linha dos reais, e
suponhamos que essa função se comporta, para grandes valores de x
Podemos definir a integral
b como f  x   f  ; x 
x 1 , para 0  
1.
É fácil ver que, no limite   0 , essa expressão não é bem definida, possuindo a estrutura de uma integração em y
encapsulada, que, no jargão da teoria da renormalização, gera uma subdivergência em ninho    na integração final em x
 , a qual diverge de modo global (overall divergence).
146
Def: Denomina-se árvore enraizada t a um grafo orientado conexo e sem laços, composto unicamente por vértices e
linhas, em que um dos vértices, chamado raiz, não recebe nenhuma linha, mas pode ser a origem de uma ou mais linhas. O
número de vértices de uma árvore enraizada é o seu peso. A figura abaixo mostra as árvores planas enraizadas de peso
menor ou igual a 4, com a raiz na posição inferior:
t , t , t , t
1
2
31
32
, t41 , t41 2 , t4210 , t4201 , t43

Seja um conjunto não vazio
. Uma árvore enraizada decorada por
é uma árvore enraizada t munida de uma
aplicação f dos seus vértices sobre . A imagem de um vértice s por essa aplicação é chamada de decoração de s .
Associamos agora às combinações de integrações mal definidas Gb ,2 uma certa árvore enraizada t  t2  f , f  ,
mostrada na figura abaixo.
t
Nesta figura, da direita para a esquerda, estão representadas as quatro árvores enraizadas t1 , t2 , t31 , t32 , e duas árvores
enraizadas decoradas, sem ramos laterais, à direita: uma genérica Bn  e  com decorações f n
f1 , e, explicitamente para o
caso n  2 , a raiz enraizada decorada associada à integral Gb ,2 definida no exemplo anterior.
t
147
Generalizando para n arbitrário e b 

, definimos as funções abaixo:
Associamos a elas a árvore enraizada tn : Bn  e  com n vértices mostrada no lado direito da figura, e entendemos que a
árvore vazia, a unidade e da álgebra de Hopf , está associada a Gb ,  1 . Considerada como caso particular de uma árvore
enraizada decorada, tn carrega a mesma decoração f em cada vértice.
Pode-se mostrar a partir dessas definições que as árvores tn formam uma subálgebra de Hopf Chen  , e esta é uma
álgebra de Hopf especial que tem por elementos árvores enraizadas sem ramos laterais, com o operador de coproduto  e o
antípoda S dados, respectivamente, pelas seguintes expressões:
e
Vejamos agora como essa estrutura está associada com os grafos de Feynman.
148
Vamos exemplificar com o seguinte grafo das subdivergências da teoria escalar  3 em 6 dimensões:
Este grafo pode ser representado pela árvore enraizada decorada:
na qual foi feita a seguinte indexação (ou decoração):
Para um tratamento algébrico que preserve os locais exatos onde devem ser feitas as inserções, com a finalidade de
recuperar o grafo original, deveriam ser feitas subindexações adicionais, que serão ignoradas aqui. Na verdade, como
estamos principalmente interessados na soma de todos os grafos de Feynman de uma dada ordem da teoria de perturbação,
para os fins da recursividade de Bogoliubov todas as inserções de  2 e  3 em  1 devem ser levadas em conta de uma só vez,
com o devido cuidado para representar grafos com divergências entrelaçadas em uma combinação linear apropriada de
árvores.
149
Antes de mostrar a aplicação da recursividade a esse grafo, precisamos definir as duas árvores
que representam o grafo  1 quando  2 e  3 , respectivamente, são inseridos de forma apropriada.
Aplicando agora o operador R e a fórmula de recursividade de Bogoliubov, o valor renormalizado do grafo  será
obtido da seguinte forma:
.
Nessa expressão,  representa a contribuição, não renormalizada, mas possivelmente regularizada (se a renormalização não
for feita diretamente no nível do integrando), do grafo que uma dada árvore está representando. Por exemplo, no caso da
DimReg,  é um mapa para a álgebra V :  1 ,   das séries de Laurent com setor finito de polos. O mapa R : V  V é
um esquema de renormalização. O uso de um regularizador pode sempre ser evitado, se definirmos um esquema de
renormalização diretamente sobre o integrando, como é o caso do esquema BPHZ , o que permite que essa abordagem seja
diretamente formulada no nível das equações quânticas de movimento, as equações de Dyson-Schwinger, quando a escolha
150
de um esquema de renormalização pode corresponder, de forma não perturbativa, à escolha de uma determinada condição de
contorno para a equação integral associada.
Vamos definir agora em mais detalhe a álgebra de Hopf das árvores enraizadas.
6.2.2.2.
A ÁLGEBRA DE HOPF DAS ÁRVORES ENRAIZADAS
Uma árvore enraizada (não decorada e não planar) é um grafo finito conexo e contrátil com um vértice distinto a que
chamamos raiz. Por convenção, a raiz é sempre desenhada no alto da árvore. Um isomorfismo de árvores enraizadas é um
isomorfismo entre grafos que mapeia uma raiz em outra raiz. Chamaremos as classes de isomorfismo de árvores enraizadas,
por abuso de linguagem, novamente de árvores enraizadas.
Antes de prosseguir, vamos definir algumas noções básicas, e suas respectivas notações.
Álgebra graduada (graded álgebra): é uma álgebra sobre um campo, ou corpo, numérico (p.ex., sobre , ), ou, de
maneira mais geral, sobre um anel comutativo, quando é chamada de R -álgebra, a cujos elementos está atribuída a noção de
peso, ou grau, no sentido de que os pesos dos elementos se somam, quando os elementos são multiplicados. Essa estrutura é
chamada de graduação (gradation, grading), e é definida pela decomposição da álgebra em soma direta:
A   Ai , tal que Ai Aj  Ai  j .
Característica de um campo numérico F ( char  F  ): é o número de vezes n , se existir, que a unidade da
multiplicação precisa ser adicionada para se obter a unidade da soma; quando n não existir, char  F   0 . Ou seja,
11 1  0.
char  F   n  n
onde
n
EXEMPLO: Todo campo ordenado (por exemplo:
ser 0 ou um número primo p .
, ) tem característica 0. A característica de qualquer campo só pode
151
EXEMPLO: Um campo finito, ou campo de Galois GF  p n  possui característica p . Neste caso, se aplica a fórmula
 a  b
EXEMPLO: A série formal de Laurent
p
 ap  bp.
LF   an X n ,
n
onde an  0 para todos os índices n negativos, exceto um número finito deles, possui como característica um numero primo
p.
Álgebra de Hopf: Seja um campo k com característica zero. Consideremos sobre esse campo as k -biálgebras
 A, m, , ,   graduadas e conexas, isto é, com as seguintes propriedades:

A  An ,
n 0
A0  k ,
Am An  Amn ,
  An  
A A ,
l  mn
l
m
   .
Toda biálgebra graduada conexa é uma álgebra de Hopf H , cujo coproduto é  .
No caso que estamos estudando aqui, H é a álgebra comutativa livre gerada por árvores – incluindo aí a árvore vazia, que é
considerada como a unidade - com a graduação de peso de cada árvore  , que é o número de seus vértices. Por exemplo,
as árvores de pesos 1 a 4 são as seguintes:
Um produto de árvores enraizadas é chamado de floresta (seguindo e generalizando o conceito de árvore de Zimmermann).
Obviamente, o peso de uma floresta é a soma dos pesos de suas árvores geradoras. Nessa álgebra H é definido um
coproduto:
152
         
 P    R   ,
c
c
cortes
onde a soma se dá sobre todos os cortes admissíveis da árvore  . Define-se como corte de  um subconjunto não vazio dos
ramos de  que devem ser removidos. O produto das subárvores que “caem” após a remoção desses ramos é chamada de
poda (pruned part), simbolizada por Pc   , enquanto a parte remanescente que permanece conectada à raiz é simbolizada
por Rc   . Essa definição Sá faz sentido para esses cortes admissíveis, que, por definição, são aqueles em que, para cada
folha l de  , está contido no máximo um ramo do caminho único entre a folha l e a raiz, como no exemplo abaixo:
Embora nesse exemplo isso não esteja muito claro, observe-se que a aparente duplicidade do produto direto da árvore pela
identidade tem a função de preservar a simetria da árvore como um todo em relação à raiz. Esse coproduto é compatível com
a graduação, confirmando assim que H é realmente uma álgebra de Hopf.
Existe também naturalmente um endomorfismo linear em H sobre árvores  i , o operador enxerto (grafting operator)
B , definido como se segue:
Descrevendo em palavras: B cria uma nova raiz e a conecta com cada raiz do seu argumento. A importância de B é o
papel que desempenha na vinculação desse esquema geométrico-algébrico à co-homologia de Hochschild.
153
6.2.2.3.
A ÁLGEBRA DE HOPF DOS GRAFOS DE FEYNMAN SEM SUBDIVERGÊNCIAS
Enquanto árvores enraizadas descrevem divergências aninhadas de maneira imediata, a resolução de divergências
entrelaçadas (overlapping divergences) exige um cuidado maior. Esse problema, no entanto, somente existe no espaço dos
momentos, onde é usado o método de renormalização BPHZ, e, como veremos, não se dá no espaço das posições, onde é
usado o método de Epstein-Glaser, que especificamente afasta as divergências entrelaçadas e elimina a necessidade dos
parâmetros de regularização. Na verdade, o formalismo das árvores enraizadas é especialmente adequado para descrever a
renormalização no espaço das coordenadas, ou das posições, embora nesse espaço, mesmo com grandes ganhos conceituais,
se apresentem maiores dificuldades computacionais de automação dos procedimentos. Mesmo assim, se construirmos uma
álgebra de Hopf diretamente sobre o conjunto dos grafos de Feynman irredutíveis de uma partícula, os grafos 1PI, e não
sobre árvores, as dificuldades oriundas daquelas divergências entrelaçadas podem ser contornadas. Seja, por exemplo, a
álgebra comutativa livre de Connes-Kreimer H CK dos grafos 1PI de Feynman de uma teoria escalar (no caso de uma teoria
não escalar será necessário levar em conta fatores de forma correspondentes a estruturas externas, que, sem perda de
generalidade, não serão considerados aqui). Como é usual, o grafo vazio é identificado à identidade . Um produto de
grafos i ,  j é identificado a seguir com a união disjunta desses grafos : i   j  i   j , e o coproduto da álgebra de
i  j 
Hopf é dada por
            
