o vetor de laplace-runge-lenz no problema de kepler

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CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 04 (01 e 02):
115-159, 2006
O VETOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ NO PROBLEMA DE KEPLER∗
Carlos Farina
Universidade Federal do Rio de Janeiro
I.
INTRODUÇÃO
Quando mencionamos o problema de Kepler, estamos nos referindo ao problema da
gravitação universal, ou melhor, ao movimento de uma partı́cula sob a ação de uma força
central cujo módulo varia com o inverso do quadrado da distância da partı́cula ao centro de
força. A sua história começa na antiguidade, uma vez que explicar o cosmos sempre foi um
desejo dos filósofos antigos e, mais recentemente, dos fı́sicos, matemáticos e astrônomos. Tratase, hoje em dia, de um dos mais belos problemas de mecânica elementar. No entanto, na época
de Isaac Newton esse problema desafiou as mentes mais brilhantes a descobrirem qual era a
lei de força que levava às órbitas elı́pticas dos planetas observadas tão cuidadosamente por
Kepler. Neste minicurso, abordaremos aspectos básicos do problema de Kepler, dando atenção
particular ao fato de serem fechadas todas as órbitas limitadas permitidas por esse tipo de força
e analisaremos o que ocorre quando são consideradas pequenas perturbações a esse problema.
A seguir, descrevemos sucintamente de que forma está organizado esse minicurso. Inicialmente, utilizando o conceito de energia potencial efetiva, discutimos qualitativamente as órbitas
de partı́culas sujeitas a uma força resultante central. Mostramos, também, como podemos obter
a equação polar da órbita a partir da Lei da Conservação da Energia Mecânica. Em seguida,
demonstramos que os únicos potenciais centrais para os quais todas as órbitas limitadas são
fechadas são o de Kepler e o de um oscilador harmônico isotrópico, resultado conhecido como
Teorema de Bertrand. Introduzimos no problema de Kepler o chamado vetor de LaplaceRunge-Lenz. Contamos brevemente a sua história, mostramos que se trata de uma constante
de movimento que aponta na direção do eixo de simetria da órbita e que seu módulo está
diretamente relacionado à excentricidade da órbita. Passamos, então, a discutir o problema
∗
Este trabalho é oriundo do minicurso apresentado pelo autor na IX Semana de Fı́sica da UEFS ocorrida no
perı́odo de 18 a 22 de setembro de 2006.
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de Kepler perturbado e mostramos como podemos utilizar o vetor de Laplace-Runge-Lenz na
determinação da velocidade de precessão da órbita. A fim de ilustrar o método, calculamos explicitamente algumas velocidades de precessão considerando tanto perturbações centrais como
não-centrais. A última seção está dedicada aos comentários finais. Nela, destacamos os pontos
mais importantes do material apresentado nesse minicurso e tecemos alguns comentários sobre
a utilização do vetor de Laplace-Runge-Lenz na obtenção do espectro de energia do átomo de
Hidrogênio, mas isso já no contexto da Mecânica Quântica.
II.
FORÇAS CENTRAIS
Nesta seção, analisaremos os movimentos possı́veis de uma partı́cula de massa m sob a
ação de uma classe especial de forças, chamadas forças centrais. Definimos força central como
aquela cuja reta suporte passa sempre por um certo ponto C, denominado centro de força, e
tem seu módulo dependente apenas da distância entre o ponto C e o ponto no qual a partı́cula
se encontra. Conseqüentemente, sendo r o vetor-posição da partı́cula num instante genérico e
rC o vetor-posição do centro de força C, uma força central F é sempre paralela ao vetor r − rC
e seu módulo é uma função apenas de |r − rC |. Escolhendo, por conveniência, a origem no
centro de força, escrevemos uma força central na forma
F = F(r)r̂ ,
(1)
onde, como de costume, r̂ significa vetor unitário na direção radial e apontando para fora da
origem. Observe que há um pequeno abuso de linguagem ao adotarmos o nome “força central”
para qualquer força com as caracterı́sticas anteriores. Isto porque a palavra central sugere
apenas que a direção da força seja a da reta que liga a posição da partı́cula e o centro de força
(ponto C), mas não que seu módulo dependa apenas da distância da partı́cula ao ponto C.
No entanto, manteremos essa nomenclatura, de modo que um problema no qual uma partı́cula
está sob a ação apenas de uma força central é um problema que exibe simetria esférica (ou
seja, se um dado movimento da partı́cula for possı́vel, qualquer outro obtido a partir desse por
uma rotação em torno do centro de força também será um movimento possı́vel).
Devido às suas particularidades, forças centrais têm algumas propriedades muito importantes que simplificam bastante o problema de encontrar os movimentos possı́veis de uma
partı́cula sob a ação de uma força resultante central, como veremos a seguir.
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Em primeiro lugar, o torque de uma força central relativo ao centro de força, escolhido como
origem, é nulo, como fica evidente a partir da definição de torque:
τ = r × F(r)r̂ = 0 ,
(2)
pois é nulo o produto vetorial de dois vetores paralelos. Uma vez que
τ =
d`
,
dt
(3)
onde, por definição, o momento angular da partı́cula relativo à origem é dado por
` = r × mv ,
(4)
concluı́mos que
τ =0
=⇒
` = cte .
(5)
Ou seja, torque nulo significa que o momento angular da partı́cula relativo ao centro de força é
uma constante de movimento. Esse resultado nos permite tirar algums conclusões importantes.
Inicialmente, observe que a constância da direção de ` nos mostra que o movimento da partı́cula
ocorre sempre num mesmo plano. O fato de que o sentido de ` permanece o mesmo garante que
o sentido de giro da partı́cula em torno do centro de força é sempre o mesmo. A constância do
módulo de ` também nos traz uma informação extremamente valiosa e de bonita interpretação,
a ser mostrada logo adiante.
Como o movimento de uma partı́cula sob a ação de uma força resultante central é plano,
podemos utilizar apenas duas coordenadas para descrevê-lo. Não é difı́cil perceber que as coordenadas polares são bem mais convenientes do que as cartesianas, devido à simetria do problema
sob rotações. Por conveniência futura, escrevemos a seguir o vetor-posição, a velocidade e a
aceleração da partı́cula em termos dos vetores unitários da base polar, r̂ e ϕ̂:
r = rr̂
(6)
v = ṙr̂ + r ϕ̇ϕ̂
(7)
a = (r̈ − r ϕ̇2 )r̂ + (2ṙ ϕ̇ + r ϕ̈)ϕ̂ .
(8)
Um ponto genérico P da trajetória da partı́cula fica univocamente determinado pelo par de
coordenadas (r, ϕ), como ilustra a Figura 1. Nela, estão desenhados, também, os vetores
unitários da base polar, r̂ e ϕ̂, o vetor-posição da partı́cula quando ela se encontra no ponto P
e a força central (considerada no desenho como atrativa).
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Trajetória da partı́cula
ϕ̂
r̂
Centro de força F (r) r̂
r
P (r, ϕ)
ϕ
Eixo Polar
O
X
Fig. 1: Trajetória genérica da partı́cula sob a ação de uma força central. A figura mostra o seu vetorposição, os unitários da base polar, r̂ e ϕ̂, e a força central que atua sobre a partı́cula, escolhida no
desenho como atrativa (por clareza, a seta representativa da força foi desenhada um pouco deslocada).
A partir das equações (6) e (7), escrevemos o momento angular da partı́cula relativo à origem
como
` = rr̂ × m(ṙr̂ + r ϕ̇ϕ̂) = mr 2 ϕ̇ ẑ ,
(9)
onde definimos ẑ = r̂ × ϕ̂. Sem perda alguma de generalidade, podemos considerar ϕ̇ > 0.
Com isso, o módulo do momento angular da partı́cula relativo à origem é dado, em coordenadas
polares, por
` := mr 2 ϕ̇
=⇒
ϕ̇ =
`
.
mr 2
(10)
Como ` é uma constante de movimento, ` = mr 2 ϕ̇ também se conserva ao longo de cada
movimento possı́vel da partı́cula. Como veremos, esse resultado é bastante útil, pois nos permite
eliminar ϕ̇ das equações diferenciais a serem integradas deixando-as escritas apenas em termos
da função-movimento radial r(t) (e suas derivadas temporais). No entanto, por ora, apenas
enfatizamos o fato de que ϕ̇ varia com o inverso do quadrado da distância da partı́cula ao
centro de força.
Obs: ao longo de todo o texto suporemos que ` 6= 0, de modo que ϕ̇ 6= 0. No caso em que ` = 0,
os únicos movimentos possı́veis são retilı́neos e cujas retas suportes passam, necessariamente,
pelo centro de força.
A constância de ` tem uma interpretação geométrica simples. A Figura 2 mostra as posições
da partı́cula em dois instantes muito próximos, a saber, t e t + ε.
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dA
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t+ε
t
O
Eixo Polar
X
Fig. 2: Área infinitesimal dA varrida pelo vetor-posição da partı́cula entre os instantes t e t + ε.
Uma rápida inspeção nessa figura nos mostra que a área infinitesimal dA varrida pelo raio vetor da partı́cula no intervalo de tempo infinitesimal de duração ε é dada por (área do “triângulo”
hachurado da figura):
1
dA = r 2 dϕ .
2
(11)
Conseqüentemente, a taxa temporal com que o raio vetor da partı́cula varre uma área no plano
da órbita, denominada velocidade areolar, está diretamente relacionada ao módulo do momento
angular da partı́cula pela relação
dA
1
`
= r 2 ϕ̇ =
,
dt
2
2m
(12)
onde usamos a equação (10). Como ` é uma constante de movimento, vemos que o raio vetor
da partı́cula varre áreas iguais em tempos iguais, resultado conhecido como Lei das Áreas
(Segunda Lei de Kepler). A Figura 3 ilustra esse resultado. Note que, num mesmo intervalo
de tempo ∆t, o ângulo varrido pelo raio vetor da partı́cula quando ela está longe da origem,
∆ϕ2 , é menor do que o ângulo varrido quando ela está perto da origem, ∆ϕ1 , para que a área
varrida seja a mesma.
