Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes

6
Livro: Introdução à Álgebra Linear
Autores: Abramo Hefez
Cecília de Souza Fernandez
Capítulo 6: Transformações Lineares e
Matrizes
Sumário
1
Matriz de uma Transformação Linear
. . . . . . . 151
2
Operações com Transformações Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
R2
Operadores Lineares em
4
Mudança de Base e Matrizes Semelhantes
150
e em
R3
3
. . . . . . . . 163
. . . . 171
1.
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
151
Neste capítulo, mostramos como associar matrizes a transformações lineares, reduzindo as operações com transformações lineares a operações com
matrizes, o que permite ganhar computabilidade.
1
Matriz de uma Transformação Linear
Nesta seção, veremos que se V e W são espaços vetoriais de dimensão
nita, com bases xadas, então uma transformação linear T : V → W pode
ser representada por uma matriz. A vantagem de uma tal representação é
que muitos problemas associados às transformações lineares entre espaços
de dimensão nita podem ser resolvidos com a teoria das matrizes, como
veremos na próxima seção e nos capítulos a seguir.
Seja T : V →W uma transformação linear, em que dim V =n e dim W =m.
Sejam α = {v1 , v2 , . . . , vn } e β = {w1 , w2 , . . . , wm } bases de V e W , respectivamente. Como β é uma base de W , podemos determinar de modo único
números reais aij , com 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, tais que
T (vi ) = a1i w1 + · · · + aji wj + · · · + ami wm .
(1)
Tomemos agora v em V . Temos que v = k1 v1 + · · · + kn vn , em que ki ∈ R
para 1 ≤ i ≤ n. Pela linearidade de T e por (1), segue que
T (v) = k1 T (v1 ) + · · · + kn T (vn )
= k1 (a11 w1 + · · · + am1 wm ) + · · · + kn (a1n w1 + · · · + amn wm )
= (a11 k1 + · · · + a1n kn )w1 + · · · + (am1 k1 + · · · + amn kn )wm .
Logo,


[T (v)]β = 
a11 k1 + · · · + a1n kn
..
.



am1 k1 + · · · + amn kn

 
a11 · · · a1n
k1
 ..


.
α
..   ... 
= .
 = [T ]β · [v]α ,
am1 · · · amn
kn
(2)
152
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
onde denimos

a11
 .
[T ]αβ =  ..
· · · a1n

..  .
. 
am1 · · · amn
A matriz [T ]αβ , que representa T em relação às bases α e β , é chamada a
matriz de T nas bases α e β . Por (2), temos a expressão
[T (v)]β = [T ]αβ · [v]α
para todo v em V .
(3)
Observemos que [T ]αβ é uma matriz de ordem m × n tal que, para cada
1 ≤ i ≤ n, a i-ésima coluna de [T ]αβ é dada pelas coordenadas de T (vi ) na
base β .
Exemplo 1. Sejam α = {(1, 1), (0, 2)} e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 2, 0)},
bases de R2 e R3 , respectivamente. Calculemos [T ]αβ , onde T : R2 → R3 é
dada por T (x, y) = (2x, x − y, 2y).
Como T é uma transformação linear de R2 em R3 , [T ]αβ é uma matriz
3 × 2, digamos


[T ]αβ
a11 a12


= a21 a22  .
a31 a32
Pelo que vimos, a11 , a21 e a31 são as coordenadas de T (1, 1) na base β e
a12 , a22 e a32 são as coordenadas de T (0, 2) na base β . Ou seja,
T (1, 1) = (2, 0, 2) = a11 (1, 0, 1) + a21 (0, 1, 0) + a31 (1, 2, 0)
e
T (0, 2) = (0, −2, 4) = a12 (1, 0, 1) + a22 (0, 1, 0) + a32 (1, 2, 0).
Equivalentemente,




a11 + a31 = 2
a21 + 2a31 = 0



a11 = 2
e




a12 + a32 = 0
a22 + 2a32 = −2



a12 = 4 .
1.
153
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Resolvendo os sistemas lineares acima, obtemos
a11 = 2,
a21 = 0,
Portanto,
a31 = 0,
a12 = 4,
a22 = 6
e
a32 = −4.