 
onde a soma é realizada sobre todos os grafos  que são subgrafos próprios de  , superficialmente divergentes e 1PI.
Alguns exemplos podem ser encontrados em A. Connes & D. Kreimer “Renormalization in QFT and the Riemann-Hilbert
problem. II: The beta-function, diffeomorfisms and the renormalization group”, arXiv:hep-th/0003188.
No propósito de analisar a estrutura algébrica dos grafos de Feynman com a maior generalidade possível, será
considerada aqui a álgebra de Hopf das árvores, lembrando que a tradução dos resultados gerais obtidos para a álgebra de
Hopf dos grafos de Feynman se reduz apenas a uma mudança de notação, como um físico treinado em QFT pode verificar
154
por comparação com o exposto em D. J. Broadhurst and D. Kreimer, “Renormalized automated by Hopf álgebra”,
arXiv:hep-th/9810087.
6.2.3.
O OPERADOR ENXERTO B NA CO-HOMOLOGIA DE HOCHSCHILD
Primeiramente, vamos definir em poucas linhas o que é uma co-homologia de Hochschild.
Homologia e co-homologia de Hochschild: uma homologia de Hochschild (Gerhard Hochschild, “On the
cohomology groups of an associative algebra”, Ann. Math. 46 (1945) 58-67) é o espaço vetorial H n (M , A) , onde M é uma
variedade complexa diferenciável. Esse espaço possui uma álgebra associativa A , e permite a definição do conceito
equivalente às n  formas diferenciais, no caso em que a álgebra A é não-comutativa. A co-homologia de Hochschild é o
espaço vetorial H n (M , A) , que é, num certo sentido análogo ao usual (isto é, quando não pode ser definida claramente uma
dualidade de Poincaré, própria das álgebras comutativas), o dual de H n (M , A) . No caso especial em que A é nãocomutativa, pode-se interpretar a co-homologia H 1 (M , A) como o espaço dos campos vetoriais em um espaço de geometria
não-comutativa. Pode-se também dizer que a co-homologia de Hocshchild é um análogo, ou uma generalização, da cohomologia de De Rham para espaços não-comutativos.
Vejamos agora como esses conceitos se aplicam aos grafos de Feynman.
Definição: Seja A uma biálgebra. Consideremos o mapa linear L : A  A dado pelo coproduto  :
L :  id L    L  ,
ou, de forma equivalente, usando o mapa coassociativo   x     x    x  x  :
L   id L    id L   .
O mapa linear L assim definido corresponde a determinado 1-cociclo da co-homologia de Hochschild, como, por exemplo,
o operador enxerto B sobre as árvores enraizadas:
155
É imediato mostrar que, a menos de fatores escalares, a árvore não decorada  é o único elemento primitivo de grau 1.
Entretanto, existem muitos elementos primitivos de grau 2, como, por exemplo:
Foi demonstrado por Foissy (L. Foissy, “Les algèbres de Hopf des arbres enracinés I-II”, Bull. Sci. Math., 126 (2002) 193239; 249-288) que L L   é um mapa sobrejetivo sobre o conjunto de elementos primitivos de uma álgebra de Hopf .
No caso particular das álgebras de Hopf de árvores decoradas  S  , todo elemento s  S está associado a um operador Bs
que, aplicado a uma floresta, conecta as raízes desta a uma nova árvore decorada por s .
Também fica claro que todo grafo 1PI de Feynman livre de divergências é um elemento primitivo de
CK 
Connes  Kreimer . De modo geral (A. Connes & D. Kreimer, “Hopf algebras, renormalization and noncommutative
geometry”, Commun. Math. Phys., 199 (1998) 203-242), também ocorrem elementos primitivos nos graus superiores, como,
por exemplo, a combinação linear na teoria  3 em 6 dimensões:
156
6.2.3.
SUBÁLGEBRAS DE HOPF E AS EQUAÇÕES QUÂNTICAS DE MOVIMENTO DE
DYSON-SCHWINGER (OU DE SCHWINGER-DYSON)
As subálgebras de Hopf das árvores enraizadas decoradas, que no nosso contexto se identificam aos grafos de
Feynman, possuem uma relação muito próxima com as equações de Dyson-Schwinger. Definida adequadamente, a equação
de Dyson-Schwinger produz uma subálgebra de Hopf. Além disso, pode-se mostrar que todas as subálgebras oriundas de
uma classe geral adequada de equações de Dyson-Schwinger são, de fato, isomorfas.
Mostraremos apenas um exemplo mais simples de equações de Dyson-Schwinger combinatoriais, a equação
quadrática:
sobre a álgebra de Hopf
  .
Usando o ansatz
verifica-se facilmente que c0  e obtém-se a fórmula recursiva
a qual determina X por indução. Os primeiros cn podem então ser facilmente calculados:
157
Pode-se observar que, devido ao quadrado de X na equação de Dyson-Schwinger, cn é uma soma graduada de árvores com
“fertilidade de vértice” limitada a 2: cada vértice está limitado a se conectar diretamente, no máximo, a dois outros vértices.
Ou seja, não é permitida a árvore
ou conexões diretas análogas com número de vértices superior a 2.
A natureza recursiva da fórmula dos cn faz supor que estes sejam geradores de uma subálgebra de Hopf em relação a
, o que na verdade ocorre. Para cada n  0 e k  n existe um polinômio Pkn nos cl para l  n tal que se possa definir o
coproduto
158
Esse polinômio é determinado indutivamente pela relação recursiva
onde
Finalizando e comentando esses últimos resultados: em termos físicos, as equações de Dyson-Schwinger, obtidas
usualmente pelo formalismo integral funcional, descrevem de forma recursiva a expansão perturbativa de funções de Green
em laços. Foi mostrado acima um método alternativo de se obter essas equações, usando a real existência de uma álgebra de
Hopf subjacente à teoria de perturbações das interações entre campos quânticos. Essas álgebras de Hopf, por sua vez,
fornecem, como vimos, os 1-cociclos de uma co-homologia de Hochschild, o que nos permite obter as equações de DysonSchwinger de forma natural e direta (straightforward).
Pode-se dizer que uma TQC renormalizada resulta na determinação de funções de correlação que, por sua vez, podem
ser interpretadas como funções geradoras de uma expansão perturbativa de amplitudes. Essas funções de correlação, por
outro lado, são soluções das equações de Dyson-Schwinger correspondentes à TQC. Verifica-se também, a partir da teoria
da função polilogaritmo definida no interior do círculo unitário e analiticamente continuada com um ramo de corte ao longo