Além de possuir torque nulo relativo ao centro de força, há uma segunda propriedade de
uma força central muito importante, a saber: toda força central é conservativa (a recı́proca não
é verdadeira, ou seja, nem toda força conservativa é central). De fato, não é difı́cil mostrar que
o trabalho realizado por qualquer força central entre dois pontos A e B quaisquer não depende
do caminho entre A e B utilizado no cálculo, mas apenas dos pontos A e B e, obviamente,
da força central em consideração. Esse fato nos permite definir uma função escalar, chamada
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∆ϕ2
t2 + ∆t
t2
dA
∆ϕ1
t1 + ∆t
t1
Eixo Polar X
O
Fig. 3: Como a área varrida entre t1 e t1 + ∆t é a mesma que a varrida entre t2 e t2 + ∆t, o ângulo ∆ϕ1
é maior do que o ângulo ∆ϕ2 , pois em t2 a partı́cula está mais afastada da origem.
energia potencial associada à essa força conservativa, pela expressão
U (B) − U (A) = −
Z
B
F · dr = −
A
Z
rB
rA
F(r)dr .
(13)
Note que, dada uma força conservativa, a diferença de energia potencial fica univocamente
determinada, mas não o valor da energia potencial em um ponto. Para que tenhamos U (P )
totalmente especificada, devemos escolher um ponto padrão, P0 , e arbitrar um valor para U (P0 ).
Mas o que importa são variações de U e não os valores de U .
A versão diferencial da equação anterior pode ser obtida facilmente. Lembrando que U (B)−
RB
U (A) = A dU , a comparação com a última equação, nos permite fazer a seguinte identificação:
dU = −F·dr = −F(r)dr. Com isso, vemos que F(r) = −dU/dr e a relação entre a força central
F e a energia potencial associada é, simplesmente,
F=−
dU (r)
r̂ .
dr
(14)
Para uma força não-central, mas ainda conservativa, pode-se mostrar que, dada a energia
potencial, a força conservativa correspondente é obtida pela expressão
F = −∇U .
(15)
No caso particular de uma força central, U é uma função apenas de r, de modo que ∇U =
(dU/dr)r̂ e recaı́mos na equação (14).
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Do teorema do trabalho e energia cinética e da definição de energia potencial, podemos
afirmar que quando só realizarem trabalho forças conservativas, a soma da energia cinética com
a potencial total, denominada energia mecânica da partı́cula, será uma constante de movimento.
Ou seja, E = (1/2)mv2 +U será uma constante ao longo de um movimento possı́vel da partı́cula.
Em geral, para diferentes movimentos da partı́cula, associados a diferentes condições iniciais,
o valor de E é diferente.
No caso em questão, há apenas a energia potencial U (r) associada à força central total que
atua na partı́cula. Utilizando a equação (7) temos v2 = ṙ 2 + r 2 ϕ̇2 , de modo que a energia
mecânica da partı́cula pode ser escrita na forma
E=
1 2 1 2 2
mṙ + mr ϕ̇ + U (r)
2
2
(16)
Cada vez que obtemos uma constante de movimento independente das constantes já estabelecidas estamos dando um passo a mais na solução do problema. Como veremos mais adiante,
a equação anterior e a conservação do momento angular, nos permitirão obter a equação polar
da órbita da partı́cula, resultado que estará presente em grande parte de nossa discussão ao
longo desse minicurso.
A.
Energia potencial efetiva
Iniciaremos esta subseção fazendo uma discussão qualitativa das órbitas possı́veis de
uma partı́cula que está sob a ação unicamente de uma força central. Utilizando de uma
forma apropriada a conservação da energia mecânica veremos, entre outras coisas, em que
circunstâncias e para que valores da energia mecânica a órbita da partı́cula é limitada ou ilimitada e em que situações as órbitas circulares (quando existirem) são estáveis. Em seguida,
mostraremos como se pode obter a equação polar da órbita da partı́cula a partir das conservações da energia mecânica e do momento angular. Ilustraremos o método no problema de
Kepler.
Devido à simetria esférica do problema, que acarreta a conservação do momento angular,
o movimento radial da partı́cula poderá ser descrito qualitativamente de um modo bastante
análogo ao modo como discutimos movimentos unidimensionais de uma partı́cula sujeita a uma
força resultante conservativa Fx = −dU (x)/dx. Nesse caso, conhecida a energia potencial U (x),
e tendo em mente a relação anterior entre Fx e U , uma discussão qualitativa dos movimentos
possı́veis da partı́cula pode ser feita simplesmente escrevendo (1/2)mẋ2 = E − U (x). Como
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a energia cinética, por definição, só pode assumir valores positivos ou nulo, vemos que, dada
uma energia mecânica, a partı́cula só pode se movimentar nos intervalos do eixo OX tais que
a condição E ≥ U (x) seja satisfeita. Nos pontos em que E = U (x), a energia cinética é nula
e, portanto, também é nula a velocidade da partı́cula. Esses pontos são chamados pontos de
retorno, desde que Fx 6= 0. O nome é bastante sugestivo, pois a partı́cula inverte o sentido de
seu movimento justamente quando atinge um ponto de retorno.
No caso de movimentos planos sob a ação de uma força central, o movimento geral não
é unidimensional. No entanto, podemos fazer uma análise para o movimento radial em tudo
análoga à descrita anteriormente para movimentos unidimensionais. Com esse objetivo em
mente, reescrevemos a equação (16) numa forma conveniente, isolando o termo da energia
cinética que envolve a componente radial da velocidade, a saber,
1 2 2
1 2
mṙ = E −
mr ϕ̇ + U (r) .
2
2
(17)
Utilizando a equação (10), eliminamos ϕ̇ da expressão anterior,
1 2
mṙ = E − Uef (r) ,
2
(18)
onde definimos, por conveniência, a chamada energia potencial efetiva Uef como
Uef (r) := U (r) +
`2
.
2mr 2
(19)
É justamtne Uef (r), e não U (r), que desempenha para o movimento radial da partı́cula um
papel análogo ao desempenhado por U (x) em movimentos unidimensionais. Analogamente, a
partir da equação (18) não é difı́cil mostrar que o movimento radial é descrito pela equação
diferencial
mr̈ = Fef (r) ,
(20)
onde definimos a chamada força efetiva,
Fef (r) := −
dUef (r)
`2
= F(r) +
.
dr
mr 3
(21)
Ou seja, fazendo novamente uma analogia com o movimento unidimensional, vemos que é
−dUef (r)/dr, e não −dU (r)/dr, que desempenha o papel da força no movimento radial.
Obs: pode-se mostrar que se analisarmos o movimento de um referencial não-inercial, com
origem também no centro de força, mas girante em relação ao inercial com uma velocidade
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angular Ω(t) = ϕ̇(t) ẑ, a resultante das forças sobre a partı́cula incluindo todas as forças de
inércia é igual a Fef (r)r̂. O termo (`2 /mr 3 ) r̂ corresponde ao termo centrı́fugo (os termos de
Coriolis e Euler se cancelam).
Podemos obter algumas informações sobre o movimento da partı́cula a partir das equações
anteriores antes mesmo de tentarmos integrá-las. O termo `2 /mr 3 na equação anterior tem o
efeito de uma força centrı́fuga no movimento radial da partı́cula. A esse termo corresponde
na energia potencial efetiva, equação (19), o termo `2 /2mr 2 , chamado barreira centrı́fuga.
Dizemos que a barreira centrı́fuga se opõe à aproximação da partı́cula ao centro de força. Essa
oposição desaparece com ` = 0, mas para ` 6= 0 ela impede a partı́cula de passar pelo centro (a
menos, é claro, que U(r) na equação (19) tenha um termo que vença a ação da barreira). Para
uma dada energia mecânica E, o movimento da partı́cula se processa somente a distâncias do
centro que satisfazem à condição E ≥ Uef (r). Nos pontos em que Uef (r) = E a componente
radial da velocidade da partı́cula é nula. Por um pequeno abuso de linguagem, tais pontos
são também chamados pontos de retorno pois, neles, o movimento radial da partı́cula inverte
o sentido. Mas lembre-se de que, para ` 6= 0, a velocidade da partı́cula não é nula nos pontos
de retorno, pois ϕ̇ 6= 0, ou seja, a partı́cula continua orbitando em torno do centro de força.
Para fixarmos as idéias, consideremos uma energia potencial efetiva genérica como a que
aparece na Figura 4. Deliberadamente, escolhemos uma energia potencial efetiva cujo gráfico
apresenta um poço de potencial e cujas órbitas podem ser limitadas ou ilimitadas, dependendo
do valor da energia mecânica da partı́cula (no caso do problema de Kepler, a energia potencial
efetiva tem o mesmo aspecto da mostrada na Figura 4). Nessa figura estão marcadas as energias
mecânicas E0 , E1 e E2 .
No caso em que a energia mecânica da partı́cula vale E1 , a condição E ≥ Uef (r) nos mostra
que seus movimentos possı́veis devem ocorrer entre uma distância mı́nima e uma máxima do
centro de força O, que denotamos por rP e rA , respectivamente. Um ponto da trajetória de
distância mı́nima é chamado pericentro e um de distância máxima, apocentro. A velocidade
angular máxima ocorre no pericentro e a mı́nima, no apocentro. O mı́nimo da energia potencial
efetiva no poço ocorre à distância que denotamos por r0 , na qual a partı́cula tem velocidade
radial máxima (uma vez que E − Uef (r) é máxima em r0 ).