2
4


[T ]αβ = 0
6 .
0 −4
No exemplo anterior, determinamos [T ]αβ a partir da transformação linear
T . No próximo exemplo, vamos considerar o problema inverso: dada a matriz
[T ]αβ , determinar T a partir desta matriz.
Exemplo 2. Sejam α e β as bases dadas no Exemplo 1. Determine a
transformação linear T : R2 → R3 tal que


1 0


[T ]αβ = 1 2 .
0 1
Para determinar T usaremos a expressão (3). Assim, computemos inicialmente [v]α .
Ora, se (x, y) ∈ R2 , então
(x, y) = x(1, 1) +
o que nos dá
Portanto,
y−x
2
(0, 2),

x
[(x, y)]α =  y − x  .
2






x
1 0
x




y 
[T (x, y)]β = 1 2  y − x  = 
y − x
2
0 1
2
e, consequentemente,
154
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
T (x, y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0) +
y+x
=
, 2y − x, x .
2
y−x
2
(1, 2, 0)
O Exemplo 2 pode ser resolvido por um outro método. De fato, sabemos
que, na base β , a primeira coluna de [T ]αβ nos dá as coordenadas de T (1, 1)
e a segunda coluna nos dá as coordenadas de T (0, 2).
Assim,
T (1, 1) = 1(1, 0, 1) + 1(0, 1, 0) + 0 · (1, 2, 0) = (1, 1, 1)
e
T (0, 2) = 0 · (1, 0, 1) + 2(0, 1, 0) + 1(1, 2, 0) = (1, 4, 0).
Para (x, y) ∈ R2 arbitrário, temos
(x, y) = x(1, 1) +
y−x
2
(0, 2).
Agora, pela linearidade de T , segue que
y−x
T (x, y) = x(1, 1, 1) +
(1, 4, 0)
2
y+x
, 2y − x, x ,
=
2
como encontrado anteriormente.
Quando a transformação linear for de um espaço vetorial V nele mesmo,
ela será chamada de operador em V .
Exemplo 3. Consideremos o operador identidade em um espaço vetorial V ;
isto é, o operador denido por IV (v) = v para todo v ∈ V .
Tem-se que [IV ]αα é a matriz identidade de ordem n. De fato, para cada
1 ≤ j ≤ n, a j -ésima coluna de [IV ]αα é dada pelas coordenadas de IV (vj ) na
base α. Mas, para cada 1 ≤ j ≤ n,
IV (vj ) = vj = 0v1 + · · · + 0vj−1 + 1vj + 0vj+1 + · · · + 0vn ,
1.
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
155
o que implica que [IV ]αα é a matriz identidade de ordem n:

1

0
.
 ..

α
[IV ]α = 
0

 ..
.
0
↑
···
0
0
···
···
1
···
···
0
···
..
.
..
.
↑

0

0
.. 
.

.
0

.. 
.
1
↑
coordenadas coordenadas coordenadas
de IV (v1 )
de IV (vj )
de IV (vn )
na base α
na base α
na base α
Seja T : V → W uma transformação linear entre espaços vetoriais de
dimensão nita. Vimos que, uma vez xadas bases α e β de V e W , respectivamente, existe uma única matriz [T ]αβ que representa T nessas bases.
Uma pergunta natural é o que ocorre com a matriz [T ]αβ se diferentes bases
são escolhidas. Consideremos a transformação linear dada no Exemplo 1. Se
α e β são as bases canônicas de R2 e R3 , respectivamente, então


2
0


[T ]αβ = 1 −1 .
0
2
Assim, podemos ter matrizes diferentes representando uma mesma transformação linear. Isto deixa bastante claro que, embora uma transformação
linear T : V → W não dependa de bases particulares escolhidas para V e W ,
a matriz associada depende dessas bases.
Terminamos esta seção observando que escolhidas bases quaisquer α e β
de Rn e Rm , respectivamente, uma matriz A ∈ M(m, n) dene uma transformação linear T : Rn → Rm como segue:
[T (v)]β = A · [v]α ,
v ∈ Rn .
156
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
Mais ainda, tem-se que [T ]αβ = A (veja Problema 1.2).
Em particular, se α e β são as bases canônicas de Rn e Rm , respectivamente, então a transformação linear T é chamada transformação multiplicação por A, sendo representada por TA .
Exemplo 4. Seja A = [aij ] uma matriz de ordem m × n. Temos que

  
a11 a12 . . . a1n
x1

  
 a21 a22 . . . a2n   x2 
 
TA (x1 , . . . , xn ) = 
..
.. 
 ..
  .. 
.
.  .
 .
am1 am2 . . . amn
xn


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn


 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn 

= 
..