zk
do eixo real em 1,  , pela expressão Li n  z    n (S. Bloch, “Function theory of polylogarithms”, in Structural
k 1 k
properties of polylogarithms, Math. Surveys Monogr., Ed. Amer. Math. Soc., 1991, PP. 275-285), que para k  0 o termo de
ordem  k u i da solução renormalizada da equação de Dyson-Schwinger
159
é exatamente o elemento (k , i) da matriz N  N
Isso revela uma analogia entre a estrutura da função polilog e as funções de Green da TQC, que por sua vez sugere que se
explore futuramente a TQC do ponto de vista de estruturas de Hodge mistas.
6.3. ÁLGEBRAS DE HOPF NA TEORIA DA RENORMALIZAÇÃO NO ESPAÇO DAS POSIÇÕES
O método de Epstein-Glaser apresenta-se como uma abordagem rigorosa à teoria de perturbações e à renormalização
no espaço das coordenadas. Partindo do espaço de Minkowski M  1,3 , esse método constrói, por exemplo, para uma teoria
escalar  k , uma sequência de distribuições T n em M n , com valores em operadores (operator-valued), que substitui os
produtos temporalmente ordenados mal definidos que são usualmente empregados na teoria de perturbações padrão. O
resultado é uma teoria de perturbações a priori finita em cada ordem de expansão: não é necessária qualquer remoção de
singularidades a curtas distâncias, uma vez que todas as expressões são bem definidas por construção. A noção apropriada
utilizada no método de Estein-Glaser é extensão de distribuições sobre diagonais da matriz de espalhamento S , uma
técnica proposta em 1957 por Bogoliubov. Na verdade, os objetos T n são definidos inicialmente, pelo princípio de
160
causalidade relativística, fora das diagonais. As renormalizações finitas correspondem então às diferentes maneiras de
estender essas distribuições sobre as diagonais, preservando assim, por construção, a natureza local da matriz de
espalhamento.
Vamos agora rever o método de renormalização EG, sob um ponto de vista um pouco diferente do já exposto
anteriormente, e mais direcionado à análise das estruturas algébricas subjacentes.
6.3.1. REVISITANDO A RENORMALIZAÇÃO EG
Para simplificar, mas sem perda de generalidade, vamos considerar uma TQC escalar neutra com massa cuja
lagrangiana de interação é dada pela expressão:
no espaço de Minkowski plano M : 1,3 . Os resultados a seguir são válidos como estrutura algébrica mesmo nas
generalizações para a QED e para espaços-tempos globalmente hiperbólicos.
Consideremos agora a seguinte representação simbólica da série de Dyson para a matriz de espalhamento S :
a qual é formalmente obtida a partir da equação diferencial de movimento de Schwinger, quando a transformamos em uma
equação integral iterada e aplicamos um operador de ordenação temporal T a cada elemento da soma:
A integração, como se observa, é efetuada sobre o espaço M n .
161
Sejam as funções A, B com valores em operadores sobre M . O operador de ordenação temporal T é usualmente definido
para dois fatores como tendo a forma:
onde  é a função característica de Heaviside de 0 . A definição para mais de dois fatores é inteiramente análoga.
Porém, uma vez que, obviamente, se supõe que S e I acima são distribuições com valores em operadores, a
integral acima não faz sentido, já que distribuições não podem ser simplesmente multiplicadas por funções descontínuas
como  . A integral só existe no exterior da faixa diagonal Dn  x  M n | xi  x j para algum i  j , pois só fora dessa faixa
os produtos   xi0  x0j  são contínuos.
Na verdade, a origem matemática do surgimento de singularidades a curtas distâncias na teoria das perturbações é que
a ordenação temporal, como definida acima, é mal definida. Epstein e Glaser propuseram uma maneira de serem construídos
produtos Tn ordenados no tempo e bem definidos, um para cada potência n da constante de acoplamento, que satisfazem
certas condições explicadas mais adiantes, sendo cruciais a de localidade e a de microcausalidade. A série de potências S
definida acima, quando construída através do produto de ordenação temporal T de Epstein-Glaser, é finita a priori, em
qualquer ordem, e o procedimento de renormalização corresponde então a se fazer, passo a passo, a extensão de
distribuições de M n  Dn para M n . De maneira geral, entretanto, distribuições não podem ser estendidas univocamente
sobre diagonais. Os graus de liberdade resultantes dessa não-univocidade, porém, estão em correspondência um-para-um
com os graus de liberdade (as renormalizações finitas) encontrados, por exemplo, no método BPHZ e na DimReg usados no
espaço dos momentos.
Antes de passarmos à construção desses produtos ordenados no tempo, é necessário definirmos a noção de localidade,
essencial a essa construção. Vamos supor que
x   x1, , xn   M n ,  I N : 1, , n ,
162
onde, para cada i  I , o ponto xi não está situado na sombra do passado causal de qualquer um dos x j , para j  N  I . Esta
situação será representada por xi x j i  I , j  N  I . Sendo assim, nosso produto ordenado no tempo Tn deve satisfazer,
no sentido de distribuições com valores em operadores, a igualdade:
porque queremos que os xi ocorram depois (ou pelo menos não antes) dos x j . Se for o caso em que xi
de forma que todos os pares  xi , x j  sejam do tipo espaço, resultará então que
xj e xj
xi , i, j ,
T  x  ,T  x 
  0.
 I i iI N  I j jN  I 
6.3.2.
A ÁLGEBRA DE HOPF DAS ÁRVORES ENRAIZADAS NA RENORMALIZAÇÃO EG
A combinatória da renormalização no espaço das coordenadas pode ser descrita mais facilmente em termos de árvores
enraizadas. Dados os pontos do espaço-tempo
Podemos considerá-los como os vértices (ou folhas) de uma árvore a ser construída. Sempre que algum desses vértices
aparecerem juntos em uma diagonal de M n serão conectados a um novo vértice, de modo que subdivergências
(subdiagonais) pertençam a subárvores, como na figura abaixo:
163
Desta forma, uma árvore representa as subdiagonais disjuntas ou aninhadas e parcialmente ordenadas que são relevantes
para a renormalização. É possível então construir um coproduto adequado sobre a álgebra livre gerada por essas árvores, de
tal maneira que a recursividade de Bogoliubov é resolvida essencialmente pelo antípoda da álgebra de Hopf resultante sobre
essas árvores. Essa propriedade marcante, assim como o fato de daí resultarem contratermos locais, são consequências do
fato primeiro de que um certo operador na álgebra de Hopf é um 1-cociclo da co-homologia de Hochschild.
Pode-se mostrar finalmente, através de uma elaborada construção formal (que não explicitaremos aqui) da álgebra de
Hopf subjacente ao método EG, que a recursividade da fórmula de Bogoliubov é resolvida graças ao fechamento do
operador enxerto B em relação à co-homologia de Hochschild. A conexão entre as representações das álgebras de Hopf no
espaço dos momentos e no espaço das coordenadas é também estabelecida, possibilitando, por exemplo, a obtenção das
regras de Feynman para uma teoria a partir dos valores esperados no vácuo (VEV) de produtos temporalmente ordenados
no método EG.
Uma vez constatado que a álgebra de Hopf está na base de ambos os métodos, e independe do espaço de
representação da TQC perturbativa, veremos a seguir em maior detalhe essa estrutura algébrica subjacente à própria teoria
da renormalização.
164
7.
A ESTRUTURA MATEMÁTICA DA RENORMALIZAÇÃO COMO UMA ÁLGEBRA DE HOPF.
7.1. INTRODUÇÃO
A partir das regras e dos grafos de Feynman, como já vimos, é possível verificar que as expansões em séries de Taylor
dos laços são controladas pelas equações de Schwinger-Dyson, uma vez que elas estabelecem uma iteração de funções de
Green em termos de si próprias.
Vamos considerar no momento as equações de Schwinger-Dyson para uma teoria com interações cúbicas, e nos
concentrar nas funções de vértice. A figura abaixo exemplifica os grafos para essa teoria  3 em seis dimensões:
Neste exemplo, o crescimento do número de termos de interação corresponde a uma expansão da teoria em laços. No caso
particular de uma interação da forma g 3 , três propagadores livres se encontram em um vértice. Cada propagador extra
acrescenta um fator g 2 , portanto, um grafo de n laços origina uma correção de ordem g 2n . Esses grafos de laços devem ser
integrados sobre momentos internos de laços, o que corresponde a uma soma sobre todas as possibilidades para os
momentos das partículas internas. Nem a conservação dos momentos em cada vértice, nem a conservação do momento total
das partículas externas são suficientes para resolver todos esses momentos internos, o que só é possível integrando-os sobre
o espaço total 6-dimensional dos momentos.
165
Simplificando mais ainda, vamos ignorar correções de laços no propagador e nos vértices internos. A equação de
Schwinger-Dyson neste caso passa a ser uma equação que fornece a função do vértice, uma vez renormalizada, em termos
de si mesma e de uma certa função kernel K :
A função de vértice  e o kernel K são séries formais em . O termo de ordem mais baixa na função de vértice é o vértice
de nível árvore  0 . Observe-se que o kernel K é, no mínimo, de ordem , e que assumimos até esse instante que os kernels
K   e os propagadores P são conhecidos explicitamente. Vamos usar as figuras seguintes para ilustrar essas afirmações.
Na figura (a) abaixo, a função de Green de três pontos  foi gerada iterativamente. A integração sobre o momento
interno no laço do segundo termo, e a expansão da função kernel de quatro pontos, representada como a bolha preta oval, em
diagramas esqueleto (esta expansão será mostrada na figura seguinte), estão subentendidas. De forma geral esses vértices e
propagadores internos não são renormalizados, e precisam ser substituídos por funções de Green. O sistema acoplado de
equações para essas funções é de resolução muito difícil (v. James D. Bjorken e Sidney D. Drell, “Relativistic Quantum
Fields”, McGraw-Hill, 1965, Cap. 19). Essa figura explica graficamente as equações de Schwinger-Dyson. Cada diagrama
