5 – Transformações Lineares e Matrizes

Nova School of Business and Economics
Prática Álgebra Linear
5 – Transformações Lineares e
Matrizes
1
Função de
Definição
em
(
)
Aplicação que faz corresponder a cada elemento de um conjunto
objecto, um e um só elemento de um conjunto
(domínio), denominado
(espaço de chegada), denominado
imagem.
( )
: Domínio de ; : Espaço de chegada de
Ex.:
(
)
é uma função de
em
porque a cada vector de
faz corresponder um único vector
de , que corresponde à soma das suas coordenadas.
2
Transformação linear de
Definição
em
(
)
Função cujos domínio e contra-domínio são espaços vectoriais e que é:
;
e
espaços vectoriais
Linear na soma: A imagem da soma de quaisquer dois objectos de
é a soma das
imagens desses objectos.
(
)
( )
( )
Linear na multiplicação por escalares (ou números reais): A imagem do produto de
qualquer objecto de
por qualquer número real é o produto desse número real pela
imagem desse objecto.
(
Ex.:
(
)
)
( )
(
)
é uma transformação linear porque os seus domínio e contradomínio (
e
,
respectivamente) são espaços vectoriais e porque é:
Linear na soma:
(
)
(
)
1
Prática Álgebra Linear
5 – Transformações Lineares e Matrizes
(
)
,(
)
(
)-
(
(
)
)
( )
( )
)
(
)
(
)
(
(
(
)
(
)
)
( )
( )
(
Linear na multiplicação por escalares (ou números reais): :
(
)
, (
( )
(
3
)-
(
)
)
*
( )
)
4
)
)
)
)
(
)
( ( ))
cuja imagem é o vector nulo do seu espaço de chegada.
(
{(
*(
)
̅ +
( )
(
(
Núcleo de uma transformação linear
Conjunto de objectos de
Ex.:
(
)
( )
Definição
( )
(
)
(
(
(
)
)
)
(
̅
}
)
+
*(
)
Imagem de uma transformação linear
Definição
Conjunto de elementos do espaço de chegada de
(
+
( ))
que são imagens de pelo menos um dos
objectos de . Contra-domínio de .
( )
Ex.:
(
( )
2
*
(
)
{(
(
)
( )
)+
)
( (
)
(
)
(
))}
*(
)
+
Prática Álgebra Linear
5 – Transformações Lineares e Matrizes
5
Função composta
Definição
(
após
de duas funções
e
)
Função que aplica cada objecto , pertencente ao domínio de , à função , obtendo uma
imagem, ( ), aplicando-a depois à função , para obter a sua imagem,
(
Ex. :
(
)( )
(
)
)(
6
( ( ))
(
)
)
( (
(
))
)
(
)
(
)
Função inversa de uma função
Definição
( ( )).
(
)
(
)
Função, cujo domínio é o contra-domínio de , e cujo contra-domínio é o domínio de , que
faz corresponder a cada imagem de
( ( ))
(
)( )
( ))
(
)( )
.
/
(
Ex. :
7
(
)
(
)
.
o único objecto que lhe deu origem.
/
(
)(
)
.
/
(
)
(
)(
)
.
/
(
)
Definição
Função bijectiva
Função cujo contra-domínio coincide com o espaço de chegada e em que cada imagem
corresponde a um único objecto.
{
( )
( )
( )
3
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Ex. 1:
(
)
(
)
é bijectiva porque todos os vectores de
Ex. 2:
(
)
(
são imagens de um e apenas um vector de
)
não é bijectiva porque, por exemplo, (
Ex. 3:
(
)
(
) é imagem de (
(
) e de (
).
)
não é bijectiva porque, por exemplo, (
8
.
) não é imagem de nenhum vector de
.
Matriz de transformação de uma transformação linear
Definição
)
) que permite obter a imagem de qualquer objecto de
Matriz (
através da
multiplicação à esquerda por esse objecto.
( )
Ex. :
(
)
(
0
9
)
1
(
)
(
)
0
1[ ]
0
1
Matriz de transformação de uma transformação linear e vectores
Facto
da base canónica
A matriz de transformação de uma transformação linear
imagens segundo
, ( )
Ex. :
(
dos vectores ordenados da base canónica de
*(
)(
( )
( )-
)
(
)
)(
)
(
{ (
)
(
)
(
)
(
)
0
)+
*(
)
(
4
tem como colunas as
1
)(
.