.


am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
= x1 w 1 + x2 w 2 + · · · + xn w n ,
onde w1 , . . . , wn são os vetores colunas da matriz A.
Assim, temos que Im TA é o subespaço de Rm gerado pelas colunas da
matriz A, chamado espaço coluna de A e denotado por C(A). Por outro
lado, o núcleo Ker TA de TA é o conjunto solução Sh (A) do sistema linear
homogêneo AX = 0.
Problemas
1.1 Dadas duas transformações lineares T, T 0 : V → W e bases α e β de V e
W , respectivamente, mostre que se [T ]αβ = [T 0 ]αβ , então T = T 0 .
1.2* Sejam dados dois espaços vetoriais V e W de dimensões n e m, respec-
tivamente. Seja α uma base de V e β uma base de W . Dada uma matriz
A ∈ M(m, n), considere a função T : V → W denida por
[T (v)]β = A[v]α ,
v ∈ V.
1.
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
157
Mostre que:
(a) T é uma transformação linear;
(b) [T ]αβ = A.
1.3 Sejam A e B matrizes em M(m, n) e β uma base de um espaço vetorial
V . Mostre que se A[v]β = B[v]β para todo v ∈ V , então A = B .
1.4* Sejam T : Rn → Rm uma transformação linear e α e β bases de Rn e de
Rm , respectivamente. Se r é o posto da matriz [T ]αβ , mostre que
dim Im T = r
e
dim Ker T = n − r.
1.5 Dadas as bases α = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} de R3 e β = {(1, 2), (0, 1)}
de R2 , ache a transformação linear T : R3 → R2 tal que
"
#
1
0
2
[T ]αβ =
.
−1 −1 1
1.6 Dado o operador linear T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (x − y, y − x, x − z), encontre [T ]αβ , onde α é a base canônica de R3 e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}.
1.7 Seja T : R3 → R3 a multiplicação pela matriz


1 3 4


 3 4 7 .
−2 2 0
(a) Mostre que Ker T é uma reta que passa pela origem e encontre as equações
paramétricas desta reta.
(b) Mostre que Im T é um plano que passa pela origem e encontre a equação
cartesiana deste plano.
1.8 Dado o operador linear T (x, y, z) = (x − 2y + z, −x + 4y − 2z, x) em R3 ,
com base α = {(1, 0, −1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)}, encontre uma base β de R3 tal
158
CAPÍTULO 6.
que
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES


1 0 0


[T ]αβ = 0 0 0 .
0 0 1
1.9 Seja T : R[x]2 → R[x]2 a transformação linear T (p(x)) = p(2x + 1)
(veja Exemplo 6, Seção 1, Capítulo 5). Encontre [T ]ββ em relação à base
β = {1, x, x2 }.
1.10 Suponha que V e W tenham dimensão nita. Mostre a matriz, em
quaisquer bases de V e de W , da transformação nula 0 : V → W é a matriz
nula.
1.11 Seja α = {v1 , v2 , v3 , v4 } uma base de um espaço vetorial V . Encontre a
matriz [T ]αα da transformação linear T : V → V denida por
T (v1 ) = v2 ,
T (v2 ) = v3 ,
T (v3 ) = v4
e
T (v4 ) = v1 .
1.12 Seja T : R2 → M(2, 2) a transformação linear denida por

1 −2
−1
0


α
[T ]β = 
,
 2
1
1 −1

onde α e β são as bases canônicas de R2 e M(2, 2), respectivamente.
(a) Determine os vetores v ∈ R2 tais que T (v) = I2 ;
(b) Determine T (3, −1).
2
Operações com Transformações Lineares e Matrizes
Sejam T e T 0 transformações lineares de V em W . Sejam α = {v1 , . . . , vn }
e β = {w1 , . . . , wm } bases de V em W , respectivamente. Estamos interessados em vericar se existe alguma relação entre as matrizes [T + T 0 ]αβ , [T ]αβ e
2.
OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
159
[T 0 ]αβ . Notemos que se 1 ≤ j ≤ n, então
[(T + T 0 )(vj )]β = [T (vj ) + T 0 (vj )]β = [T (vj )]β + [T 0 (vj )]β ,
mostrando que a j -ésima coluna de [T + T 0 ]αβ é a soma da j -ésima coluna de
[T ]αβ com a j -ésima coluna de [T ]αβ . Demonstramos assim o seguinte resultado:
Proposição 6.2.1. Sejam T e T 0 transformações lineares de V em W , onde
V e W são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α e β são bases de V e
W , respectivamente, então
[T + T 0 ]αβ = [T ]αβ + [T 0 ]αβ .
Deixamos como exercício para o leitor (veja Problema 2.3) demonstrar a
próxima proposição, que é um resultado análogo ao anterior para a multiplicação por escalar de transformações lineares.
Proposição 6.2.2. Seja T : V → W uma transformação linear, onde V e
W são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α e β são bases de V e W ,
respectivamente, então
[kT ]αβ = k[T ]αβ ,
onde k é um número real arbitrário .
Decorre, das duas proposições acima, que [T +kT 0 ]αβ = [T ]αβ +k[T 0 ]αβ , o que
mostra, em virtude dos Problemas 1.1 e 1.2, da Seção 1, que dados espaços
vetoriais V e W , de dimensões respectivamente, n e m, e xadas bases α de
V e β de W , a aplicação
L(V, W ) → M(m, n)
T
7→
[T ]αβ
é um isomorsmo de espaços vetoriais. Portanto, temos que
dim L(V, W ) = dim M(m, n) = nm.
No próximo resultado veremos que a composta de duas transformações
lineares pode ser representada por um produto de matrizes. Esta é uma das
principais razões da importância do estudo de matrizes.
160
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
Proposição 6.2.3. Sejam T : V → W e S : W → U transformações lineares,
em que V, W e U são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α, β e γ são
bases de V, W e U , respectivamente, então
[S ◦ T ]αγ = [S]βγ · [T ]αβ .
(1)
Demonstração Consideremos α = {v1 , . . . , vn }. Denotemos por Cj (M ) a
j -ésima coluna de uma matriz M arbitrária. Se A e B são matrizes para as
quais a matriz AB está denida, segue da denição de produto que
Cj (AB) = A · Cj (B).
(2)
Para demonstrar (1) basta provar que, para cada j , com 1 ≤ j ≤ n, tem-se
que Cj ([S ◦ T ]αγ ) = Cj ([S]βγ · [T ]αβ ). Ora, xe um índice j . De (2), segue que
Cj ([S]βγ · [T ]αβ ) = [S]βγ · Cj ([T ]αβ ) = [S]βγ · [T (vj )]β .
Por outro lado, de (3), da Seção 1, segue que
Cj ([S ◦ T ]αγ ) = [(S ◦ T )(vj )]γ = [S(T (vj ))]γ = [S]βγ · [T (vj )]β ,
o que prova o desejado.
Exemplo 1. Sejam T : R2 → R3 e S : R3 → R2 transformações lineares
cujas matrizes são