de Feynman consiste em propagadores e vértices que são funções de Green, as quais, por sua vez, admitem uma expansão
i
166
perturbativa e uma particular equação de Schwinger-Dyson. Conhecer a solução completa das equações de SchwingerDyson, incorporando os propagadores plenos e as correções de vértices internos, significa conhecer as funções de Green
completas e não-perturbativas.
(a)
(b)
167
A figura (b) acima mostra a expansão esquemática do kernel em diagramas-esqueleto com propagadores e vértices internos
não renormalizados. A reprodução por inteiro do kernel K presente nas equações completas de Schwinger-Dyson, porém,
só se dá se reintroduzirmos bolhas pretas no lugar de cada vértice ou propagador interno. Note-se que o esqueleto de ordem
mais baixa é o grafo de uma partícula de ordem g 2 . As iterações de esqueletos produzem produtos de funções kernel. Os
grafos iterados separam-se em vários pedaços quando os cortamos as linhas de dois propagadores, logo, são 2-linhas
redutíveis. As funções de 4-pontos que fazem o papel de kernel na equação de Schwinger-Dyson para o vértice é
especialmente importante. Seus diagramas-esqueleto são os diagramas de Feynman que atuam como os blocos básicos de
iteração nas equações.
Agora, um breve parêntese para um pouco de “arqueologia notacional”. A origem dessas bolhas pretas está em uma
analogia que Bjorken e Drell reproduzem na seção 18.4 do livro citado (de onde extraímos a figura abaixo), na qual
comparam um diagrama de Feynman com três partículas externas a um diagrama de Kirchoff para um circuito elétrico com
três correntes elétricas convergindo para uma caixa-preta. Ao mesmo tempo, é curioso chamarmos a atenção para a última
frase desse mesmo livro: “Logo, conclusões cujos argumentos são baseados no grupo de renormalização, e que digam
respeito ao comportamento da teoria [perturbativa de campos] quando esta é somada em todas as ordens, são perigosas (o
negrito é nosso), e devem ser vistas com a devida cautela”.
168
Retornando à descrição do procedimento: se fizermos Z    0, i  1, encontramos a seguinte expansão perturbativa
para a função não renormalizada  (abreviamos K  k , k  q, p  q, p  como simplesmente K  k  ):
i
Usualmente ocorre que as integrais acima não são bem definidas, e o que se faz nesses casos é dar-lhes significado
introduzindo uma regularização. Vamos supor que existe um parâmetro  tal que o limite  0 reproduza precisamente as
integrais acima, mas que para  0 todas as integrais sejam bem definidas. Se tentarmos calcular essas integrais,
expandindo-as em série de Laurent em torno desse parâmetro, os polos próprios da série impedirão que se faça o limite
desejado  0 .
i
Vamos tentar então, partindo da mesma equação de Schwinger-Dyson, mas agora permitindo que Z   não se anule,
obtemos a seguinte expressão para a função de vértice renormalizada   0  1  22  :
169
Prosseguindo, vamos determinar os coeficientes Z   através das seguintes condições:
i
onde PP representa a projeção sobre a parte de polo próprio do argumento. Deste modo, é fácil verificar que, com essa
i
i
escolha dos coeficientes Z   da série de Laurent, a função   correspondente está livre dos polos em  , e representa enfim
quantidades finitas.
Vemos aqui, em detalhe, o procedimento de renormalização em ação. Em primeiro lugar, com o auxílio de uma
regularização, substituímos as integrais divergentes por uma série de Laurent. Introduzimos em seguida uma outra série Z
170
que compensou os termos com polos de forma tal que a série restante se tornou finita. Mais à frente, veremos de que modo
essa série Z possui um significado algébrico, por ser extraída da antípoda de uma (bi-) álgebra de Hopf. Num certo sentido,
a série Z é a inversa generalizada da série da função de vértice, tendo em vista que ela remove todas as divergências UV da
expansão perturbativa daquela função. Na verdade, ela remove quase tudo, a não ser a “pequena” parte finita. De acordo
com o que já vimos antes, a introdução de uma regularização não é nem mesmo necessária, se, em vez de expandirmos em
série de Laurent a integral, expandirmos o integrando em uma série de Taylor, e prosseguirmos usando o método BPHZ até
encontrar a estrutura da álgebra de Hopf subjacente.
7.2.
CORREÇÕES DE VÉRTICES
Os grafos de Feynman são, na verdade e na origem, lembretes de expressões analíticas. Essas expressões são integrais
que divergem, quando várias combinações dos momentos internos tendem a infinito, e a determinação precisa dessas
combinações se obtém com o auxílio do teorema de Weinberg, ou ‘power counting’. Cada subgrafo 1PI possui um peso
igual ao seu grau de divergência. Por definição, um grafo 1PI não pode ser separado em duas componentes desconexas
quando se remove uma das linhas, e para cada subgrafo divergente é necessário um contratermo que o cancele. Na verdade,
esse procedimento não é restrito apenas aos grafos de Feynman, uma vez que quaisquer expressões analíticas com
propriedades similares frente ao ‘power counting’ podem ser renormalizadas através da construção de fatores Z , da mesma
forma iterativa que as integrais de Feynman. Usando modelos-laboratório (toy models), podemos analisar as propriedades
algébricas do procedimento de renormalização, e, uma vez compreendida a universalidade dessas propriedades, a passagem
à Teoria Quântica de Campos perturbativa não oferece dificuldade.
Inicialmente, vamos considerar o caso de divergências aninhadas puras, em um modelo simplificado, ao qual iremos
acrescentando todas as outras possíveis configurações de subdivergências. Ao final, veremos que a renormalização será
identificada com o cálculo de uma antípoda em uma álgebra de Hopf.
Comecemos considerando a seguinte série, expandida em potências de um parâmetro , na qual fazemos a iteração de
uma série logaritmicamente divergente f , em termos dela própria e de outra série K :
171
Chamaremos K  x, c  de kernel, e f de uma certa função de Green não renormalizada. Notando-se que o kernel tem ordem
. Usaremos no cálculo das integrais a identidade
Onde a função beta de Riemann é definida, como usualmente, pela expressão
A função de Green não renormalizada f  c  acima pode ser expandida como uma série em
,
da maneira que se segue:
==> SEGUNDO EXERCÍCIO PARA A AVALIAÇÃO: Calcule f    c  .
3
172
Observe-se que f 
2
c 
foi decomposta em suas contribuições originadas por
K
 2
e por
f
1
K 
1
 K
1
1
K   . Isto
significa que, na segunda ordem 2 com dois laços, teremos dois ‘grafos de Feynman’ distintos, um deles sem
2
1
subdivergências oriundas do kernel a dois laços K   , e o outro elevando ao quadrado o kernel K   , através de uma iteração.
2
1
1
A distinção entre ambos é feita pelas notações K   e K   K   , respectivamente.
O enésimo termo da expansão, f n , varia de
K
 n
a
K
1
K
1
.
n vezes
Pode ser verificado de forma clara que o limite  0 não existe para qualquer dos termos envolvidos, se
considerarmos que os termos que correspondem a uma integral de ordem m , 0  m  n , produzem uma série de Laurent de
m1
grau 1 m  . Além disso, essas séries envolvem potências de ln  c  a ln  c  em seus termos de polo. Logo, a série
formal acima não é bem definida no limite decrescente de  .
Consideremos agora uma série ligeiramente modificada, que possui o limite desejado  0 , à qual chamaremos de
função de Green f renormalizada. Usaremos para isso as definições
Esta equação será chamada, por analogia, de equação de Schwinger-Dyson (ESD) para f. Mostraremos que é possível
i
i
determinar os coeficientes Z   de tal maneira que f seja finita, fazendo com que, em qualquer ordem de , os Z  
compensem exatamente os polos em  . É claro que somente essa condição não especificará esses coeficientes de maneira
unívoca, mas podemos fixá-los com a condição adicional de que eles não possuam termos finitos:
173
para números di , j a serem determinados. Este procedimento corresponde à escolha da um esquema de renormalização, que
neste caso particular, tem o nome de esquema de mínima subtração (MS). Diremos também que, em qualquer esquema de
renormalização, esses números di , j são independentes de c .
Fazendo as iterações da equação acima, encontramos, até a segunda ordem
2
,
174
Vê-se que, pela própria definição de Z , a decomposição de f em termos dos possíveis ‘grafos de Feynman’, K   K   e
1
1
K   , contribuindo assim para uma dada ordem em (a ‘ordem de laços’), leva a uma decomposição similar de Z e f.
Verificamos a seguir se realmente Z é independente de c , derivando em relação a c ambos os lados das partes de
polo (PP) da equação de definição de f  c  :
2
Ambos os termos do lado direito existem para  0 , uma vez que a derivada decresce de um grau o power counting da
integração em y . Isso é óbvio para a derivada do kernel K . No caso de f, basta observar a propriedade
para alguma função ui  . Na ordem
2
, as ui  envolvem os coeficientes Z no máximo até a ordem n  1 , uma vez que o
kernel é no mínimo de primeira ordem em . Logo, a afirmação se segue por indução sobre n , usando o fato de que Z   - o
ponto de partida da indução - é independente de c .
Será demonstrada finalmente a propriedade de fatoração. Mostraremos nesta seção que a estrutura algébrica imposta
nos contratermos pode ser extraída da estrutura subjacente de uma álgebra de Hopf, e se queremos ser capazes de calcular os
contratermos gerais de um grafo de Feynman arbitrário em termos dos elementos primitivos da álgebra de Hopf,
precisaremos de certas propriedades de fatoração. Veremos essas propriedades primeiramente em um modelo fictício.
Afirmamos que a seguinte função modificada f  c  gera os mesmos fatores Z gerados por f:
1
175
Essa é uma consequência direta do fato de que Z é independente de c , e que pode ser confirmada através de uma simples
expansão em série de Taylor de f  y   f  y  c  , em termos de c .