*
+
)(
)+
Prática Álgebra Linear
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10
Transformação linear composta e matrizes de transformação
Facto
A matriz de transformação da transformação linear composta
transformações lineares
de
e de
e
de duas
, se existir, é o produto entre as matrizes de transformação
, por esta ordem.
Ex. :
(
)
(
)
[
11
1
)
0
]
0
(
(
) (
1
0
0
1[
)(
)
(
)
1
]
Invertibilidade de uma transformação linear
Facto
Seja
uma transformação linear. As seguintes afirmações são equivalentes:
é invertível
é bijectiva
( )
*̅ +
( )
|
|
Ex. 1:
(
(
)
(
)
( )
(
*(
[
)
)
(
]
)
(
)
)+
( )
|
|
Ex. 2:
(
(
( )
)
)
*(
(
(
)
)
)
(
[
]
)
+
*(
)+
5
Prática Álgebra Linear
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( )
|
*(
)(
)+
|
12
Matriz de mudança de base da base
Definição
vectorial
(
para a base
)
Matriz que permite obter as coordenadas de qualquer vector na base
multiplicação à esquerda pelas coordenadas desse vector na base
*
(
+
*(
)
)(
(
)(
)
)+
(
)
*(
)(
(
)
[
[
]
[
*
+
)(
]
)+
[ ]
]
A matriz de mudança da base
para a base
as matrizes (
ordem, sendo
de
é o produto entre
*
+
,
6
*
-
*(
)(
]
[
+
,
)(
-
)+
]
e , por esta
) cujas colunas são os vectores da base
respectivamente.
[
de .
Matriz de mudança de base e vectores de bases
Facto
Ex.:
através da
)
Ex.:
13
de
)
(
(
de um espaço
*(
)(
)(
)+
e
,
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[
[
14
]
]
Matrizes de mudança de base e base canónica
Facto
A matriz de mudança de base da base
para a base canónica de
mudança de base da base canónica para a base
de
é
, sendo
é
e a matriz de
a matriz (
)
cujas colunas são os vectores ordenados da base .
*(
)(
,
)(
)+
*
+
-
*(
Ex.:
)(
[
)(
)+
*(
)(
)(
)+
]
[
]
[
15
]
Matriz de transformação, da base
Definição
uma transformação linear
(
de
de
(
{ ( )
*
, de
da imagem de qualquer objecto de
através da multiplicação à esquerda pelas coordenadas na base
+
de
)
Matriz que permite obter as coordenadas na base
*
para a base
de
desse objecto.
+
)
(
)
7
Prática Álgebra Linear
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Ex. :
(
)
(
*(
)(
)
)(
[
(
]
)
(
)+
(
)
[
)
(
(
)
[
][ ]
[
][
16
Facto
*(
[ ]
]
[ ]
)(
]
)
(
)(
[
(
)
[
]
[
]
)
(
)
(
][ ]
[
)+
)
[ ]
][
]
[ ]
Matrizes de transformação de uma transformação linear e vectores
de bases
A matriz de transformação, da base
linear
para a base
*
(
de
*
)
(
(
)
)
)
(
)
]
)
*(
)(
das imagens dos vectores
+
(
[
(
, de uma transformação
.
+
( )
(
)
)(
)+
*(
)(
)(
)+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
8
de
tem como colunas as coordenadas na base
ordenados da base
Ex. :
de
Prática Álgebra Linear
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[
17
]
]
[
]
[
Cálculo da matriz de transformação, da base
Fórmula
de
[
]
de
para a base
, de uma transformação linear
*
+
*
Ex. :
+
(
)
*(
*(
(
)(
,
-
)+
)+
0
1
[
]
0
18
-
)
)(
)(
,
0
1
0
1
1
Cálculo da matriz de transformação, na base
Fórmula
, de uma
transformação linear
*
Ex. :
+
(
*(
[
)
,
-
(
)(
)
)(
]
)+
[
[
]
[
]
]
9