1 0


[T ]αβ =  2 1
−1 1

"
e
#
1
0
1
[S]βγ =
,
0 0 1
sendo α = {(1, 0), (1, 1)}, β = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)} e γ = {(1, 0), (0, 2)}.
Vamos encontrar a transformação linear S ◦ T .
Para determinarmos S ◦ T , vamos primeiramente determinar [S ◦ T ]αγ .
Pela Proposição 6.2.3,


#
"
#
1 0
1
0
1
0
1


[S ◦ T ]αγ =
.
 2 1 =
0 0 1
−1 1
−1 1
"
2.
OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
161
Agora por (3), da Seção 1, temos que, para qualquer (x, y) ∈ R2 ,
"
#
0 1
[(S ◦ T )(x, y)]γ =
[(x, y)]α
−1 1
"
#"
#
0 1 x−y
=
−1 1
y
"
#
y
=
2y − x
e, consequentemente,
(S ◦ T )(x, y) = y(1, 0) + (2y − x)(0, 2) = (y, 4y − 2x).
Vimos que se T é uma transformação linear bijetiva, T −1 é também uma
transformação linear. O resultado a seguir, que é uma consequência da Proposição 6.2.3, nos apresenta uma relação entre as matrizes que representam
T e T −1 , quando xadas bases do domínio e do contradomínio de T .
Teorema 6.2.4. Seja T : V → W um isomorsmo, onde V e W são espaços
vetoriais de dimensão nita. Se α é uma base de V e β é uma base de W ,
então
[T −1 ]βα = ([T ]αβ )−1 .
Demonstração Como T −1 é a inversa de T , temos que T −1 ◦ T é a função
identidade em V , ou seja,
T −1 ◦ T = IV .
Pela Proposição 6.2.3,
[IV ]αα = [T −1 ◦ T ]αα = [T −1 ]βα · [T ]αβ .
(3)
Se dim V = n, pelo Exemplo 3, da Seção 1, temos que [IV ]αα é a matriz
identidade de ordem n. Assim, de (3), segue-se que [T ]αβ é invertível e sua
inversa é a matriz [T −1 ]βα .
Corolário 6.2.5. Seja T : V → W uma transformação linear, onde V e W
são espaços vetoriais de mesma dimensão nita. Sejam α e β bases de V
162
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
e W , respectivamente. Temos que T é invertível se, e somente se, a matriz
[T ]αβ é invertível.
Demonstração Uma implicação resulta de (3). A outra, do fato que a
transformação linear L(V, W ) → M(n, n), onde n = dim V = dim W , é
sobrejetora e transforma composição de transformações lineares em produtos
de matrizes.
Exemplo 2. Seja T : R2 → R2 a transformação linear dada por T (x, y) =
(4x − 3y, −2x + 2y). Vamos vericar que T é invertível e vamos encontrar
T −1 .
Para vericarmos que T é invertível, podemos calcular Ker T e usar a
Proposição 5.2.4, ou, ainda, podemos calcular [T ]αα , onde α é uma base qualquer de R2 , e usar o Corolário 6.2.5. Vamos aqui optar pelo segundo método.
Ora, se α é a base canônica de R2 , então
"
#
4 −3
α
[T ]α =
.
−2
2
Utilizando a técnica exposta logo após a Proposição 2.1.7, podemos vericar
que a matriz acima é invertível e a sua inversa é a matriz
"
#
1 3/2
.
1 2
Portanto, devido ao Teorema 6.2.4, temos que
"
[T −1 ]αα = ([T ]αα )−1
#
1 3/2
=
.
1 2
A transformação linear T −1 é, então, determinada usando a fórmula (3) da
Seção 1, como segue:
"
#" # "
#
3
1
3/2
x
x
+
y
2
[T −1 (x, y)]α = [T −1 ]αα [(x, y)]α =
=
,
1 2
y
x + 2y
3.
OPERADORES LINEARES EM
o que fornece
Problemas
2.1 Sejam
R2
E EM
163
R3
3
T −1 (x, y) = (x + y, x + 2y).
2