==> TERCEIRO EXERCÍCIO PARA A AVALIAÇÃO: Confirmar a afirmação anterior.
A primeira diferença entre f  c  e f  c  surge na ordem
2
, no grafo K   K   , onde o resultado anterior diz que podemos
1
1
calcular Z K21K 1 como
O efeito da fatoração é que podemos fazer uso somente das funções
que são comparativamente mais simples do que B   i  j  ,1  i  , onde existe uma dependência de dois parâmetros
inteiros i, j . As funções acima podem ser vistas como se originando da seguinte mudança na medida da integração:
Por outro lado, o cálculo de Z a partir de f exigiria a computação de integrais mais gerais, com passos intermediários em
que seria necessário resolver expressões do tipo
176
À primeira vista isso parece ser um ganho pequeno neste exemplo, mas em aplicações mais complicadas veremos que
argumentos similares irão estabelecer fatorações em termos de grafos sem subdivergências, acompanhadas de mudanças
típicas na medida de integração, correspondentes à mostrada acima. Esta mudança de medida leva em conta o
escalonamento anômalo obtido nas integrações anteriores.
177
Resumindo os pontos cruciais encontrados neste exemplo:
 Funções de Green não renormalizadas f  c  são representadas como séries em .
 Todos os termos dessas séries são mal definidos no limite  0 .
 Os termos com polos são compensados pela introdução de um certo fator Z .
 O fator Z é independente de parâmetros externos c .
 Cada grafo de Feynman não renormalizado possui o seu fator Z compensador dos polos.
 Para calcular o fator Z é suficiente que calculemos expressões fatoradas, construídas a partir de diagramas primitivos
com a medida de integração modificada.
Antes de generalizarmos para casos mais gerais o entendimento adquirido sobre subdivergências aninhadas, vamos repetir o
mesmo exercício para as subdivergências aninhadas geradas por funções de Green de teorias de campo reais.
CORREÇÕES DE VÉRTICES – vamos generalizar o exemplo anterior para o estudo de uma teoria quântica de campos
perturbativa (TQCp). Iniciamos construindo correções não renormalizadas de vértice para a ESD
178
Em seguida, vamos proceder às iterações do kernel K , o qual contém somente propagadores internos e vértices não
renormalizados, como mostra a figura abaixo:
Nesta figura, os kernels foram numerados para distinguir suas topologias. Por fechamento de cada topologia, eles geram
funções de vértice primitivas; e por iteração eles geram funções de vértice com subdivergências aninhadas. A função
1,3,2
   p  está servindo de exemplo.
A primeira questão importante a ser resolvida é decidir quais são as subdivergências geradas pela iteração do kernel.
Por construção, ou por inspeção da figura acima, reconhecemos um conjunto iterado de subdivergências aninhadas, que
servirão de ponto de partida para nosso cálculo. Notamos que o problema é similar ao exemplo mais simples já estudado.
Nossa função de Green agora é dada pela função de vértice, a qual é definida por uma equação funcional em termos de si
própria e de um kernel integral K . Como no caso precedente, a função de vértice precisa ser renormalizada, uma vez que a
integral é divergente logaritmicamente. Assim como antes, introduzimos um fator Z na ESD para obter essa
179
renormalização. O kernel K , o fator Z1 da primeira iteração na ESD e a própria função de vértice devem ser vistas como
séries formais em um parâmetro .
7.2.1.
PRIMEIRA ITERAÇÃO
Experimentaremos basear nossos cálculos em uma propriedade crucial de um integrando logaritmicamente (globalmente)
divergente: a sua independência de parâmetros externos (divergências lineares ou quadráticas resultam em uma dependência
polinomial (local) de parâmetros externos). Para simplificar a notação, vamos supor que todos os vértices e propagadores
dependem somente de uma massa m . Vamos supor também que vértices em diagramas árvores são representados por um
número simples, a constante de acoplamento g . No caso geral, é claro que podemos ter várias massas, e que os vértices dos
diagramas árvores podem ser portadores de índices de matrizes, assim como também podem depender de um valor de
momento. Mesmo assim, nossas simplificações não turvarão nossos argumentos para o caso geral, e esclarecerão a lógica
implícita.
Vamos numerar os vários termos no kernel como na figura acima., e vamos fechar o kernel em uma topologia i  de
uma função de vértice primitiva, ou seja, sem subdivergências. Deste modo, é dada uma graduação natural a essa função de
vértice pelo número de laço n i  . Para cada número de vértice, existe a contribuição de apenas um número finito de kernels,
como mostra a figura. Dispomos todos os kernels possíveis em ordem não decrescente do número de laço, e os numeramos
de acordo. Toda função de vértice construída a partir desses kernels pode agora ser especificada por uma cadeia de números,
onde cada número se refere a uma particular topologia do kernel, e a quantidade de termos nessa cadeia fornece a quantidade
de iterações.
Mostraremos agora como fatorar uma função de Green geral, em termos de funções de Green primitivas. Funções de
vértice primitivas não possuem subdivergências, e, logo, fornecem apenas um polo de primeira ordem em  . Na verdade,
veremos mais adiante que funções de Green sem subdivergências farão o papel de elementos primitivos em uma álgebra de
Hopf que produz a renormalização. Por enquanto, continuemos com as funções de vértice e as divergências aninhadas
simples.
180
Assim como antes, precisamos distinguir entre funções de vértice renormalizadas e não normalizadas. E também
usaremos com frequência o limite de massa nula com zero momento transferido (zmt). Precisaremos, portanto, das
definições a seguir.
Como já sabemos, nas unidades em que  1 uma expansão em um laço é uma expansão no quadrado da constante de
acoplamento, logo, a função de vértice não renormalizada é dada pela série em g 2
Observe-se que o kernel deve ser visto como uma série em g 2 que se inicia com o termo linear. A integração sobre k é mal
definida, possuindo grau de divergência logarítmico. A correspondente função de vértice normalizada Γ é definida pela
familiar ESD
Para simplificar, consideramos o kernel K livre de subdivergências.
O propósito da série
é absorver os termos com polos no lado direito da ESD.
As funções de vértice dependem de dois momentos externos p, p  q , onde q é o momento transferido, e de uma
massa m . O caso de massa nula com zero momento transferido,  p, p;0  será abreviado por  p  .
Para especificar o grafo de Feynman que estamos considerando, vamos definir índices sobrescritos:
181
Esses índices se referem à iteração de funções kernel numeradas como na figura. Uma notação similar será usada para as
funções de Green renormalizadas e para os fatores Z . Quando houver k índices sobrescritos, dizemos que a profundidade
da iteração é k . Finalmente, usaremos colchetes quebrados para representar, em  , a projeção sobre a parte própria de polo
em zmt e em p 2  1 :
 PP