Nos casos em que a energia mecânica da partı́cula é positiva, como o valor E2 mostrado
na Figura 4, só há um ponto de retorno, o ponto r2 da figura. A condição E ≥ Uef (r) nos
permite concluir que o movimento da partı́cula é ilimitado e que a sua distância ao centro de
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Uef (r)
E2
rP r0
rA
r2
r
E1
E0
Fig. 4: Energia potencial efetiva que permite tanto órbitas limitadas quanto ilimitadas.
força nunca fica inferior ao valor r2 .
No caso em que a energia mecânica da partı́cula vale E0 , isto é, tem um valor igual ao mı́nimo
da energia potencial efetiva, E0 = Uef (r0 ), vemos que r = r0 durante todo o movimento da
partı́cula pois, do contrário, a condição E ≥ Uef (r) seria violada. Ou seja, a partı́cula se
move em uma trajetória circular de raio r0 , com velocidade de módulo `/mr0 . No exemplo
em consideração, podemos afirmar que para E0 ≤ E < 0 as órbitas são limitadas, enquanto
para E ≥ 0 elas são ilimitadas. A Figura 5 ilustra um trecho de uma órbita limitada no qual a
energia mecânica da partı́cula vale E1 . Observe que a partı́cula nunca se aproxima do centro
de força mais do que rP e nunca se afasta mais do que rA . É oportuno ressaltar que o fato de
uma órbita ser limitada não significa, necessariamente, que ela seja fechada.
A condição de movimento circular pode, então, ser escrita na forma:
Uef0 (r0 ) = 0
=⇒
U 0 (r0 ) =
`2
.
mr03
(22)
Por conveniência futura, escrevemos abaixo uma expressão para Uef00 (r0 ) em termos de U 0 (r0 )
e U 00 (r0 ), a saber,
Uef00 (r0 ) =
3 0
U (r0 ) + U 00 (r0 ) .
r0
(23)
Se a energia da partı́cula for ligeiramente superior a Uef (r0 ), ela se moverá com pequenas
00 (r ) 6= 0 podemos considerar o poço na energia
oscilações radiais em torno de r = r0 . Se Uef
0
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O Vetor de ...
rP
rA
Fig. 5: Órbita limitada, mas não necessariamente fechada. A partı́cula se movimenta mantendo sempre
uma distância finita ao centro de força e de tal forma que rP ≤ r ≤ rA .
potencial efetiva na região do movimento como parabólico. Conseqüentemente, as oscilações
radiais serão harmônicas de perı́odo igual a
Tr =
2π
,
ωr
(24)
onde a freqüência angular das (pequenas) oscilações radiais é dada por
s
1 d2 Uef (r) ωr :=
.
m dr 2 r=r0
(25)
Para valores da energia mecânica que não estejam próximos ao valor Uef (r0 ), as oscilações
radiais não serão, em geral, harmônicas. Ainda assim, podemos, em princı́pio, obter o movimento radial da partı́cula, ou seja, obter r como função do tempo. A partir da equação (18)
podemos escrever, diretamente,
Z
r
ri
dr 0
p
=±
E − Uef (r 0 )
r
2
t,
m
(26)
onde ri é a distância entre a partı́cula e o centro de força no instante inicial ti = 0. Dessa
equação obtemos uma relação entre os instantes de tempo e as respectivas distâncias da
partı́cula à origem. Em princı́pio, esse resultado pode ser manipulado para nos fornecer a
função que dá a distância à origem em função do tempo, r(t). De posse dessa função, podemos
utilizar a equação (12) a fim de obter a relação entre o ângulo polar varrido pela partı́cula e o
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tempo:
ϕ(t) = ϕi +
Z
t
0
`/m
dt0 ,
[r(t0 )]2
(27)
onde ϕi é o ângulo polar no instante ti = 0. Desse modo, a solução completa do problema fica
reduzida às duas quadraturas (26) e (27).
Como a equação (26) nos dá o intervalo de tempo transcorrido para que a partı́cula se mova
radialmente desde ri até um valor genérico r, desde que ela não mude o sentido de seu movimento radial, essa equação nos permite calcular o perı́odo das oscilações radiais para qualquer
valor de E (lembre-se de que a fórmula (25) só é válida para pequenas oscilações radiais). Se
os valores da energia potencial efetiva e da energia mecânica da partı́cula restringirem o seu
movimento de tal modo que r varie de um valor mı́nimo, rP , a um máximo, rA , então r varia
periodicamente com o tempo e possui um perı́odo τr dado por
Z
√
τr = 2m
rA
p
rP
dr 0
.
E − Uef (r 0 )
(28)
Um movimento radial periódico não significa forçosamente que o movimento da partı́cula
seja periódico. Para que o movimento da partı́cula seja periódico é necessário que a razão entre
o perı́odo de revolução τϕ e o perı́odo de oscilação radial τr seja um número racional; nesse
caso a trajetória da partı́cula será uma curva fechada. Se, além disso, a razão τϕ /τr for um
número inteiro positivo, a trajetória da partı́cula será uma curva fechada simples; nesse caso, a
área do interior da trajetória será igual à área varrida pelo vetor-posição da partı́cula durante
um perı́odo de revolução que, em virtude da conservação de `, é dada por `τϕ /2m. Teremos,
então, a seguinte relação entre a área da órbita Aorb e o perı́odo de revolução:
Aorb =
`
τϕ .
2m
(29)
Em contrapartida, se o movimento da partı́cula for ilimitado, a órbita se estenderá a
distâncias infinitas do centro, podendo ou não dar uma ou mais revoluções quando r → ∞,
dependendo da taxa de variação de ϕ em relação a r.
Em princı́pio, as equações (26) e (27) nos fornecem, juntamente com as condições iniciais, a
solução completa do problema. No entanto, para muitos propósitos, não estamos interessados
na dependência temporal de r e ϕ, mas sim na relação entre essas coordenadas durante o
movimento da partı́cula. Em outras palavras, muitas vezes necessitamos apenas da equação
polar de sua trajetória.
126
O Vetor de ...
115-159, 2006
A fim de relacionar diretamente r e ϕ, utilizamos a conservação do momento angular da
partı́cula para eliminar ϕ̇ das expressões anteriores e obter uma equação diferencial para r como
função de ϕ. Com esse objetivo em mente, observe que
dϕ dr
` dr
dr
=
=
,
dt
dt dϕ
mr 2 dϕ
(30)
onde usamos a equação (10). Substituindo esse resultado em (18), eliminamos o tempo dessa
equação e a reescrevemos na forma
`4
2mr 4
dr
dϕ
2
+ Uef (r) = E .
(31)
Embora essa equação diferencial seja não-linear, é de primeira ordem, o que nos permite calcular
ϕ em função de r por uma simples quadratura,
Z
ϕ − ϕi =
r
ri
r
02
p
` dr 0
.
2m[E − Uef (r 0 )]
(32)
Problema de Kepler
A tı́tulo de ilustração da fórmula anterior, e também por conveniência futura, suponhamos que U (r) seja a energia potencial gravitacional, isto é, U (r) = −k/r, com
k = GM m, sendo G a constante da gravitação universal, m a massa da Terra e M a massa
do Sol. Para nossos propósitos, podemos considerar o Sol fixo na origem do sistema de eixos
escolhido. Isso significa que, devido ao fato de a massa do Sol ser muito maior do que a da
Terra, estamos desprezando, numa primeira aproximação, o movimento do Sol sob a ação da
força exercida pela Terra.
Obs: para levarmos em conta o movimento do Sol, basta trabalhar com o conceito de massa
reduzida do sistema. No entanto, não faremos isso aqui, pois não é relevante em nossa discussão.
Usando na equação anterior a energia potencial gravitacional e, em seguida, fazendo a
transformação de variável r 0 = 1/u0 , obtemos
ϕ − ϕ0 = −
= −
Z
u
Zu0u
u0
` du 0
p
2mE + 2mku 0 − `2 u 0 2
` du 0
q
mkε 2
2
`
127
− u0 −
mk 2
2
`
,
(33)
Carlos Farina
115-159, 2006
onde, na última passagem, apenas rearrumamos convenientemente os termos dentro da raiz
quadrada e definimos o parâmetro
ε :=
r
1+
2E`2
,
mk2
(34)
cuja interpretação ficará evidente mais adiante. O modo como escrevemos a equação (33) nos
sugere a seguinte transformação de variável de integração:
u0 −
mk
mkε
= 2 cosα 0
`2
`
α 0 = cos−1
=⇒
`2
mkε
u0 −
mk
`2
Utilizando essa transformação de variável em (33), obtemos
Z α
Z α
−(mkε/`2 ) senα 0 α 0
ϕ − ϕi = −
dα0 = α − αi ,
1/2 =
αi
α
i
(mkε/`2 ) 1 − cosα 0
.
(35)
(36)
ou seja,
ϕ + αi − ϕi = α = cos
−1
`2
mkε
mk
u− 2
`
.
(37)
Lembrando que u = 1/r, a equação anterior nos permite escrever
1 mk
mkε
− 2 = 2 cos(ϕ + αi − ϕi ) .
r
`
`
(38)
Sem perda de generalidade, podemos fazer a escolha α0 − ϕ0 = 0. Isso corresponde a escolher
o eixo polar como o eixo de simetria da órbita. Temos, então,
r(ϕ) =
`2 /mk
.
1 + ε cosϕ
(39)
Pode-se mostrar que essa é a equação polar de uma cônica de excentricidade ε com um dos
focos localizados na origem do eixo polar. Da definição (34), vemos que ε ≥ 0. No caso em que
ε = 0, temos uma órbita circular de raio r0 = `2 /mk. Para valores de ε tais que 0 < ε < 1,
vemos que a órbita é limitada, pois o denominador em (39) nunca se anula, e fechada, uma
vez que cos(ϕ + 2π) = cosϕ, para qualquer ϕ. Nesse caso, temos órbitas elı́pticas. Para ε ≥ 1
passa a existir a possibilidade de o denominador se anular para certos valores de ϕ, de modo
que a distância da partı́cula ao centro de força tende a infinito e a órbita é ilimitada. Pode-se
mostrar que com ε = 1 a órbita é parabólica e com ε > 1 as órbitas da partı́cula são hipérboles
(lembre-se de que estamos considerando sempre ` 6= 0, de modo que estamos excluindo órbitas
retilı́neas). Devido à equação (34), podemos estabelecer as seguintes relações:
ε=0
⇐⇒
E=−
128
mk2
; órbita circular
2`2
O Vetor de ...