1 0
1


A = 0 2 −1
0 0
1

e

1 1 −1


B= 0 0
1 .
−1 2
0
Determine a transformação linear T : R3 → R3 tal que TA = TB ◦ T .
2.2 Considere as matrizes


1
2


A = 0
1
1 −1

1 1 1


B = −1 0 0 .
1 2 1

e
Determine:
(a) Ker TA ;
(b) Im TA ;
(c) Ker TB ;
(d) Im TB ;
(e) Ker(TB ◦ TA );
(f) Im(TB ◦ TA ).
2.3 Prove a Proposição 6.2.2.
3
Operadores Lineares em
R2
e em
R3
Dentre os operadores lineares mais importantes em R2 e em R3 estão os
que produzem reexões, projeções e rotações. A seguir, passamos a estudar
alguns destes operadores.
Reexões Consideremos o operador linear T : R2 → R2 , chamado de ree-
xão em torno do eixo Ox, que transforma cada vetor v = (x, y) ∈ R2 em sua
imagem simétrica em relação ao eixo
Ox10
.
Figura
Se escrevermos w = T (v) = (w1 , w2 ), obtemos as equações
w1 = x = 1x + 0y,
w2 = −y = 0x − 1y.
164
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
Assim, se α denota a base canônica de R2 , segue que
"
#
1
0
[T (v)]α =
[v]α .
0 −1
Em geral, os operadores lineares de R2 ou de R3 que levam cada vetor em
seu simétrico em relação a alguma reta ou plano são chamados de reexões .
Abaixo, apresentamos algumas das reexões mais comuns em R2 e R3 . Fixamos a notação α para denotar a base canônica de R2 ou de R3 .
3.
R2
OPERADORES LINEARES EM
Operador
E EM
165
R3
Equações
Matriz [T ]αα
Reexão em torno
do eixo Oy
(
w1 = −x
w2 = y
"
Reexão em torno
da reta y = x
(
"
0
1
w1 = y
w2 = x
#
−1 0
0 1
1
0
#
Reexão em torno
do plano xOy


 w1 = x
w2 = y


w3 = −z


1 0
0


0
0 1
0 0 −1
Reexão em torno
do plano yOz


w1 = −x
w2 = y


w3 = z


−1 0 0


 0 1 0
0 0 1
Reexão em torno
do plano xOz


 w1 = x
w2 = −y


w3 = z


1
0 0


0 −1 0
0
0 1
Projeções Consideremos o operador linear T : R2 → R2 que transforma
cada vetor v = (x, y) ∈ R2 em sua projeção ortogonal sobre o eixo Ox
(Figura 11). Se escrevermos w = T (v) = (w1 , w2 ), obteremos as equações
w1 = x = 1x + 0y,
w2 = 0 = 0x + 0y.
Assim, se α denota a base canônica de R2 , temos
"
#
1 0
[T (v)]α =
[v]α .
0 0
Figura 11
Em geral, uma projeção (ou, mais precisamente, uma projeção ortogonal )
de R2 ou R3 é um operador linear que transforma cada vetor em sua projeção
166
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
ortogonal sobre alguma reta ou algum plano que passa pela origem. A seguir,
apresentamos algumas das projeções mais comuns.
Operador Equações Matriz [T ]αα
Projeção sobre
o eixo Oy
(
"
w1 = 0
w2 = y
Projeção sobre
o plano xOy