| p2 1 .
Esses colchetes indicam que os cálculos são feitos de acordo com um esquema de renormalização específico, escolhido aqui,
por conveniência, como sendo o esquema MS.
Se a profundidade da iteração é k , seu cálculo segundo a DimReg resultará em uma série de Laurent de grau k . Nesta
notação, o exemplo mostrado na figura abaixo, na qual adicionamos um grafo como contratermo que absorve a
subdivergência do grafo original,
será escrito como
De maneira análoga ao que fizemos no modelo fictício, podemos verificar as seguintes propriedades de Z1 :
182
 Γ é finita, pela definição de Z1 .
 Z1 é independente de parâmetros externos como massas e momentos, o que pode ser provado pelo mesmo
procedimento de indução empregado anteriormente. As derivadas em relação ao parâmetro c no modelo fictício
devem ser substituídas por derivadas em relação aos parâmetros externos p, q, m .
 Z1 pode ser calculada a partir de funções de vértice de massa nula em zmt. Essa fatoração será discutida a seguir em
maior detalhe.
7.2.2.
FATORAÇÃO
Uma vez introduzida uma notação apropriada para representar funções de vértice primitivas, buscaremos entender
i,
agora o modo pelo qual se fatora o cálculo de uma função geral de vértice  1   p  . A fatoração é uma consequência do
fato de que, em zmt, a função renormalizada de vértice é iterada em termos de si própria. Analisemos primeiro o caso em
que i  j  1. O fator Z a um laço da correção de vértice, Z11 , possui, no esquema MS, a seguinte forma:
onde usamos o fato de que   tem a escala de  p 2 
1

na DimReg.
Esta equação significa que    p  depende de uma variável p 2 , o quadrado do momento externo. Esta dependência,
por outro lado é determinada pelas propriedades de escala desta função de Green.
1
A dependência de p 2 é uma lei de potência trivial
p 
2
 D D
2
, de modo que
onde o expoente   D  D 2 resulta de considerações dimensionais. Logo,
183
é uma função apenas de   D  D 2 .
É importante o fato de que toda a dependência do momento exterior se resume ao comportamento de escala  p 2  ,

uma vez que permite a definição de uma função   que só depende do parâmetro de regularização  , e que incorpora toda
a informação necessária à obtenção, no esquema MS, dos fatores Z . Em particular, esta função garante que a estrutura da
álgebra de Hopf que será introduzida mais adiante seja representada diretamente por funções de Green não renormalizadas,
o que permite simplificações de cálculo, conforme foi demonstrado em [D. Kreimer, J. Knot Th. Ram. 6 (1997) 479-581; D.
Kreimer and R. Delbourgo, Phys. Ver. D60 (1999) 105025].
1
1
1
Seja g 3 F    k , q  o integrando referente ao cálculo de   . Usando a equação anterior para   , obtemos
onde definimos j   através da expressão
1
Essas funções j   podem ser definidas para qualquer teoria renormalizável, calculando a função de vértice a um laço no
caso de massa nula com zmt. De forma similar, podem ser definidas as funções correspondentes para as autoenergias da
1
teoria, como mostram os dois trabalhos citados acima. Consideraremos essas funções j   como funções a um laço
1
184
modificadas, que podem ser obtidas, em qualquer teoria renormalizável, a partir da integral padrão a um laço, por uma
mudança na medida de integração:
em tudo análoga à mudança de medida observada no modelo fictício anterior. Tudo que a integral de laço final obtém das
integrações prévias resulta na anomalia de escala  k 2 
 j
.
Podemos agora generalizar esses resultados a kernels gerais K   . Seja n  i  o número de laço associado ao fecho
i
topológico de K   em uma função de vértice com zmt. Definimos então, de maneira óbvia:
i
onde P 2  k  produz os propagadores não renormalizados necessários ao fecho dos kernels com zmt, K    k , p  , em uma
i
função de vértice. Introduzindo essa notação na ESD, resulta uma iteração de profundidade dois para Z   :
i, j
Considerando agora uma iteração de profundidade arbitrária. Na figura abaixo, são mostrados os setores divergentes
i , ,i
identificados na correção de vértice iterada n vezes. Fica claro que a iteração da ESD gera um fator Z  1 k  compensação
para qualquer dessas subdivergências, da seguinte forma:
185
Vê-se na figura que o cálculo de funções de vértice primitivas, com massa nula e com zmt, resulta em uma concatenação de
i
funções j   , particularizadas aqui para o caso i  1 para todos os kernels.
O somatório à direita da equação adiciona os contratermos que irão compensar todos os setores subdivergentes da função de
Green completa. Note-se que só podemos considerar até agora quantidades com massa nula, uma vez que o grau de
divergência total independe da massa, e o termo nos colchetes, por construção, não possui subdivergências. Podemos
escrever a equação de outra forma, em que a soma se dá sobre todos os subgrafos  de  que são superficialmente
divergentes, que corresponderão às funções  1
i , ,ir 
,r  k :
186
Z1 1
i , ,ik 
   1
i , ,ik 


todos os subgrafos divergentes 
Z1

  
.
Esta é uma forma particular e simbólica da fórmula de florestas de Zimmermann.
1
Na condição zmt e usando a definição de j   apresentada anteriormente, teremos:
onde W i  n  j1   n  j2  
 n  jk  e u  ji    r 1 n  jr  . Desta forma, expressões sequenciais como, por exemplo,
i 1
   n i   
i
j
,
representam uma concatenação de funções primitivas de vértice, conforme mostrado na figura acima. Esta é a natureza da
fatoração em termos de diagramas primitivos que, generalizada de forma apropriada, leva a que diagramas de Feynman
correspondam a uma representação multiplicativa da álgebra de Hopf subjacente à renormalização, como será visto mais à
frente. Pela investigação de expressões de contratermos e de funções de Green, vemos que são necessários apenas dois tipos
i
de operações sobre as j   para que se obtenha o fator Z : uma concatenação dessas funções, e uma projeção sobre as partes
divergentes para que se encontrem os contratermos. Lembremo-nos de que as funções j   são modificações simples das
funções correspondentes de três pontos a n laços, calculadas no limite de massa nula e com zmt (zero momento transferido).
Vamos considerar a seguir configurações de subdivergências superpostas, mais gerais do que essas já discutidas.
i
187
7.3. DIVERGÊNCIAS SUPERPOSTAS
Vamos usar como ponto de partida novamente uma ESD, enunciar precisamente o problema, e usar um modelo
fictício simplificado para estudas todas as propriedades relevantes das divergências superpostas.
Consideremos os grafos abaixo de autoenergias de férmion e fóton, típicos da QED, em que surgem divergências
superpostas:
Divergências superpostas podem ser definidas rigorosamente se definimos dois subgrafos divergentes  1   e  2   de
um grafo  , cada um consistindo de um conjunto de propagadores e vértices,  1 e  2  , cuja interseção não é trivial:
 1   2   ,  1   2 ,  2   1 .
Podemos encontrar uma solução geral usando um modelo simplificado, como faremos a seguir.
188
7.3.1.
UM MODELO SIMPLIFICADO DE TQC
Vamos definir uma ‘autoenergia’ simplificada e renormalizada S  c  da seguinte maneira. Sejam, para c  0 ,
Como é usual, Z 2 absorverá os termos de polo para tornar S finita, enquanto Z h tem a mesma função para h . Note-se que
Z 2 está multiplicado pelo parâmetro externo c . Pelo power counting, vemos que Z 2 absorverá divergências lineares, o que
significa que todas as divergências serão lineares no parâmetro externo c , de forma que o contratermo também será linear
em c . Observe-se também que Si c, i   S0 c   c .
Podemos agora resolver a primeira equação para Z h e inserir a solução na segunda equação, escrevendo o resultado
após usar que Z h independe de x (nas expressões abaixo, as funções renormalizadas são escritas em negrito):
189
Observe-se que o segundo termo envolvendo K é de ordem
resultado como
2
. Usando uma notação resumida podemos escrever esse
onde
Expandindo até a ordem
2
, encontramos os seguintes termos para S   i 0 iSi :

S   c 'o propagador inverso não normalizado'
0
190
Aparece uma divergência superposta na integral dupla para S2 , gerada pelo kernel K .
Podemos ainda simplificar consideravelmente o cálculo de Z 2 , usando a notação resumida apresentada acima, e
tratando separadamente os dois termos integrais em
e
2
no lado direito da equação. No primeiro termo,
 hSh ,
decompomos a parte não renormalizada de h , que é simplesmente h :
h   h  h0   h0  h  h0 .
Nesta decomposição, h é a função de Green não renormalizada que acompanha h , e um índice subscrito 0, como em
h0  h c0 , indica que o parâmetro externo c foi igualado a zero. O termo  hSh contém uma parte que é quadrática em
h . Usando a decomposição acima, conseguimos descartar o termo quadrático em h , uma vez que é completamente finito e
bem definido no limite ε  0 , logo, não gera termos com polos em ε , como pode ser verificado facilmente por power
counting. Os outros três termos não podem ser descartados, restando, portanto a igualdade relativa à parte divergente:
Analogamente, para o termo em
2
, podemos usar a definição
Verificando por power counting, temos que
191
logo, é finito para  0 , e podemos fazer a substituição
O último termo à direita se anula na DimReg, uma vez que não depende mais de nenhuma escala c . Podemos usar também,
como Z h é independente de c , que
Retornando à expressão inicial na notação simplificada, tomando os termos com polos e resolvendo para Z 2 , obtemos
finalmente
Observe-se nesta equação que toda referência ao kernel, e, logo, às divergências superpostas, desapareceu. Expandindo
agora até a ordem 2 , encontramos o resultado desejado:
que pode ser calculado de imediato usando as identidades funcionais S   x   x , h0   x  B  ε,1  ε  x ε  1 ε .
As divergências superpostas desapareceram completamente dos cálculos, e as propriedades de fatoração também são
visíveis. Expandindo o resultado anterior, podemos constatar que os diagramas não renormalizados produzem no máximo
duas subdivergências disjuntas, cada uma delas podendo conter subdivergências aninhadas. Em resumo, as divergências
superpostas foram resolvidas em termos de divergências disjuntas e divergências aninhadas. Isto nada mais é do que uma
0
1
192
confirmação da fórmula de florestas de Zimmermann, válida para uma TQCp física. Veremos mais adiante que, em
consequência disso, divergências superpostas dão origem à mesma estrutura de álgebra de Hopf que subdivergências
disjuntas e aninhadas, contribuindo apenas para aumentar o conjunto dos elementos primitivos dessa álgebra de Hopf.
7.4. ALGUNS DETALHES TÉCNICOS
Ignoramos até agora alguns detalhes técnicos, uma vez que os mesmos não alteram a visão geral apresentada, e apenas
complicariam a notação. Porém, para mostrar como lidar com os problemas práticos, é necessário fazer um comentário
breve de ao menos dois desses detalhes: a ocorrência de diferentes fatores de forma e a ocorrência de divergências
quadráticas.
7.4.1.
FATORES DE FORMA
De maneira geral, uma função de vértice completa permite a decomposição dos fatores de forma. Consideremos o exemplo
1
esclarecedor da função de vértice a um laço da QED,   k  , com férmions de massa nula e calculada no calibre de
Feynman, na condição zmt. Essa função pode ser escrita como

onde 11
 e 21  são fatores de forma como coeficientes das grandezas covariantes de spin   e de Lorentz kk k 2 .
1
1