115-159, 2006
⇐⇒ −
mk2
< E < 0 ; órbitas elı́pticas
2`2
ε=1
⇐⇒
E = 0;
órbita parabólica
ε>1
⇐⇒
E > 0;
órbitas hiperbólicas .
0<ε<1
B.
(40)
Equação da órbita
Consideremos, agora, um método alternativo para determinar o movimento da partı́cula sob a ação de um força resultante central. Em vez de determinar r(t) e ϕ(t) por meio de
(26) e (27), vamos determinar primeiro a equação polar da trajetória da partı́cula, isto é, a
expressão de r(ϕ) e, então, obter ϕ como função de t. Com o intuito de obtermos a equação
diferencial para r(ϕ) devemos eliminar a segunda derivada temporal presente na equação (20).
Para isso, repetimos, a seguir, a equação (30) e, utilizando novamente a equação (12) obtemos
r̈ em termos de derivadas de r(ϕ) com respeito a ϕ:
ṙ =
dr
` dr
ϕ̇ =
,
dϕ
mr 2 dϕ
(41)
donde obtemos
r̈ =
`2 d2 r
2`2
− 2 5
2
4
2
m r dϕ
m r
dr
dϕ
2
.
(42)
Usando as equações (42), (20) e (21), obtemos a equação diferencial da órbita,
d2 r
2
−
2
dϕ
r
dr
dϕ
2
=r+
mr 4
F(r) .
`2
(43)
É comum fazer a mudança da variável r para a variável
u :=
1
,
r
(44)
pois essa transformação elimina de (43) o termo com a derivada primeira, (dr/dϕ)2 , e simplifica
a equação da órbita. Obtemos, a partir de (43), a equação diferencial da órbita,
d2 u
m
1
+ u = − 2 2F
,
dϕ2
` u
u
(45)
conhecida também como equação de Babinet. As soluções u(ϕ) = 1/r(ϕ) dessa equação dão
as órbitas possı́veis da partı́cula sob a ação da força central em consideração. Por exemplo, no
129
Carlos Farina
115-159, 2006
caso do problema de Kepler, temos F(1/u) = −ku2 , de modo que a equação da órbita se reduz
a
mk
d2 u
+u= 2 .
dϕ2
`
(46)
Não é difı́cil mostrar que a solução da equação anterior, quando escrita em termos do módulo
do momento angular ` e da energia mecância E, assume a forma dada pela equação (39).
É oportuno comentar, nesse momento, que a equação diferencial da órbita (45) também
pode ser resolvida com um pouco mais de esforço para o problema de um oscilador harmônico
isotrópico. Nesse caso, temos F(1/u) = −k/u, de modo que a equação da órbita toma a forma
d2 u
mk
+u= 2 3 .
2
dϕ
` u
(47)
Pode-se mostrar que, como no caso das órbitas limitadas do problema de Kepler, as soluções da
equação anterior também são elipses. No entanto, as trajetórias elı́pticas do oscilador têm o seu
centro geométrico, e não um de seus focos, localizados na origem. Esse resultado é trivialmente
obtido se utilizarmos coordenadas cartesianas. No problema do oscilador, todas as órbitas são
limitadas. Note que, todas as órbitas do oscilador assim como todas as órbitas limitadas do
problema de Kepler são fechadas.
Finalizamos esta seção enfatizando que, de posse de uma órbita possı́vel r(ϕ), podemos
usá-la em (10) para obter
Z
ϕ0
[r(ϕ0 )]2 dϕ0 =
ϕ0
`
t.
m
(48)
que nos fornece, implicitamente, a solução ϕ(t) obtida em (27).
III.
TEOREMA DE BERTRAND
Como já mencionamos, uma órbita limitada não é necessariamente fechada, pois uma
partı́cula pode girar em torno do centro de força mantendo-se sempre entre um raio mı́nimo e
um raio máximo sem nunca retornar ao mesmo ponto com a mesma velocidade (caso isso ocorresse, pelo determinismo newtoniano, o movimento se repetiria a partir desse instante). Surge,
naturalmente, a pergunta: quais são os potenciais centrais para os quais todas as órbitas limitadas são fechadas? A palavra “todas” é fundamental, uma vez que dependendo das condições
iniciais podemos encontrar órbitas fechadas para uma infinidade de potenciais. Por exemplo,
qualquer potencial atrativo admite órbitas circulares como possı́veis soluções.
130
115-159, 2006
O Vetor de ...
A resposta a essa pergunta foi respondida em 1873 por Joseph Louis François Bertrand
(1822-1900) e esse resultado é conhecido com o nome Teorema de Bertrand, que enunciamos
da seguinte forma:
As únicas forças centrais para as quais todas as órbitas limitadas são fechadas são
F = −(k/r 2 )r̂ e F = −krr̂, com k > 0. Ou seja, ou é a força inversamente
proporcional ao quadrado da distância, ou obedece à lei de Hooke.
Em geral, as diversas demonstrações existentes desse teorema, incluindo a do próprio J.
Bertrand, fazem uso de métodos perturbativos de altas ordens, além do fato de que as soluções
para os potenciais de Kepler e do oscilador harmônico isotrópico são conhecidas. A seguir,
apresentaremos uma demonstração desse teorema que não requer métodos perturbativos de
alta ordem. Com um argumento engenhoso, nesse método só precisamos considerar perturbativamente órbitas próximas das circulares. Seguiremos o procedimento apresentado no livro
texto Mecânica Analı́tica, de Nivaldo A. Lemos que, por sua vez, se inspirou no bem conhecido
livro texto Mathematical Methods of Classical Mechanics, de V.I. Arnold.
Inicialmente, vale enfatizar que devemos trabalhar com órbitas limitadas, pois ser limitada
é uma condição necessária, embora não-suficiente, para que uma órbita seja fechada. Consideremos, então, uma órbita genérica descrita por uma partı́cula que ocorre entre um raio mı́nimo,
rmin , e um raio máximo, rmax . Seja ∆ϕ1 o ângulo varrido pelo raio vetor da partı́cula desde o
instante em que ela está num pericentro até o instante em que ela atinge o apocentro seguinte.
Analogamente, seja ∆ϕ2 o ângulo varrido pelo raio vetor da partı́cula desde o instante em que
ela está num apocentro até o instante em que ela atinge o pericentro seguinte, como indica a
Figura 6.
Obs: Como até o momento a força central que atua sobre a partı́cula é genérica, desde que
permita órbitas limitadas, desenhamos na Figura 6 uma órbita que facilitasse a visualização dos
ângulos ∆ϕ1 , ∆ϕ2 e ∆ϕ. Vale observar que na órbita desenhada nessa figura há uma inversão
na concavidade, o que é possı́vel desde que na expressão da força haja um termo repulsivo que
domine a curtas distâncias.
O ângulo subentendido por dois pericentros (ou apocentros) consecutivos é dado, então, por
∆ϕ := ∆ϕ1 + ∆ϕ2 .
131
(49)
Carlos Farina
115-159, 2006
∆ϕ
∆ϕ1
∆ϕ2
Fig. 6: Ângulo ∆ϕ varrido pelo raio vetor da partı́cula entre dois pericentros consecutivos.
Não é difı́cil mostrar que ∆ϕ1 = ∆ϕ2 (veja o problema proposto 4). Desse modo, utilizando a
equação (32), obtemos
∆ϕ = 2
= 2
Z
Z
rmax
rmin
r2
umax
umin
` dr
p
2m[E − Uef (r)]
p
` du
,
2m[E − W (u)]
onde, como de costume, u = 1/r, e definimos a função W por
`2 u2
1
1
=
+U
.
W (u) := Uef
u
2m
u
(50)
(51)
Note, então, que ∆ϕ é o deslocamento angular da partı́cula em torno do centro de força
ocorrido durante uma oscilação radial completa, de rmin até rmax e de volta até rmin . Uma
órbita limitada é fechada se, e somente se, depois de um número inteiro m de oscilações radiais
completas da partı́cula, o seu deslocamento angular é igual a um número inteiro n0 vezes 2π
radianos. Em outras palavras, deve valer a condição
n∆ϕ = n0 2π
=⇒
∆ϕ =
2π
n0
2π =:
,
n
q
(52)
onde q é um número racional positivo. Em todas as demonstrações do Teorema de Bertrand,
a condição anterior (ou alguma outra equivalente a ela) é tomada como ponto de partida.
132
O Vetor de ...
115-159, 2006
Consideremos, agora, uma órbita muito próxima de uma órbita circular. Suponhamos,
então, que a energia mecânica da partı́cula seja ligeiramente superior ao valor da energia potencial efetiva em um mı́nimo local, ou seja, E = E0 + ∆E, onde E0 = Uef (r0 ), sendo r0 um
mı́nimo de Uef . Expandindo W (u) em torno de u = u0 := 1/r0 e mantendo termos somente
até a ordem quadrática em u − u0 , obtemos
1
E − W (u) = E0 + ∆E − W (u0 ) − W 0 (u0 ) − W 00 (u0 )(u − u0 )2 .
2
(53)
A partir da definição de W , dada pela equação (51), pode-se mostrar que
2
` u
1 0 1
0
W (u0 ) =
− 2U
m
u
u u=1/r0
1 `2
3 0
− r0 U (r0 ) = 0 ,
=
r0 m
(54)
resultado que substituı́do na equação (53) nos permite escrever, nessa ordem,
1
E − W (u) = ∆E − W 00 (u0 )(u − u0 )2 .