w 1 = x
w2 = y


w3 = 0

Projeção sobre
o plano yOz


 w1 = 0
w2 = y


w3 = z

Projeção sobre
o plano xOz


w 1 = x
w2 = 0


w3 = z

0 0
0 1
#

1 0 0


0 1 0
0 0 0

0 0 0


0 1 0
0 0 1

1 0 0


0 0 0
0 0 1
Rotações Consideremos o operador linear T : R2 → R2 que gira cada vetor
v = (x, y) ∈ R2 de um ângulo xado θ (Figura 12). T é chamado de rotação
por θ em R2 .
Figura 12
3.
OPERADORES LINEARES EM
R2
E EM
R3
167
Se escrevermos w = T (v) = (w1 , w2 ), segue da trigonometria que
x = r cos φ,
y = r sen φ
(1)
w2 = r sen(θ + φ),
(2)
e
w1 = r cos(θ + φ),
onde r denota o comprimento de v e φ denota o ângulo entre v e o eixo Ox
positivo no sentido anti-horário. Aplicando identidades trigonométricas em
(2), temos
(
w1 = r cos θ cos φ − r sen θ sen φ
w2 = r sen θ cos φ + r cos θ sen φ.
Substituindo (1) nas expressões acima, obtemos as equações
(
w1 = x cos θ − y sen θ
w2 = x sen θ + y cos θ.
(3)
Assim, se α denota a base canônica de R2 , obtemos
"
#
cos θ − sen θ
[T (v)]α =
[v]α .
sen θ
cos θ
Em geral, uma rotação de vetores em R3 é feita em relação a uma reta
partindo da origem, chamada eixo de rotação . À medida que um vetor gira
em torno do eixo de rotação, ele varre uma porção de um cone (Figura 13).
168
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
O ângulo de rotação , que é medido na base do cone, é descrito no sentido
horário ou anti-horário em relação a um ponto de vista ao longo do eixo de
rotação olhando para a origem. Por exemplo, na Figura 13, o vetor T (v)
resulta da rotação no sentido anti-horário do vetor v em torno do eixo Ox
por um ângulo θ. Assim como em R2 , os ângulos são positivos se gerados
por rotações no sentido anti-horário e negativos se gerados por rotações no
sentido horário.
Figura 13
Na tabela a seguir, apresentamos as rotações em R3 cujos eixos de rotação
são os eixos coordenados.
3.
OPERADORES LINEARES EM
Operador
Rotação anti-horária
em torno do eixo Ox
por um ângulo θ
R2
E EM
169
R3
Equações
Matriz [T ]αα
w1 = x
w = y cos θ − z sen θ
 2