Somente 11
 é divergente UV.
Fazendo a iteração dessa expressão em topologias aninhadas, tanto os fatores de forma quanto suas respectivas
covariantes terminam por substituir o vértice   no nível de árvore. Esse exemplo pode ser generalizado para mais de dois
1
193
fatores de forma, o para o caso de funções de Green que não sejam funções de vértice (ver trabalhos referidos acima),
mantendo as propriedades desejadas de fatoração, mesmo em nível de matrizes.
7.4.2.
OUTROS GRAUS DE DIVERGÊNCIA
Mesmo quando o grau de divergência não é logarítmico, também a decomposição em fatores de forma é bem sucedida, uma
vez que os seus coeficientes terão a dimensão apropriada ao grau de divergência. Enquanto a função de vértice
logaritmicamente divergente do exemplo anterior tem sua expansão realizada em termos das grandezas adimensionais   e
p p p 2 , a autoenergia linearmente divergente de um férmion massivo tem uma expansão em termos de p e de sua massa
m1 :
com funções escalares adimensionais A, B . Na verdade, os procedimentos vistos no exemplo anterior são suficientes, uma
vez que a autoenergia do férmion é sempre logaritmicamente divergente (v. Steven Weinberg, “The Quantum Theory of
Fields”, Vol. I, II, Cambridge UP, 1995).
Um caso mais interessante é o das divergências quadráticas, quando é mais conveniente expandir as funções em série
de Taylor nas massas ou momentos externos. O exemplo a seguir, típico da QED, é tirado do livro-texto “Quantum Field
Theory” (cap. 8: fig. 8-5, seção 8-4-4), de Claude Itzykson e Jean-Bernard Zuber:
A decomposição desta função é mostrada na figura abaixo.
194
A primeira linha da figura representa uma divergência superposta quadrática, e a segunda linha, uma divergência superposta
linear. Em ambos os casos, os dois primeiros termos das decomposições coincidem com a separação de divergências
superpostas, enquanto que no caso da divergência quadrática surge um termo extra, que é um grafo de Feynman primitivo.
Os parâmetros externos podem ser ignorados nos dois primeiros termos, como se vê nos retângulos correspondentes, que
contêm somente a função de vértice dependente de uma única escala, e obedecem às propriedades usuais de fatoração. Os
pontos pretos nessa notação representam termos gerados por derivadas com respeito ao momento externo. Os dois primeiros
termos, portanto, representam divergências lineares com a mesma estrutura do modelo simplificado já apresentado para
divergências superpostas, equivalente às equações
Cuja parte com polo é dada pela expressão
195
A função logaritmicamente divergente h corresponde aqui à função de vértice, e a função S do modelo simplificado é aqui
a autoenergia do férmion. A transição h  h0 coincide com a substituição das funções de vértice dentro dos retângulos por
funções de vértice que dependem de uma única escala, isto é, funções de vértice com massa nula e zmt.
Usando-se apenas argumentos gerais de teoria dos conjuntos, podemos confirmar que qualquer grafo de Feynman que
contenha divergências superpostas será resolvido em termos de grafos livres dessas divergências, ao preço de, no máximo,
serem criados mais grafos primitivos. Esses novos grafos primitivos serão objetos de iteração em ordens superiores de laços,
como mostrado na figura abaixo:
A resolução em termos de divergências disjuntas e aninhadas é mostrada para uma divergência superposta quadrática na
terceira ordem de laços. E, mais uma vez, as funções de vértices dentro dos retângulos foram escolhidas sem os parâmetros
externos, e, consequentemente, podem ser fatoradas.
O fato de que torna-se fácil exibir os evidentes pontos de contato entre modelos simplificados e modelos realísticos de
TQC, mantendo a mesma estrutura, está diretamente relacionado à existência de uma base algébrica comum aos modelos,
que é a estrutura de uma álgebra de Hopf.
196
8.
O MÉTODO TL (ESQUEMA DE RENORMALIZAÇÃO TAYLOR-LAGRANGE)
Confirmando que a Teoria da Renormalização é um campo de pesquisa teórica ainda surpreendentemente rico e
atualíssimo, os físicos Pierre Grangé (Université Montpellier II, França) e Ernst Werner (Universität Regensburg,
Alemanha) publicaram no segundo semestre do ano de 2011 (P. Grangé and E.Werner, J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011)
385402 (26pp)) um trabalho em que propõem um novo esquema de renormalização, a que chamaram de TL, que engloba os
métodos BPHZ e EG como versões parciais. Particularmente quanto ao esquema BPHZ, que resolve somente as
divergências UV, o método TL leva a vantagem de possuir a mesma operacionalidade do esquema EG – a que chamam de
“uma maquinaria matemática de caráter geral” (a general mathematical framework), tratando no mesmo nível e resolvendo
também as divergências IR. Usando um ferramental matemático bastante especializado, os autores descrevem seu método
como “um esquema de regularização/ renormalização baseado em propriedades intrínsecas de campos quânticos, enquanto
distribuições com valores em operadores (operator-valued distributions – OPVDs) acompanhadas de funções de teste
adequadas, definidas como partições da unidade (PU), os resultados, obtidos tanto em variedades euclidianas quanto
minkowskianas para a dimensão física D=4, unem as expansões de Taylor das distribuições singulares estendidas à fórmula
integral de Lagrange para os termos de resto (remainder) dessas expansões - originando-se aí o nome do método.
A preservação de simetrias pelo método TL é mostrada explicitamente no cálculo das contribuições dos bósons de
calibre nas teorias QED/QCD, e em um tratamento dinâmico do modelo de Yukawa usando a técnica e a notação de lightfront.
Ainda segundo os autores, “a ideia central (...) é transferir o efeito regularizador das funções de teste internas aos
funcionais para distribuições modificadas e regulares, construídas a partir das distribuições singulares originais. (Tornando
assim) a TQC resultante livre de divergências, com renormalização sempre finita.”
197
Os objetivos alcançados pelo método TL são os seguintes:
(A) (i) exigência de unicidade – isto é, a independência do método com respeito à forma das funções de teste usadas
para definir os campos físicos – e (ii) as invariâncias de Lorentz e Poincaré se seguem da natureza paracompacta dos
espaços euclidiano e minkowskiano, e de estarem providos de funções de teste que são partições da unidade (PU) (ver
Anexo B);
(B) as funções de teste PU podem ser sempre tecnicamente escolhidas de tal forma que as possíveis violações das
invariâncias acima referidas sejam evitadas;
(C) um modo bastante efetivo de manipular distribuições singulares é via uma extensão de distribuições, um método
bem conhecido e estabelecido na literatura matemática (p. ex. em Lars Hörmander, “The Analysis of Partial Differential
Operators I – Distribution Theory and Fourier Analysis”, 2nd Ed., Springer-Verlag, 1990), e aplicado mais recentemente à
TQC (Dirk Prange, J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 2225; Brunetti e Fredenhagen, Commun. Math. Phys. 208 (2000) 623,
Commun. Math. Phys. 208 (2000) 623);
(D) o método TL permite que se tratem simultaneamente e no mesmo nível as singularidades UV e IR;
Este método de renormalização é o mais recente (Set. 2011) e matematicamente rigoroso, mas não será focalizado em
detalhe, não só pela complexidade do aparato usado, como por condensar pelo menos 6 anos de pesquisas dos autores e
outros a elaboração gradativa dos resultados apresentados – seria necessário um enfoque específico e extenso para cumprir
essa tarefa, que a d e baimensão do presente trabalho não comporta. Faremos apenas uma breve descrição das origens do
método e de suas principais estruturas conceituais, algumas das quais estão exemplificadas no Anexo B.
198
8.1. LIGHT-FRONT DYNAMICS (LFD): UMA PROPOSTA DE DIRAC COMO MOTIVAÇÃO ORIGINAL
Em meados do século XX, enquanto as atenções e os esforços dos físicos se voltavam cada vez mais para a
formulação lagrangiana da TQC desenvolvida por Feynman, Schwinger e Tomonaga e fundamentada no princípio
variacional da mínima ação, o próprio fundador da teoria em 1927, P. A. M. Dirac, voltava todo seu arsenal teórico para a
formulação hamiltoniana, descrente de existir uma solução aceitável para o expurgo dos infinitos que ainda infestavam os
cálculos mais simples. Foi nesse espírito que Dirac escreveu um artigo com o título “Forms of Relativistic Dynamics” (P. A.
M. Dirac, Rev. Mod. Phys. 21 (1949) 392-399), onde combina a formulação hamiltoniana da dinâmica com o princípio da
relatividade restrita e obtém 10 grandezas fundamentais presentes em três formulações da dinâmica relativística
correspondentes a vários subgrupos do grupo de Poincaré não-homogêneo: a Formulação Instantânea, a Formulação Pontual
e a Formulação da Frente de Onda de Luz. Esse trabalho permaneceu na sombra por quase meio século, até que, no início da
década de 1990, a terceira formulação começou a ser aplicada ao estudo de estados quânticos ligados, sob o nome de LightFront Quantum Field Theory (LFQFT), que se transformou hoje em um campo teórico de pesquisa extremamente ativo, com
congressos e colaborações internacionais. A frente de onda de Dirac é uma superfície tridimensional no espaço-tempo,
definida simplesmente pela equação de coordenadas quadridimensionais x   x0  x3  0 . Esta equação descreve uma frente
de onda luminosa plana, e as 10 grandezas dinâmicas de um sistema físico relativístico (energia, momentos linear e angular,
e hamiltonianas) são calculadas sobre o cone de luz, como pode ser visto com mais detalhe, por exemplo, no trabalho de
introdução à teoria disponível em arXiv:hep-ph/9612244v2. Os físicos europeus Pierre Grangé, Ernst Werner e outros foram
inicialmente levados a aplicar o tratamento de Epstein e Glaser, de extensão de distribuições singulares DVOP, usando
funções de teste não arbitrárias, dentro de certas condições a serem determinadas (P. Grangé, P. Ulrich and E. Werner, Phys.
Rev. D57 (1998) 4981; S. Salmons, P. Grangé and E. Werner, Phys. Rev. D57 (1998) 4981; Phys. Rev. D60 (1999) 067701;
Phys. Rev. D65 (2002) 125015), dentro do contexto da LFQFT. Mais tarde, a escolha das funções de teste mais apropriadas
199
se fixou nas Partições da Unidade (PU) (Pierre Grangé and Ernst Werner, arXiv:math-ph/0612011v2 8 Feb 2007), que se
mostraram particularmente adequadas ao tratamento da invariância de Poincaré e da invariância local de Lorentz.
200
8.2. CAMPOS COMO DISTRIBUIÇÕES VALORADAS EM OPERADORES (DVOP) E PARTIÇÕES DA UNIDADE
(PU) COMO FUNÇÕES DE TESTE
A representação de campos, tanto clássicos com quânticos, por meio de DVOP, data à primeira vista da formulação
por Dirac da famosa “função  ”, que John Von Neumann abominou até que Laurent Schwartz criasse a Teoria das
Distribuições e mostrasse que tanto Dirac quanto Von Neumann estavam certos, desde que definissem corretamente a 
como uma medida de integração, ou como uma distribuição. E não como função. Com a reintrodução das funções de Green
no eletromagnetismo clássico, realizada no pós-guerra por Schwinger, a distribuição  foi entronizada definitivamente no
contexto da física teórica moderna. No âmbito da TQC, em que se multiplicam as distribuições  singulares, foi logo
sentida, para não se perder a consistência matemática, a necessidade de descrever campos “manchados” (smeared fields),
através da associação dessas distribuições singulares, no interior dos funcionais de valores esperados e de funções de
correlação, com funções de teste suaves e de suporte compacto.
Para introduzirmos campos em TQC como DVOP, podemos considerar, sem perda de generalidade, um campo
massivo escalar livre que seja solução da equação de Klein-Gordon D -dimensional. A solução geral nesse caso é uma
DVOP que define um funcional com respeito a uma função de teste   x  pertencente ao espaço de funções de teste de
Schwartz
 :
D
Nesta equação,     é um funcional valorado em operadores, que pode ser interpretado como um funcional mais geral
  x,   calculado em x  0 . De fato, esse funcional mais geral obtido por uma translação Tx é um objeto bem definido:
201
A função de teste transladada   x  y  possui agora uma decomposição de Fourier bem definida
Segue-se daí que
Devido às propriedades de  , o funcional Tx    satisfaz a equação de Klein-Gordon, e pode ser tomado como um campo
físico   x  . Depois de integrarmos sobre p0 e fazendo a substituição usual  p2  p 2  m2 , a forma quantizada é tomada
como a integral euclidiana  D  1 -dimensional:
Essa expressão para   x  é particularmente útil para definir funções de correlação para o campo, e de forma mais precisa,
no formalismo LFQFT.
Até aqui, não foi feita nenhuma restrição à forma das funções de teste, podendo parecer que cada escolha de uma dada
função de teste irá gerar uma determinada e distinta TQC. Se forem escolhidas PU como funções de teste, porém suas
propriedades topológicas, tais como: (i) o produto de duas PU será também uma PU; (ii) uma PU independe do atlas da
variedade diferenciável, logo, o funcional valorado em operadores é independente de como foi construída, ou escolhida, uma
determinada PU para ser função de teste; etc., eliminam a arbitrariedade dos resultados.
202
Uma consequência imediata e importante dessa construção é que sucessivas convoluções do campo   x  com a
função de teste deixam   x  inalterado:
Neste caso, f 2 é o resultado do produto de duas PU, e como f 2 vem a ser também uma PU com o mesmo suporte que f ,
  x  não será afetado.
8.3. DO MÉTODO EG APLICADO À LFQFT (LIGHT-FRONT QUANTUM FIELD THEORY) AO MÉTODO TL: 20062011
P. A. M. Dirac introduziu três possíveis dinâmicas relativísticas, no formalismo hamiltoniano, em 1949 [2].
Uma delas, a light-front dynamics, também chamada de light-cone e infinite momentum frame field theories, voltou a ser
usada nos anos 60 e 70
Frente de onda plana de luz e cone de luz
no limite de altas energias  q0  i  e momentum infinito  P    , no contexto da current algebra, por Fubini, Adler,
Gell-Mann, Weinberg, e outros. Usando esses limites, Bjorken predisse em 1969 o famoso escalonamento (Bjorken scaling)
203
de funções de estrutura no espalhamento inelástico profundo (deep inelastic scattering). O modelo dos partons de Feynman
foi formulado no referencial de momentum infinito, que chamamos aqui de Light-Front Dynamics, ou LFD. Mais tarde
(1974), ‘t Hooft usou as variáveis e o calibre de frente de onda de luz para estudar o confinamento na QCD. A partir dos
anos 80, Brodsky, Lepage et al. iniciaram o estudo da teoria perturbativa na frente de onda de luz (para um histórico
resumido, ver [3]). A frente de onda de luz é, para Dirac, em suas próprias palavras, “... the three-dimensional surface in