2
(55)
O valor de W 00 (u0 ) também pode ser facilmente obtido de (51) e é dado por
2
`
2 0 1
1 00 1
00
W (u0 ) =
+ U
+ 4U
m u3
u
u
u u=1/r0
= 3r03 U 0 (r0 ) + r04 U 00 (r0 )
00
= r04 Uef
(r0 ) ,
(56)
onde, na última passagem, usamos a equação (23). Substituindo a equação (55) na expressão
de ∆ϕ escrita em (50), obtemos
∆ϕ = 2`
Z
umax
umin
du
p
2m∆E − mW 00 (u0 )(u − u0 )2
133
,
(57)
Carlos Farina
115-159, 2006
Definindo a2 = 2∆E/W 00 (u0 ), fazendo a transformação de variável u = u0 + a senθ e utilizando a equação (56), reescrevemos a expressão anterior na forma
Z π/2
2`
a cosθ dθ
p
∆ϕ = p
mW 00 (u0 ) −π/2 a2 (1 − sen2 θ)
2π`
q
mUef00 (r0 )
s
U 0 (r0 )
= 2π
,
3U 0 (r0 ) + r0 U 00 (r0 )
=
r02
(58)
onde, na última passagem, também utilizamos a equação (23).
Imagine, agora, que variemos continuamente o módulo do momento angular `. Como `
aparece explicitamente na expressão de Uef (r) (no termo centrı́fugo), o poço de potencial irá
se deslocar e, conseqüentemente, o valor de r0 varia continuamente. No entanto, para que
a órbita seja fechada para quaisquer condições iniciais (na aproximação de órbitas próximas
das circulares) a condição de fechamento escrita em (52) deve continuar sendo satisfeita. Isso
não nos deixa outra escolha a não ser concluir que ∆ϕ dada pela equação anterior deve ser
uma função constante, já que ∆ϕ não pode variar continuamente e ao mesmo tempo ser um
múltiplo racional de 2π. Podemos afirmar, então, que os potenciais para os quais todas as
órbitas limitadas próximas de órbitas circulares são fechadas devem satisfazer à equação:
U 0 (r0 )
1
= ,
0
00
3U (r0 ) + r0 U (r0 )
α
(59)
onde α é uma constante positiva independente de r0 . Tendo em mente a última equação e
√
comparando a condição de fechamento (52) com a equação (58), 1/ α deve ser um número
racional positivo, ou seja, α é o quadrado de um número racional (α = q 2 ). Como na equação
anterior r0 é arbitrário, ela é, de fato, uma equação diferencial para U :
rU 00 (r) + 3U 0 (r) = αU 0 (r) .
(60)
Em princı́pio, as soluções possı́veis para a equação anterior são as seguintes:
(i) para α 6= 2, temos
U (r) = κr β
(61)
onde β = α − 2 > −2, β 6= 0 e κ é uma constante arbitrária não-nula;
(ii) para α = 2, temos
U (r) = κ log(r/b)
134
(62)
115-159, 2006
O Vetor de ...
onde κ é uma constante arbitrária não-nula e b é uma constante arbitrária com dimensão de
comprimento. No entanto, como devemos ter α = q 2 , onde q é um número racional não-nulo,
o último caso fica descartado, pois a equação anterior quando substituı́da em (60) nos fornece
√
√
1/α = 1/ 2 e 2 não é um número racional. Portanto, as energias potenciais admissı́veis são
apenas as seguintes:
U (r) = κr β = κr q
2 −2
; q ∈ Q∗ ,
(63)
onde, dependendo do valor de β, a constante κ deve ser positiva ou negativa. Com efeito, como
essas energias potenciais devem dar origem a forças atrativas (pois se não for esse o caso, nem
sequer órbitas circulares elas admitirão), temos κ > 0 para β > 0 e κ < 0 para −2 < β < 0.
Isso dá origem a duas famı́lias de energias potenciais com caracterı́sticas distintas: na primeira,
caracterizada por β > 0 e κ < 0, todas as órbitas são limitadas. A energia mecânica é sempre
positiva e pode, em princı́pio, assumir valores indefinidamente grandes. Na segunda famı́lia,
caracterizada por −2 < β < 0, nem todas as órbitas possı́veis são limitadas. Para E ≥ 0 as
órbitas são ilimitadas.
Para as energias potenciais admissı́veis escritas acima, usando as equações (58) e (59) e
lembrando que α deve ser um número racional não-nulo q, concluı́mos que o ângulo varrido
pelo raio vetor da partı́cula entre dois apocentros consecutivos é dado por
∆ϕ = √
2π
2π
=
.
q
β +2
(64)
Para continuarmos a eliminar energias potenciais que não satisfazem aos requisitos
necessários para o fechamento de órbitas, a nossa estratégia será a seguinte: voltaremos à
expressão genérica para ∆ϕ, equação (50), e nela substituiremos as energias potenciais admissı́veis, isto é, as leis de potência descritas anteriormente. Mesmo com essa simplificação,
não sabemos resolver essa integral para qualquer valor admissı́vel de β. No entanto, sabemos
que ∆ϕ é uma função constante e que seu valor para um dado β não varia com a energia
mecânica da partı́cula. Desse modo, podemos tomar algum limite no valor de E que simplifique o cálculo da integral em (50). Não é difı́cil perceber que tais limites são E → ∞ para a
primeira famı́lia e E → 0 para a segunda. Com tais simplificações seremos capazes de calcular
∆ϕ e, de posse desse resultado, verificar que valores de β = q 2 − 2 são admissı́veis dentro de
cada famı́lia.
(a) Primeira famı́lia: κ > 0 e β > 0
135
Carlos Farina
115-159, 2006
Nesse caso, no limite em que E → ∞ temos rmin → 0 e rmax → ∞, de modo que umin → 0
e umax → ∞. Fazendo, então, a mudança de variável u =: yumax , a expressão (50) para o
ângulo entre dois apocentros consecutivos ∆ϕ toma a forma
2`
∆ϕ = √
2m
Z
1
ymin
onde definimos
χ(y) := y
2
dy
p
,
χ(1) − χ(y)
`2
k
+
2m (y umax )β+2
(65)
.
(66)
Fazendo E → ∞ e lembrando que, nesse limite, umax → ∞, a integral (65) se reduz a
Z 1
2`
dy
p
∆ϕ = √
2
2m 0
` /2m − `2 y 2 /2m
= 2
Z
1
0
dy
p
1 − y2
= π.
(67)
Comparando o resultado anterior com a equação (64), temos
π=√
2π
β+2
p
=⇒
β+2=2
=⇒
β = 2, .
(68)
Com isso, concluı́mos que, dentro dessa famı́lia, só há um valor permitido para β, a saber,
β = 2 (ou, equivalentemente, q 2 = β + 2, ou seja, q = 2).) Esse caso corresponde ao oscilador
harmônico isotrópico.
(b) Segunda famı́lia: κ < 0 e −2 < β < 0
No caso em que k e β são negativos, é conveniente escrever k = −σ e β = −λ, com σ > 0 e
0 < λ < 2. No limite em que E → 0 os valores extremos de u são dados pelas raı́zes da equação
0=
`2
σ
`2 u2
− λ =
− σuλ ,
2
2mr
r
2m
(69)
ou seja,
umin = 0
e
umax =
2mσ
`2
1/(2−λ)
.
(70)
Utilizando a mesma transformação de variável anterior, a saber, u =: yumax e tomando o limite
E → 0 na equação (50), obtemos
2`
∆ϕ = √
2m
Z
1
0
dy
q
2−λ
−`2 y 2 /2m + σy λ /umax
136
= 2
=
=
Z
1
0
115-159, 2006
O Vetor de ...
dy
p
4
2−λ
Z
yλ − y2
0
1
√
dx
1 − x2
2π
,
2+β
(71)
onde na penúltima passagem fizemos a transformação de variável x = y (2−λ)/2 e, usando o fato
de que λ = −β, escrevemos o resultado final em termos de β. Analogamente ao que fizemos no
caso da primeira famı́lia, devemos comparar esse resultado com a equação (64). Isso nos nos
leva a
2π
2π
√
=
β+2
β+2
=⇒
β = −1 .
(72)
Também dentro dessa famı́lia, vemos que há somente um valor permitido para β, que corresponde ao problema de Kepler. Fica assim demonstrado o Teorema de Bertrand. Na bibliografia,
há uma lista de referências onde outras demonstrações podem ser encontradas.
Finalizamos esta seção interpretando os valores encontrados para ∆ϕ nos problemas do
oscilador harmônico e de Kepler. No primeiro caso, o fato de ∆ϕ = π (q = 2) significa que, sob
a ação desse potencial, a partı́cula executa duas oscilações radiais enquanto dá uma volta em
torno do centro de força. Já no problema de Kepler, temos ∆ϕ = 2π (q = 1), o que significa
que, sob a ação desse potencial, a partı́cula executa apenas uma oscilação radial enquanto dá
uma volta em torno do centro de força (estamos considerando aqui órbitas elı́pticas, já que
no caso de órbitas circulares não há oscilações radiais). O leitor poderia achar estranha essa
diferença, uma vez que em ambos os casos, as órbitas limitadas são elipses (ou cı́rculos). No
entanto, no caso do oscilador, é o centro geométrico da elipse que coincide com o centro de força
(tomado na origem), enquanto no problema de Kepler, um dos focos da elipse é que coincide
com o centro de força (veja o problema proposto 1).
137
Carlos Farina
IV.