w3 = y sen θ + z cos θ


1
0
0


0 cos θ − sen θ
0 sen θ cos θ



Rotação anti-horária
em torno do eixo Oy
por um ângulo θ


 w1 = x cos θ + z sen θ
w2 = y


w3 = −x sen θ + z cos θ

Rotação anti-horária
em torno do eixo Oz
por um ângulo θ


w1 = x cos θ − y sen θ
w2 = x sen θ + y cos θ


w3 = z


cos θ 0 sen θ


1
0 
 0
− sen θ 0 cos θ

cos θ − sen θ 0


sen θ cos θ 0
0
0
1
Para cada uma das rotações na tabela acima, uma das componentes do
vetor permanece inalterada durante a rotação e a relação entre as duas outras
componentes pode ser deduzida da mesma forma que deduzimos (3).
Sabemos que a multiplicação por escalar de um vetor em R2 e em R3 , dependendo do valor do escalar, produz no vetor uma dilatação, contração ou
inversão. Podemos representar estes efeitos geométricos por meio de operadores lineares. De fato, o operador linear Ta : R2 → R2 , dado por Ta (v) = av ,
em que a ∈ R e v ∈ R2 , dilata v , se a ≥ 1; contrai v , se 0 ≤ a < 1; inverte
o sentido de v , se a < 0. No caso particular de a = −1, o operador Ta é
chamado reexão em torno da origem . O que acabamos de ver vale também
para R3 (Figura 14).
Figura 14
Exemplo 1. Determinemos se T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1 , onde T1 : R2 → R2 é a
projeção ortogonal sobre o eixo Ox e T2 : R2 → R2 é a projeção ortogonal
sobre o eixo Oy .
Como vimos na Seção 2, compor transformações lineares é equivalente a
multiplicar as matrizes que representam estas transformações. Seja α a base
170
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
canônica de R2 . Como
"
1 0
[T1 ]αα =
0 0
#
"
e
#
0
0
[T2 ]αα =
,
0 1
segue que T1 ◦ T2 é dada pelo produto
"
1 0
0 0
#"
# "
#
0 0
0 0
=
0 1
0 0
(4)
e que T2 ◦ T1 é dada pelo produto
"
0 0
0 1
#"
# "
#
1 0
0 0
=
.
0 0
0 0
(5)
De (4) e (5), obtemos que T1 ◦ T2 e T2 ◦ T1 são o operador nulo em R2 .
Portanto, T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1 .
Problemas
3.1* Encontre a matriz na base canônica para a composição de uma rotação
de 90◦ seguida de uma reexão em torno da reta y = x, em R2 .
3.2* Determine a inversa do operador linear em R3 dado por uma reexão
em torno do plano xOy .
3.3 Sejam T : R2 → R2 a reexão em torno do eixo Oy e S : R2 → R2 a
reexão em torno do eixo Ox. Mostre que S ◦ T = T ◦ S .
4.
MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES
171
3.4 Sejam T : R2 → R2 a reexão em torno da reta y = x e S : R2 → R2 a
projeção ortogonal sobre o eixo Oy . Mostre que S ◦ T 6= T ◦ S .
3.5 Mostre que se T : R3 → R3 é uma projeção ortogonal sobre um dos eixos
coordenados, então os vetores T (v) e v − T (v) são ortogonais, para cada v
em R3 .
3.6 Seja T : R3 → R3 a projeção ortogonal sobre o plano xOy. Mostre que
uma reta ortogonal ao plano xOy é levada por T a um mesmo ponto deste
plano.
3.7 Determine a matriz na base canônica de T : R2 → R2 , em que
(a) T dilata os vetores de R2 por 3, em seguida reete estes vetores em torno
da reta y = x e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo Oy ;
1
, em seguida gira estes vetores pelo
2
π
ângulo e depois reete estes vetores em torno do eixo Ox.
4
(b) T contrai os vetores de R2 por
4
Mudança de Base e Matrizes Semelhantes
Um problema comum no estudo de espaços vetoriais de dimensão nita é
conhecer as relações entre as coordenadas de um vetor em diferentes bases.
Como a noção de base é a generalização para espaços vetoriais arbitrários da
noção de sistemas de coordenadas em R2 e R3 , mudar de base é análogo a
mudar de eixos coordenados em R2 ou R3 .
Dado um espaço vetorial V arbitrário de dimensão nita e duas bases α e
β de V , podemos obter uma relação entre as matrizes [v]α e [v]β de um vetor
v em V , usando, para isto, o operador identidade em V .
Com efeito, pela expressão (3) da Seção 1, para todo v ∈ V , temos que
[v]β = [IV ]αβ · [v]α .
(1)
A matriz [IV ]αβ é chamada matriz mudança de base de α para β , pois, pela
igualdade (1), ela nos permite obter as coordenadas de um vetor v em V em
relação à base β uma vez conhecidas suas coordenadas na base α.
172
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
Exemplo 1. Considerando a base canônica α de R2 e a outra base β =
{(1, 1), (1, 2)}, temos que
"
#
a
b
1
1
[IR2 ]αβ =
,
a2 b 2
onde a1 , a2 , b1 , b2 são números reais satisfazendo o sistema de equações


 (1, 0) = a1 (1, 1) + a2 (1, 2)


(0, 1) = b1 (1, 1) + b2 (1, 2).
Resolvendo as equações acima, obtemos a1 = 2, a2 = −1, b1 = −1 e
b2 = 1. Portanto,
"
#
[IR2 ]αβ =
2 −1
.
−1
1
Seja agora v = (x, y) em R2 . Se
" #
x0
[v]β = 0 ,
y
então
" # "
#" #
x0
2 −1 x
=
,
y0
−1
1 y
o que garante que
x0 = 2x − y
e y 0 = −x + y
são as coordenadas de v na base β . Ou seja,
(x, y) = (2x − y)(1, 1) + (−x + y)(1, 2).
A Figura 15 ilustra como a determinação do par (2,3) em R2 depende da
base com a qual estamos trabalhando.
4.
MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES
173
Figura 15
O próximo resultado mostra que uma matriz mudança de base é invertível
e que sua inversa também é uma matriz mudança de base.
Teorema 6.4.1. Sejam α e β duas bases de um espaço de dimensão nita
V . Temos que a matriz [IV ]αβ é invertível e sua inversa é a matriz [IV ]βα . Ou
seja,
([IV ]αβ )−1 = [IV ]βα .
Demonstração Como IV é um isomorsmo e I−1
V = IV , o resultado segue
do Teorema 6.2.4.
Sejam α e β duas bases de um espaço vetorial de dimensão nita V e T
um operador linear em V . Com as matrizes mudança de base podemos obter
uma relação entre as matrizes [T ]αα e [T ]ββ . De fato, como T = IV ◦T ◦ IV ,
segue, da Proposição 6.2.3, que
[T ]αα = [IV ◦T ◦ TV ]αα = [IV ]βα · [T ]ββ · [IV ]αβ ,
ou seja
[T ]αα = [IV ]βα · [T ]ββ · [IV ]αβ .
(2)
No entanto, pelo Teorema 6.4.1, temos que [IV ]βα é a inversa de [IV ]αβ . Assim,
se denotarmos [IV ]αβ por P , a equação (2) pode ser reescrita como
[T ]αα = P −1 [T ]ββ P .
174
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
Com isto, demonstramos o seguinte resultado:
Teorema 6.4.2. Sejam α e β duas bases de um espaço vetorial de dimensão
nita V . Se T é um operador linear em V , então
(3)
[T ]αα = P −1 · [T ]ββ · P,
onde P = [IV ]αβ .
A relação dada na expressão (3) é de tal importância que existe uma terminologia associada a ela. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem.
Dizemos que B é semelhante a A, quando existir uma matriz invertível P tal
que B = P −1 A P . É fácil vericar que se uma matriz B é semelhante a uma
matriz A, então A também é semelhante a B . Assim, dizemos simplesmente
que A e B são semelhantes . Por (3), temos que [T ]αα e [T ]ββ são semelhantes.
Exemplo 2. Para vericar se as matrizes
"
#
5
2
A=
−8 −3
"
e
1 2
B=
0 1
#
são semelhantes, devemos encontrar uma matriz invertível P tal que
P A = BP.
Se tal matriz P existir, ela necessariamente é uma matriz quadrada de ordem
2; digamos
"
#
P =
Assim,
"
x y
z t
x y
.
z t
#"
# "
#"
#
5
2
1 2 x y
=
,
−8 −3
0 1 z t
o que é equivalente ao sistema linear homogêneo