space-time formed by a plane wave front advancing with the velocity of light” [2]. A equação x  x0  x3  0 define o plano
dessa frente de onda.
Atualmente, uma busca no arXiv por trabalhos citando “light-front” e “light-cone” mostra a intensa pesquisa em
andamento, em altas energias, física nuclear e teoria de cordas [4], usando a separação entre as variáveis dinâmicas e
cinemáticas características da quantização sobre a frente de onda de luz. Também recentemente (2011), o difícil problema da
renormalização em LFD ocasionou a formulação de um esquema de renormalização matematicamente rigoroso no espaço
das posições, como mostrei no curso PG11 da IX Escola do CBPF (16-23 jul 2012) [5].
Por ser definida em 1+1 dimensões, mesmo com variáveis e notações muito próprias, a LFD volta o seu potencial,
natural e atualmente, para o estudo dos modelos solúveis de Schwinger, Thirring, Schroer, Rothe-Stamatescu, assunto que
conheço e estudo há mais de cinco anos. A formulação “space-like” (SL) usual da TQC, oriunda do sucesso do tratamento
da QED no formalismo lagrangiano por Feynman, Schwinger e Tomonaga, e a formulação “light-front” (LF) de operadores
no plano da frente de onda de luz, no formalismo hamiltoniano de Dirac, são duas representações independentes da mesma
realidade física. Em virtude dessa independência, existem diferenças marcantes entre ambos os esquemas, mesmo no nível
das propriedades básicas, não só em termos das respectivas estruturas matemáticas, mas também em aspectos físicos, como
a natureza das variáveis de campo, a divisão dos geradores do grupo de Poincaré em dois setores cinemático e dinâmico
disjuntos que ocorre na LFD, a natureza do estado de vácuo, que na LFD, é frequentemente identificado com o vácuo de
Fock, após a diagonalização do operador hamiltoniano total.
204
8.3.1 ALGUNS RESULTADOS SURPREENDENTES EM LFQFT.
Os propagadores de campos, calculados no formalismo da LFQFT, são os seguintes:
 Campo escalar - o propagador LF é o mesmo propagador de Feynman do formalismo SL;
 Campo fermiônico – o propagador LF difere do propagador SL de Feynman por um “propagador instantâneo”
(lembrando que estamos em um formalismo de momentum infinito);
 Campo vetorial de massa nula – a componente A  A0  A3 não é uma variável dinâmica. As variáveis
dinâmicas são Ai , i  1,2 , que obedecem à equação de Klein-Gordon de massa nula. No calibre de Lorentz
  A  0 o propagador do fóton é diferente do propagador SL de Feynman;
 Grupo de Lorentz – dos seis geradores do grupo, quatro são geradores cinemáticos e apenas dois são geradores
dinâmicos;
 QED2 - a eletrodinâmica quântica em duas dimensões, na fixação de calibre LF correspondente a
A  A0  A3  0 , tem como momentum P  , e como hamiltoniano P  , que se relacionam pela equação de
autovalores P P    M 2  . O hamiltoniano tem apenas férmions como graus de liberdade, o que simplifica
enormemente a estrutura do espaço de Fock. No limite ultrarrelativístico em que a massa m do férmion do
termo de Dirac é infinita  m    , a equação de autovalores acima tem a solução M 2  e2  , o resultado já
bem conhecido e estudado do Modelo de Schwinger. Este resultado é obtido em LFD a partir da interação de
um par férmion-antiférmion, e não é de forma alguma trivial. No limite de massa zero  m  0  , o divergente
da corrente axial quântica é diferente de zero, mostrando a mesma anomalia do modelo de Schwinger quiral
encontrada no formalismo SL. A diferença reside em que, no formalismo LF, a corrente j5  j   j 0  j 3
obedece à equação de Klein-Gordon para um campo escalar massivo com m2  e2  .
205
Alguns anos após o desenvolvimento inicial da aplicação do método de renormalização EG no contexto da LFQFT,
Grangé e Werner apresentam um trabalho rigorosamente fundamentado intitulado “The Taylor-Lagrange scheme as a
template for symmetry-preserving renormalization procedures” (P. Grangé and E. Werner, J. Phys. A 44 (2011) 385402
(26pp)). Traduzindo livremente o sumário original:
“Apresenta-se um esquema geral de renormalização/regularização baseado em propriedades intrínsecas de campos quânticos
enquanto distribuições valoradas em operadores, com funções de teste adequadas. A propriedade paracompacta das
variedades euclidiana e minkowskiana permite uma definição única de campos através de integrais sobre as variedades,
baseada em funções de teste que são partições da unidade (PU). Essas funções de teste resultam promover um esquema
invariante de Lorentz diretamente voltado para o procedimento de extensão de distribuições singulares, e possuem a
propriedade única de serem iguais ao seu próprio termo de Taylor restante, de qualquer ordem [N. B. – qualquer potência de
uma PU é uma PU de mesmo suporte, logo, equivalente]. Quando esse termo restante de Taylor é expresso pela fórmula de
Lagrange, somos levados a procedimentos específicos de extensão de distribuições nos domínios UV e IR. Esses resultados,
que são diretamente obtidos na dimensão física D  4 , dependem de uma escala arbitrária que está presente na definição de
qualquer função de teste PU, e essa escala é relevante na análise final do Grupo de Renormalização das amplitudes físicas. O
caráter geral do método TL se dá no sentido de que o mesmo compreende os procedimentos bem conhecidos e preservadores
de simetria do método BPHZ, assim como as subtrações presentes no método de regularização de Pauli-Villars, tanto ao
nível de propagadores quanto de relações de dispersão. A preservação de simetria é explicitamente verificada em
contribuições simples de bósons de calibre em QED/QCD, e também no tratamento do modelo de Yukawa no contexto da
dinâmica covariante de frente de luz (CLFD).”
Pelos motivos expostos anteriormente, resumiremos aqui a essas breves citações a apresentação do método de
renormalização TL
206
9.
APÊNDICE A
TEORIA DOS NÓS
Os nós são conhecidos e usados para os mais variados fins desde tempos imemoriais, passando pelas civilizações
egípcia, suméria, maia, inca, e inúmeras outras. A Teoria dos Nós, ou seja, o conhecimento das regras que produzem os nós,
suas propriedades matemáticas, e suas possíveis aplicações, nasceu no século XVIII, através de um estudo em que Carl
Friedriech Gauss descobriu um número classificatório das possibilidades de elos em uma corrente com dois nós: o número
de elo (link number). Este número é um inteiro topologicamente invariante que conta o número de vezes que uma curva
plana fechada pode envolver outra curva plana fechada, e pode ser positivo ou negativo, dependendo das orientações de
ambas as curvas. Abaixo, são mostrados elos com números de elo diferentes:
O mais à esquerda é o elo de ordem zero, com número de elo 0. Um elo de ordem zero define naturalmente o conceito de nó.
Os elos subsequentes possuem, respectivamente, números de elo 1, 2 e 3. O conceito fundamental, entretanto, é o nó, cujas
formas e propriedades topológicas podem ser estudadas individualmente, e se revelam muito mais ricas e complexas do que
à primeira vista. O elo de ordem zero é idêntico a um círculo, não necessariamente plano, que representaremos, como usual,
por S 1 , recebendo na teoria a denominação de não-nó (unknot). Todos os demais nós podem ser construídos, então, como
deformações sem interseções de S 1 , no interior (embedded in), por exemplo, de 3 .
207
As figuras abaixo mostram os dois nós não-triviais mais simples, possuindo como invariantes topológicos,
respectivamente, os números de cruzamentos (crossing numbers) 3 e 4:
Serão mostrados aqui apenas alguns conceitos básicos da Teoria dos Nós, especialmente aqueles que, por sua natureza
topológica, estão relacionados com os grafos de Feynman.
Def.: Um nó é um mapa suave  de S 1 para
se e somente se s1  s2 .
Obs.: Todos os nós em
3
são triviais em
3
, sem interseções. Simbolicamente, para esse mapa  teremos   s1     s2 
4
, pois neste espaço um nó passa a ser definido como um mapa suave
 : S2  4 .
O que nos interessa na verdade são as classes de equivalência entre os nós, definidas da forma seguinte.
Dois nós são equivalentes se podemos deformar um deles para obter o outro, sem efetuar cortes. Formalmente, dois nós K1
e K 2 são equivalentes, o que simbolizamos por K1 K 2 , se existir um auto-homeomorfismo preservador de orientação, em
3
, que mapeie K1 em K 2 , conforme mostrado na figura abaixo, onde estão representadas duas representações equivalentes
de um mesmo nó com número de cruzamentos igual a três:
208
Construindo agora elos a partir dos nós, podemos definir diagramas de elos como sendo um mapeamento de S 1  S 1   S 1
para 3 . Quando usamos n cópias de S 1 , dizemos que esses elos possuem n componentes. O n -elo trivial é equivalente à
união disjunta de n círculos sobre o plano, e é denotado por  n . O círculo isolado é denominado de não-nó, como já foi
visto. Os elos são espaços topológicos mergulhados (embedded) em 3 , o que faz com que, por exemplo, S 1  S 1 seja
equivalente a S 1 quando representado em 4 .
Todo nó é gerado univocamente pelo produto de nós primos, assim como todo número natural pode ser fatorado em
números primos. Isto mostra que a Teoria dos Nós está intimamente relacionada à Teoria dos Números. O produto de dois
nós é sempre bem definido, uma vez que é irrelevante onde são realizados os cortes e as colagens que produzem o nó
resultante, como pode ser visto de maneira clara na figura abaixo, que representa o produto K1  K1 :
209
Esta operação atribui uma estrutura de semigrupo ao conjunto de nós, onde a identidade é o não-nó, e o produto de nós é um
nó. O que falta para ser uma estrutura de grupo é o inverso: não existe um nó que, multiplicado por um nó não-trivial, como
os de número de cruzamento 3 e 4 mostrados anteriormente, reproduza o não-nó.
O problema crucial da Teoria dos Nós é reconhecer a equivalência entre dois nós. Como já foi dito, dois nós são
equivalentes quando um resulta do outro por deformações tridimensionais contínuas, ou isotopias ambientes 3  3 , sem
cortes nas cordas. Dois nós equivalentes possuem um mesmo invariante, que pode ser o número de cruzamentos, polinômios
invariantes (os mais conhecidos são o de Alexander, o de Jones e o HOMFLY), invariantes hiperbólicos, e outros.
Os diagramas de dois nós equivalentes podem ser transformados um no outro através de uma sequência de
movimentos, descoberta em 1927 por Kurt Reidemeister (1893-1971), e descrita abaixo:
A associação fundamental entre os diagramas, ou grafos de Feynman, e a Teoria dos Nós, é feita através da identificação de
subdivergências aninhadas com grafos escada, e destes com diagramas de elos, como exemplificado na representação
abaixo:
210
Na figura maior, a hierarquia da estrutura de uma floresta de Zimmermann é mapeada em um diagrama de elos, representado
logo abaixo, onde cada cruzamento em um elo corresponde a um vértice no diagrama de Feynman. A conservação dos
momentos nos vértices se dá de forma natural, como mostrado nas duas figuras inferiores.
211
10.
APÊNDICE B
ESPAÇO PARACOMPACTO E PARTIÇÃO DA UNIDADE (PU)
A noção de espaço topológico paracompacto foi criada em 1944 pelo matemático Jean Dieudonné, um dos integrantes do
grupo Bourbaki (“Une genéralisation des spaces compacts”, J. Math. Pures et Appliquées, 23 (1944) 65-76). A extensão do
uso da PU da integral de formas diferenciais para o funcional de distribuições foi introduzida por Laurent Schwartz
(“Théorie des distributions”, Hermann, Paris, 1966)
Def: PARTIÇÃO DA UNIDADE
Seja X uma variedade m -diferenciável e seja o intervalo unitário I  0,1  . Uma partição da unidade (PU) é
uma coleção    de mapas contínuos  : X  I tais que:
(i) cada   tem o seu suporte (isto é, o fecho do conjunto em que   0 ) contido em algum intervalo aberto U  X ;
(ii) cada x   x1 , x 2 , , x m   X possui uma vizinhança que contém somente um número finito de   ’s não nulos;
(iii)
   1
Def: ESPAÇO DE HAUSDORFF PARACOMPACTO
Um espaço de Hausdorff X é paracompacto se, para toda cobertura aberta U  de X , existe uma partição da
unidade    subordinada à cobertura.
 Todo espaço compacto é paracompacto
 Todo espaço de Hausdorff paracompacto admite uma partição da unidade
 Todo espaço métrico é paracompacto.
212
Exemplo: Para m  1 , se considerarmos X conexo, só existem duas variedades possíveis: a reta
e o círculo S 1 . No plano
xy , podemos tomar o representativo x 2  y 2  1 para encontrar um atlas para S 1 . Esse atlas possuirá pelo menos duas cartas
1 ,2 , mostradas na figura abaixo:
com as inversas 11 :  0,2   S 1 e 21 :   ,    S 1 definidas respectivamente por
As imagens das inversas são
Im 11   S 1  1,0 ,
Im 21   S 1  1,0 .
Obviamente 1 ,2 ,1121 são mapas contínuos, logo, 1 e  2 são homeomorfismos.
213
Consideremos agora uma função f : M  sobre uma variedade orientável M dotada de um elemento de volume  . Em
uma vizinhança U i com as coordenadas x , define-se a integral de uma m -forma f  pela expressão
Se a integral sobre U i é definida, a integral de f sobre toda a variedade M é obtida através da PU definida como se segue.
Def: Tomemos uma cobertura aberta U i  de M tal que todo ponto de M seja coberto por um número finito de U i , isto é,
M é paracompacto. Se uma família de funções diferenciáveis  i  p  satisfaz as condições
para todo ponto p  M , a família  i  p  é uma partição da unidade subordinada à cobertura U i  . Da condição (iii)
acima decorre que
onde fi  p   f  p   i  p  é nula no exterior de U i , pela condição (ii). Logo, dado um ponto p  M , como M é
paracompacto, o somatório tem um número finito de termos. Para cada fi  p  podemos definir a integral sobre U i , e resulta
que a integral de f sobre M será dada por
214
Mesmo que um atlas distinto Vi , i  tenha coordenadas diferentes, e uma PU diferente, a integral definida acima
permanecerá a mesma. Voltando ao exemplo anterior em que o atlas de S 1 é dado por U i ,i  , i  1,2 e U1  S 1  1,0  ,
U 2  S 1   1,0  , 1    sen 2  2  ,  2    cos 2  2  . É imediato verificar que  i   é uma PU subordinada a U i  .
Como exemplo, vamos integrar uma função f  cos2  . Pelas definições anteriores, temos que, como é sabido,
215
A PU definida acima está representada na figura, para x 0,2 , y 0,1 :
216
O exemplo mais simples de uma PU é dado pela decomposição da unidade sobre a reta
pela família de funções i 
construídas a partir da função elementar u que tem a seguinte propriedade, para todo ponto x  0, h :
u  x   u  h  x   1.
Para qualquer j  e para qualquer x   jh,  j  1 h  obtemos, por translação, u  x  jh   u   j  1 h  x   1. Logo,
e
 j  x   u  x  jh 

   x   1.
j 
j
A PU correspondente é mostrada na figura abaixo, para alguns valores de j :
217