115-159, 2006
O VETOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ NO PROBLEMA DE KEPLER
Pode-se mostrar que, num sistema de n graus de liberdade 1 , há 2n constantes de movimento independentes. Por constante de movimento entendemos qualquer função das posições
e velocidades das partı́culas do sistema e, eventualmente, do tempo, que assuma um mesmo
valor ao longo de um movimento possı́vel do sistema. Para diferentes movimentos possı́veis
do sistema essa constante tem, em geral, valores diferentes, mas nada impede que em dois ou
mais movimentos diferentes o valor da constante seja o mesmo. Pode-se mostrar que, pelo
menos uma das constantes de movimento (dentre o número total de constantes de movimento
independentes entre si) deve depender explicitamente do tempo.
Como descobrir todas as constantes de movimento independentes entre si num dado problema? Responder a essa pergunta é, na prática, resolver o problema. Cada vez que encontramos
uma nova constante de movimento independente das outras previamente obtidas estamos dando
um passo no sentido de resolver o problema em questão.
As simetrias exibidas pelos sistemas fı́sicos em consideração nos sugerem que quantidades
são conservadas naquele problema. De fato, simetrias e constantes de movimento estão estreitamente relacionadas. Há, inclusive, um poderoso teorema, demonstrado no inı́cio do século
passado pela matemática E. Noether, que relaciona diretamente simetrias contı́nuas e constantes de movimento. Esse teorema nos garante que, para cada simetria contı́nua de um sistema
está associada uma constante de movimento. Além disso, conhecida a simetria, o teorema
fornece uma expressão para a quantidade conservada. Trata-se de um teorema de grande
utilidade não apenas em Mecânica Clássica, mas em muitas outras teorias, incluindo teorias
modernas como por exemplo as teorias clássicas e quânticas de campo. Apenas como um exemplo simples, e que pode ser útil em nossa discussão, vale comentar que a simetria esférica
de um sistema mecânico está relacionada com a conservação do momento angular do sistema.
Com efeito, devido à simetria esférica em torno do centro de força, o momento angular de uma
partı́cula sob a ação de uma força central, calculado tomando como ponto base o centro de
força, é uma constante de movimento, como vimos no inı́cio de nosso curso.
As simetrias de um sistema também estão estreitamente relacionadas às chamadas de1
Para os sistemas que nos interessam, número de graus de liberdade é o número n de coordenadas reais
necessário e suficiente para estabelecer uma correspondência biunı́voca entre as configurações do sistema e as
n-uplas formadas pelas coordenadas.
138
115-159, 2006
O Vetor de ...
generescências presentes no sistema. Dizemos que um problema em mecânica clássica possui
degenerescência quando duas ou mais órbitas diferentes possuem a mesma energia mecânica.
Por exemplo, num problema de força central, duas órbitas congruentes, mas giradas entre si
em torno do centro de força, são ditas degeneradas, pois embora diferentes, possuem a mesma
energia mecânica. Assim, no problema de Kepler, duas órbitas elı́pticas idênticas em tudo, exceto pelo fato de que estão em planos diferentes, têm a mesma energia mecânica (têm, também,
o mesmo módulo do momento angular, mas não mesmo momento angular, pois seus momentos
angulares possuem direções diferentes).
No entanto, há uma degenerescência adicional, inesperada, no problema de Kepler. Não
é difı́cil mostrar, nesse problema, que a energia mecânica da partı́cula numa órbita elı́ptica
é dada por E = −k/(2a), onde a é o semi-eixo maior da elipse (um resultado análogo vale
também para as órbitas ilimitadas). Conseqüentemente, mesmo órbitas não-congruentes, mas
que tenham o mesmo “tamanho”, ou seja, o mesmo semieixo maior, terão necessarimante a
mesma energia (e também o mesmo perı́odo, devido à Terceira Lei de Kepler). A Figura 7
mostra algumas dessas órbitas degeneradas inesperadas.
2a
C
2a
2a
Fig. 7: Órbitas não-congruentes degeneradas, uma circular e duas elı́pticas. O centro do cı́rculo e um
foco de cada elipse estão no centro de força C. Note que todas elas têm o mesmo semi-eixo maior a.
Isso parece estar relacionado ao fato de a órbita ser fechada (no caso das órbitas ilimitadas
parabólicas e hiperbólicas, isso está ligado ao fato de existir um eixo de simetria para a trajetória
139
Carlos Farina
115-159, 2006
da partı́cula). Esse fato sugere que busquemos uma outra constante de movimento que, de
alguma forma, esteja relacionada com o fato de a orientação da órbita não sofrer precessão
(além da energia mecânica e do momento angular que, juntas, formam um conjunto de 4
constantes de movimento independentes entre si). Além disso, esperamos que tal constante
seja uma função simples das coordenadas e velocidades da partı́cula. Como veremos, essa
constante de movimento existe, é o chamado vetor de Laplace-Runge-Lenz, definido por
A := p × ` − mkr̂ .
(73)
Por ser um vetor, temos aqui 3 constantes de movimento independentes entre si, mas não
independentes da energia e do momento angular, como ficará evidente mais adiante. Nesta
segunda aula do curso, nos dedicaremos ao estudo desse vetor. Estudaremos suas propriedades
e sua utilidade, tanto no problema de Kepler usual, quanto no problema de Kepler perturbado,
no qual, em primeira aproximação, as órbitas são iguais às antigas mas girando com uma
certa velocidade de precessão. Por conveniência, dividimos esta seção em três subseções. Na
primeira delas, apresentamos um breve histórico desse vetor, tentando mostrar como o nome
que lhe é atribuı́do é equivocado. Na segunda parte, mostramos explicitamente que se trata
de uma constante de movimento no problema de Kepler e interpretamos fisicamente tanto seu
módulo quanto a sua direção. Por fim, na última seção, consideramos pequenas perturbações
ao problema de Kepler e mostramos como o vetor de Laplace-Runge-Lenz, que daqui para a
frente denotaremos por vetor de LRL, pode ser utilizado no cálculo da velocidade de precessão
das órbitas.
A.
Um breve histórico
Curiosamente, nem C. Runge nem W. Lenz estão entre os primeiros a utilizar o vetor
A definido pela última equação. Como veremos, nem mesmo P.S. de Laplace, que discutiu
em detalhe as propriedades desse vetor já em 1799, em seu Traité de mécanique celeste, foi
o primeiro a descobrir que tal vetor é, de fato, uma constante de movimento no problema de
Kepler.
Quando, em 1924, Lenz utilizou o vetor A definido pela última equação para calcular nı́veis
de energia no problema de Kepler perturbado dentro do contexto da mecânica quântica velha,
ele se referiu a esse vetor como pouco conhecido e se referiu a um livro escrito por Runge sobre
análise vetorial publicado em 1919. Em seu livro, Runge mostra explicitamente que se a força
140
115-159, 2006
O Vetor de ...
central que age numa partı́cula variar com o inverso do quadrado da distância da partı́cula ao
centro de força o vetor A será uma constante de movimento.
Em 1926, W. Pauli mostra como o vetor A pode ser utilizado no cálculo do espectro do
átomo de Hidrogênio por meio de um método baseado no formalismo matricial da mecânica
quântica. Em seu artigo, Pauli comenta que esse vetor já fôra utilizado por Lenz. Com isso,
praticamente em todos os trabalhos subsequentes envolvendo o vetor A, ele foi chamado vetor
de Runge-Lenz. Ultimamente, e com muita justiça, o nome de Laplace tem sido agregado ao
nome desse vetor, daı́ chamá-lo vetor de Laplace-Runge-Lenz. De fato, Laplace apresentou
uma discussão relativamente detalhada sobre o assunto, deixando claro que das sete constantes
de movimento dadas pela energia mecânica, pelas três componentes do momento angular e
pelas três componentes de A, apenas cinco delas são independentes entre si, uma vez que
num problema de seis graus de liberdade há, no máximo, cinco constantes de movimento
independentes entre si e que não dependem explicitamente do tempo. No entanto, Laplace
deixa claro que, com essas cinco constantes de movimento, é possı́vel obter a equação da
órbita, como podemos apreciar lendo suas próprias palavras:
Embora essas integrais sejam insuficientes para determinar x, y e z como funções
do tempo, elas determinam a natureza da órbita.
W.R. Hamilton, dois anos depois de ter inventado os chamados quaternions em 1843, parece
ter redescoberto independentemente o vetor A. Com efeito, em 1845, Hamilton envia para a
Real Academia da Irlanda um artigo intitulado “Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions”, no qual mostrou a existência de uma nova constante de movimento no problema
de Kepler, que passou a chamar vetor de excentricidade. Na verdade, depois de Laplace e antes
de Runge e Lenz, muitos outros autores utilizaram de uma forma ou de outra o vetor A como,
por exemplo, J.C. Maxwell, W. Thomson e P.G. Tait, E.J. Routh e J.W. Gibbs.
Adotando um estilo um tanto sensacionalista, deixamos para o final desta subseção a revelação dos nomes daqueles que, atuamente, são considerados como os primeiros a discutir a
existência do vetor A no problema de Kepler. Foi Jakob Hermann, um discı́pulo dos Bernoullis,
que, em 1710, publicou um artigo numa revista italina pouco conhecida (Giornale de Letterati
D’Italia (1710), Vol.2, pp. 447-467), no qual utilizou as novas técnicas de cálculo introduzidas
por Leibniz para obter a equação da órbita no problema de Kepler. Em seu cálculo, a magnitude
do vetor A surge como uma constante de integração. Hermann foi capaz, ainda, de reconhecer
141
Carlos Farina
115-159, 2006
a relação dessa constante com a excentricidade da órbita. No mesmo ano, Hermann enviou
uma carta a Johann I. Bernoulli que imediatamente generalizou o seu resultado permitindo
orientações arbitrárias para a órbita. Os resultados de Bernoulli para o vetor A coincidem com
os que Laplace obteve nove décadas mais tarde. Tanto a carta de Hermann quanto a resposta de
Bernoulli foram publicadas em Histoires et Memoires de l’Academie Royale des Sciences [Paris
(1710), 1712], nas páginas 102-103 e 519-523, respectivamente. Como vemos, a prioridade sobre
a descoberta da constante de movimento A no problema de Kepler pertence a Jakob Hermann
e Johan I. Bernoulli. Devido à longa associação entre esse vetor e o nome de Laplace, talvez
fosse apropriado designá-lo, como sugere H. Goldestein, vetor de Hermann-Bernoulli-Laplace.