 4x − 8y − 2z = 0
2x − 4y − 2t = 0


4z − 8t = 0,
4.
MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES
175
que admite a solução não trivial (3, 1, 2, 1). Portanto, obtemos a matriz
invertível
"
#
P =
3 1
,
2 1
que satisfaz A = P −1 BP .
Problemas
4.1 Sejam dadas as bases de R2
α = {(1, 1), (0, 2)}, β = {(1, 2), (2, 1)} e γ = {(1, 0), (0, 1)}.
α α γ
(a) Determine IR2 β , IR2 γ , IR2 β .
(b) Se v = (4, −1), encontre [v]β usando uma matriz mudança de base.
4.2
4.3
"
#
−1
2
Se IR2 β =
e β = {(3, 5), (1, 2)}, encontre a base α.
4 −11
β
Determine IR3 α , sabendo que
α

0 1 0
α 

IR3 β = 1 1 0 .
1 1 1

4.4 Encontre três matrizes semelhantes à matriz
"
#
1 1
.
−1 2
4.5 Mostre que não são semelhantes as matrizes
"
#
3
1
−6 −2
"
e
−1
1
#
2
.
0
4.6 Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove que:
(a) At e B t são semelhantes;
(b) Se A e B são invertíveis, então A−1 e B −1 são semelhantes.
176
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
4.7 Mostre que a semelhança de matrizes é uma relação de equivalência, ou
seja: (i) A é semelhante a A; (ii) se A é semelhante a B , então B é semelhante
a A; (iii) se A é semelhante a B e B a C , então A é semelhante a C .
4.8* Seja A = (aij ) uma matriz quadrada de ordem n. Dene-se o traço de
A como
tr A = a11 + · · · + ann .
a) Mostre que tr : M(n, n) → R é um funcional linear.
b) Se A, B ∈ M(n, n), mostre que
tr AB = tr BA.
c) Seja T : V → V um operador linear, onde V é um espaço n-dimensional,
e seja α uma base de V . Dena tr T = tr[T ]αα . Mostre que esta denição
independe da base de V escolhida; ou seja, se β é uma outra base de V , então
tr[T ]αα = tr[T ]ββ . Conclua que assim temos bem denido um funcional linear
tr : L(V, V ) → R, denido por T 7→ tr T .
Bibliograa
[1] H. P. Bueno, Álgebra Linear, um segundo curso , Coleção Textos Universitários, SBM, 2006.
[2] P. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos , Editora Ciência Moderna,
2001.
[3] A. Hefez e M. L. T. Villela, Códigos Corretores de Erros , Coleção Matemática e Aplicações, IMPA, 2008.
[4] A. Hefez e M. L. T. Villela, Números Complexos e Polinômios , Coleção
PROFMAT, SBM, 2012.
[5] V. J. Katz, A History of Mathematics - an Introduction , HarperCollins
College Publishers, 1993.
[6] S. Lang, Introduction to Linear Algebra , 2nd edition, Undergraduate Texts
in Mathematics, Springer, 1986.
[7] E.L. Lima, Álgebra Linear , 3a edição, Coleção Matemática Universitária,
IMPA, 1998.
[8] E.L. Lima, Geometria Analítica e Álgebra Linear , 2a edição, Coleção
Matemática Universitária, IMPA, 2010.
300