No entanto, manteremos o nome vetor de Laplace-Runge-Lenz para evitar qualquer confusão
com a literatura atual sobre o assunto.
B.
Interpretação do vetor de Laplace-Runge-Lenz
Antes de tudo, demonstraremos que o vetor de Laplace-Runge-Lenz é, de fato, uma constante de movimento no problema de Kepler. Com esse objetivo, calcularemos explicitamente
a sua derivada temporal e mostraremos que ela é nula se supusermos que a partı́cula esteja
sob a ação unica e exclusivamente da força gravitacional, ou seja, se utilizarmos a equação de
movimento
dp
k
= − 2 r̂ ,
dt
r
(74)
onde, no problema de Kepler, k é uma constante positiva (k = GM m). Temos, então,
dA
dp
d`
dr̂
=
×`+p×
− mk
dt
dt
dt
dt
= −
k
r̂ × (mr 2 ϕ̇)ẑ − mkϕ̇ϕ̂
r2
= 0,
(75)
onde usamos o fato de que o momento angular é uma constante de movimento (toda força
central tem torque nulo relativo ao centro de força) e também a relação r̂ × ẑ = −ϕ̂.
Ingenuamente, poderı́amos pensar que a constância de A nos traz três novas constantes de
movimento, independentes das que já conhecı́amos, a saber, a energia mecânica E e o momento
angular ` relativo ao centro de força. No entanto, isso não é verdade. Em primeiro lugar, o
142
115-159, 2006
O Vetor de ...
número total de constantes de movimento independentes no problema de Kepler é 6, uma vez
que se trata de uma partı́cula movendo-se em 3 dimensões. Além disso, veremos que há duas
relações entre A, E e `, fazendo com que ao agregar o vetor A em nossa lista de constantes de
movimento, tenhamos apenas 5 independentes. Uma relação bem simples entre A e ` decorre
do fato de que o vetor A pertence ao plano da órbita, como pode ser verificado mostrando que
é nulo seu produto escalar com `, ou seja,
` · A = ` · p × ` − mkr̂ = 0 ,
(76)
Uma segunda relação entre as contantes A, E e ` pode ser obtida calculando-se o módulo ao
quadrado de A:
A2 = (p × ` − mkr̂) · (p × ` − mkr̂)
= (p × `)2 + m2 k2 − 2mk(p × `) · r̂
= p 2 `2 + m 2 k 2 −
2mk
r · (p × `) .
r
(77)
Usando a relação r · (p × `) = (r × p) · ` = `2 e lembrando que a partir da conservação da
energia p2 pode ser escrito como p2 = 2mE + 2mk/r, a última equação toma a forma
2mk 2
2mk 2
2
A = 2mE +
` + m2 k 2 −
` ,
r
r
(78)
o que nos permite escrever
A2
2E`2
=
1
+
.
m2 k 2
mk2
(79)
Utilizando a relação entre a excentricidade da órbita, o módulo do momento angular e a energia
mecânica, dada pela equação (34), reescrevemos a equação anterior como
|A| = mkε ,
(80)
ou seja, o módulo do vetor de LRL mede, essencialmente, a excentricidade da órbita no problema
de Kepler.
As equações (76) e (79) nos fornecem duas relações entre as sete quantidades conservadas,
E, `x , `y , `z , Ax , Ay e Az , fazendo com que somente cinco delas sejam independentes entre si.
No entanto, como o próprio Laplace deixou claro em seu tratado de 1799, com cinco constantes
143
Carlos Farina
115-159, 2006
de movimento independentes já podemos obter diretamente a equaçao da órbita, como veremos
a seguir. Tomando, então, o produto escalar de A com o vetor-posição da partı́cula, obtemos
r|A| cos(ϕ − ϕ0 ) = r · p × ` − mkr̂ = `2 − mkr ,
(81)
onde ϕ0 é o ângulo que o vetor de Laplace-Runge-Lenz A faz com o eixo polar e usamos,
novamente, o fato de que r · (p × `) = `2 . Rearrumando os termos da equação anterior,
obtemos
`2 /mk
r=
|A|
,
(82)
1 + mk cos(ϕ − ϕ0 )
Caso ainda não soubéssemos a interpretação do módulo de A, a última expressão deixaria
evidente que |A|/mk nada mais é do que a excentricidade ε da cônica. Devido à paridade da
função cosseno, vemos que A tem a direção do eixo de simetria da órbita (seja ela limitada
ou ilimitada), uma vez que para ϕ = ϕ0 ± α temos o mesmo valor para r. Por esse motivo, é
comum escolhermos o eixo polar na direção do vetor de LRL, ou seja, é usual tomarmos ϕ0 = 0
ou π. Tomando ϕ0 = 0, reescrevemos a equação anterior, simplesmente, como
r=
`2 /mk
.
1 + ε cosϕ
(83)
r=
a(1 − ε2 )
,
1 + ε cosϕ
(84)
ou, ainda, na forma
onde a é o semi-eixo maior da elipse.
C.
O problema de Kepler perturbado e velocidade de precessão
Uma vez que só há duas forças centrais para as quais todas as órbitas limitadas são
fechadas, e tais forças são bem diferentes entre si, ao considerarmos modificações num desses
dois casos as órbitas resultantes não mais serão fechadas. No caso de adicionarmos pequenas
perturbações a uma dessas forças, as novas órbitas serão parecidas com as antigas órbitas
elı́pticas, mas sofrerão uma precessão. Em outras palavras, é como se a partı́cula descrevesse
praticamente a órbita elı́ptica antiga, mas de tal forma que, com o passar do tempo, o semieixo de sua órbita elı́ptica girasse lentamente. A velocidade angular de giro desse semi-eixo é
denominada velocidade de precessão da órbita. Nosso objetivo, nesta seção, é tratar apenas o
144
115-159, 2006
O Vetor de ...
problema de Kepler perturbado (mas o mesmo tipo de estudo pode ser feito também no caso
do oscilador harmônico isotrópico) e mostrar como podemos utilizar o vetor de LRL no cálculo
da velocidade de precessão da órbita perturbada.
Consideremos uma partı́cula de massa m sujeita à força resultante
F=−
k
r̂ + δf ,
r2
(85)
onde k é uma constante positiva e δf é uma pequena perturbação que pode ou não ter o caráter
central. Supor que δf seja uma pequena perturbação significa, em termos quantitativos, supor
que o módulo de δf seja bem menor do que o módulo da força de Kepler na região onde ocorre
o movimento. Se designarmos por r0 o raio da órbita circular estável associada ao mı́nimo local
de Uef (r) na ausência de δf , essa condição é satisfeita se |δf | k/r02 .
Calculando a taxa de variação temporal dA/dt no problema perturbado e utilizando as
equações
dp
k
= − 2 r̂ + δf
dt
r
e
d`
= r × δf ,
dt
(86)
obtemos
dA
= δf × ` + p × (r × δf ) .
dt
(87)
Note que, na obtenção da equação anterior, usamos a relação
−
dr̂
k
r̂ × ` − mk
= 0,
r2
dt
(88)
como foi mostrado na equação (75). O método a ser apresentado se baseia no fato de que o vetor
de LRL aponta na direção do semi-eixo maior da órbita elı́ptica (do modo como definimos, com
o sentido do foco para o perihélio). Determinar a taxa temporal com que a órbita gira é o mesmo
que determinar a taxa temporal com que o vetor de LRL gira. Calcularemos valores médios no
tempo, onde a média temporal é calculada em um perı́odo da órbita não-perturbada. Numa
primeira aproximação, como de costume em teorias de perturbação, nos cálculos dos valores
médios utilizaremos as relações válidas na órbita não-perturbada. Tomando, então, a média
temporal da equação (87), escrevemos
dA
= hδf × ì + hp × (r × δf )i ,
dt
onde, por definição, a média temporal de uma função f no intervalo ∆t é dada por
Z t+∆t
1
hf (t)i =
f (t 0 )dt 0 .
∆t t
145
(89)
(90)
Carlos Farina
115-159, 2006
Caso a função seja periódica, de perı́odo τ , a média temporal em um perı́odo é independente
do tempo, de modo que a equação anterior pode ser escrita na forma
Z
Z
1 t+τ
1 τ
0
0
hf (t)i =
f (t )dt =
f (t 0 )dt 0 .
τ t
τ 0
(91)
Ao calcularmos as médias presentes no lado direito da equação (89), é conveniente expressá-las
na forma
dA
dt
= Ω × A,
(92)
pois, desse modo, identificamos imediatamente a velocidade média de precessão da órbita como
Ω. O que faremos daqui para a frente é ilustrar em dois exemplos como utilizar a equação
(92) no cálculo da média temporal da velocidade de precessão da órbita de uma partı́cula
no problema de Kepler perturbado. Antes, porém, de passarmos aos exemplos, faremos um
comentário técnico a respeito de como calcular as médias temporais necessárias.
Como já mencionamos, em primeira aproximação, utilizaremos a relação entre r e ϕ dada
pela equação da órbita não-perturbada. Conseqüentemente, nos problemas que discutiremos a
seguir, estaremos interessados em calcular médias de funções periódicas do tipo f r(t), ϕ(t) .
Nesse caso, a equação (90) se reduz a
Z
1 τ 0
hf (r(t), ϕ(t) i =
f r(t ), ϕ(t 0 ) dt 0 .
τ 0
(93)
Como não temos as dependências temporais de r e ϕ, mas apenas a equação da órbita r(ϕ), é
conveniente transformar a integração no tempo em uma integração no ângulo ϕ. Isso pode ser
feito com o auxı́lio da relação ϕ̇ = `/mr 2 , que nos leva ao resultado
Z
1 2π
dϕ
hf (r(t), ϕ(t) i =
f (r, ϕ)
τ 0
ϕ̇
m
=
`τ
Z
2π
0
r 2 (ϕ)f r(ϕ), ϕ dϕ .
(94)
A seguir, aplicaremos a equação (92) no cálculo da velocidade de precessão no problema
de Kepler perturbado em duas situações interessantes e com caracterı́sticas bem diferentes.
Num primeiro exemplo, a perturbação será dada também por uma força central, enquanto no
segundo levaremos em consideração o efeito de forças dissipativas como a resistência do ar, de
caráter evidentemente não-central.
(a) Perturbação central com lei de força inversamente proporcional ao cubo da distância
146
115-159, 2006
O Vetor de ...
Consideremos o problema de Kepler perturbado no qual a δf é dada por
δf = −3
β
r̂ ; β > 0 ,
r4
(95)
onde, por hipótese, β kr02 , sendo r0 o raio da órbita circular no problema de Kepler nãoperturbado associado a um momento angular da partı́cula de módulo igual a `.
Essa pequena força pode representar, por exemplo, o efeito do achatamento da Terra nas
órbitas de satélites terrestres no plano equatorial. A restrição de órbitas no plano equatorial
se faz necessária pois o achatamento da Terra quebra a simetria esférica e dá origem a forças
não-centrais (gera um termo de quadrupolo no potencial gravitacional). No entanto, como no
plano equatorial o ângulo entre o raio vetor do satélite e o eixo da Terra permanece constante, a
expressão anterior pode, de fato, representar a correção de quadrupolo ao potencial de Kepler.
Pode-se mostrar, ainda, que tal perturbação também descreve a primeira correção proveniente
da teoria da relatividade geral na teoria newtoniana da gravitação.
Como a perturbação em consideração tem carater central, temos r × δf = 0 e a equação
(89) se reduz a
dA
dt
= hδf × ì
r̂
= 3β` ×
r4
= 3β
D cosϕ E
r4
` × x̂ ,
(96)
onde, devido à simetria da órbita não-perturbada em relação ao eixo polar, usamos a relação
D
r̂
cosϕx̂ + senϕŷ
cosϕ E
=
=
x̂ ,
(97)
r4
r4
r4
sendo x̂ o vetor unitário que aponta na direção do eixo polar, ou seja, na direção e sentido do
vetor de LRL. Utilizando a equação (94) e a equação polar da órbita não-perturbada dada por
(83), obtemos
D cosϕ E
r4
m
=
`τ
Z
0
2π
cosϕ
dϕ
r 2 (ϕ)
m
=
2
`τ a (1 − ε2 )2
Z
2π
m
=
2
`τ a (1 − ε2 )2
Z
2π
cosϕ(1 + ε cosϕ)2 dϕ
0
147
0
2ε cos2 ϕ dϕ
Carlos Farina
=
(2π/τ )mε
.
à2 (1 − ε2 )2
115-159, 2006
(98)
Substituindo esse resultado na equação (96), definindo ω := 2π/τ e multiplicando em cima e
em baixo o resultado assim encontrado por k, obtemos.
`
dA
3βω
=
× (mkε) x̂ .
dt
ka2 (1 − ε2 )2 `
(99)
Lembrando que A = (mkε) x̂ e comparando as equações (92) e (99), identificamos a velocidade
de precessão média do problema em consideração como
Ω=
3βω
`
.
a2 (1 − ε2 )2 `
(100)
Observe que se β > 0, isto é, se a perturbação for atrativa, Ω e ` têm a mesma direção e o
mesmo sentido. Nesse caso, o ângulo varrido pela partı́cula em torno do centro de força entre
dois pericentros consecutivos é maior que 2π. Com isso, o intervalo de tempo entre a ocorrência
de dois pericentros consecutivos é maior que na órbita não-perturbada. Temporalmente, houve
um atraso na ocorrência do pericentro. No entanto, para β > 0, o vetor de LRL gira no sentido
de giro da órbita, de modo que o pericentro na órbita perturbada avançou no sentido da órbita,
o que leva à nomenclatura “avanço do pericentro”. Caso β < 0 (perturbação repulsiva),
ocorre exatamente o oposto, a saber, temporalmente o pericentro ocorre antes que na órbita
não-perturbada e, portanto, há um “retrocesso” do pericentro (no sentido do movimento
orbital da partı́cula).
(a) Força de resistência do ar:
Consideremos o movimento de um satélite artificial em torno da Terra, pensada como uma
esfera uniforme de massa. Suponhamos que, devido à resistência imposta pela atmosfera, a
perturbação na força de Kepler seja dada por
δf = −βv n−1 v , β > 0 ,
(101)
onde v = |v|. Substituindo a última equação em (89), temos
dA
= −βv n−1 v × ` + mv × r × (−βv n−1 v)
dt
=
−2βv n−1 v × ` .
148
(102)
115-159, 2006
O Vetor de ...
Da definição de vetor de LRL, podemos escrever
v×`=
A
+ k r̂ ,
m
expressão que substituı́da na equação (102) nos fornece
dA
2β n−1 =−
v
A − 2βk v n−1 r̂ ,
dt
m
(103)
(104)
onde usamos o fato de que na órbita não-perturbada A permanece constante. Novamente,
devido à simetria da órbita não-perturbada em relação ao eixo polar, temos
v n−1 r̂ = v n−1 cosϕ x̂ .
Lembrando que A = mkε x̂, a equação (104) pode ser escrita na forma
dA
= −λ(ε, k, β) A ,
dt
(105)
(106)
onde λ(ε, k, β) é uma constante positiva dada por
λ(ε, k, β) =
2β n−1
hv
(ε + cosϕ)i .
mε
(107)
Como hdA/dti é proporcional a A, concluı́mos que não há precessão, nesse caso. Ou seja, a
resistência do ar não causa precessão nas órbitas dos satélites em torno da Terra. No entanto,
o fato de λ ser positiva indica que o módulo de A vai decrescendo à medida que o tempo passa,
fazendo com que a excentricidade da órbita perturbada vá diminuindo (a órbita vai tendendo
a ficar mais circular). Caso λ não dependesse de ε, a equação (106) poderia ser integrada
facilmente e A decresceria exponencialmente. No entanto, λ depende de ε, ou seja, λ depende
de |A| e a solução de (106) não é uma exponencial decrescente.
É interessante analisar o caso particular em que n = 1, isto é, no qual a resistência do ar é
linear com a velocidade. Nesse caso, a equação (104) se reduz a
dA
2β
= − (A + mkhr̂i) .
dt
m
(108)
No entanto, pode-se mostrar que hr̂i = hcosϕi x̂ = −ε x̂, de modo que, nesse caso, temos
dA
2β
= − (A − mkε x̂) = 0 .
(109)
dt
m
Conseqüentemente, para uma resistência do ar do tipo δf = −βv, o vetor de Laplace-RungeLenz A é constante durante o movimento do satélite. Isso significa que, embora o tamanho de
sua órbita vá diminuindo com o tempo (há dissipação de energia) a sua órbita nem precessa
nem muda de excentricidade.
149
Carlos Farina
V.
115-159, 2006
COMENTÁRIOS FINAIS
Para facilitar a compreensão dos dois principais tópicos discutidos nesse minicurso, a
saber, o Teorema de Bertrand e o cálculo da velocidade de precessão de órbitas no problema
de Kepler perturbado, decidimos fazer uma revisão geral do movimento de uma partı́cula sob
a ação de uma força resultante central. Por questões óbvias, nessa revisão demos particular
ênfase ao problema de Kepler.
Embora o Teorema de Bertrand seja pouco conhecido entre os alunos que estão iniciando
seus estudos em mecânica clássica, trata-se de um teorema importante que contém um resultado
profundo e abrangente (porque não dizer peculiar) sobre órbitas de partı́culas sob a ação de
forças centrais. Ainda assim, há uma vasta literatura sobre o assunto, que pode ser encontrada
em artigos de periódicos de caráter pedagógico ou mesmo em livros mais especializados em
mecânica clássica (veja a bibliografia no final destas notas). Esperamos ter escolhido uma das
demonstrações mais simples desse teorema, mas não menos rigorosa.
Com o objetivo de calcular velocidades de precessão de órbitas no problema de Kepler perturbado, definimos o chamado vetor de Laplace-Runge-Lenz A e mostramos, explicitamente,
que se trata de uma constante de movimento no problema de Kepler não-perturbado. Obtivemos a equação polar da órbita diretamente a partir da constância desse vetor e mostramos que
ele aponta na direção do eixo de simetria da órbita, direção do semi-eixo maior da elipse no
caso de órbitas limitadas (lembre-se de que consideramos ao longo de todo o texto ` 6= 0, o que
exclui órbitas retilı́neas). Mostramos, ainda, que o módulo desse vetor é proporcional à excentricidade da órbita. Passamos, então, a discutir órbitas de Kepler perturbadas e, calculando
a taxa temporal de giro do vetor de A, determinamos a velocidade de precessão da órbita em
consideração. Vale ressaltar que esse método de cálculo, baseado no giro do vetor A, se aplica
com a mesma eficácia a órbitas com qualquer excentricidade, não apenas a órbitas próximas
das circulares. Já não podemos afirmar o mesmo para outros métodos, como por exemplo,
aquele baseado diretamente na equação diferencial da órbita (equação de Babinet).
Nesse minicurso, discutimos aplicações do vetor de Laplace-Runge-Lenz aos casos de órbitas
limitadas do problema de Kepler, ou seja, órbitas elı́pticas. No entanto, esse vetor também
pode ser utilizado no estudo das órbitas ilimitadas do problema de Kepler. Em particular,
pode-se obter a seção de choque de espalhamento associada a esse problema diretamente a
partir da constância desse vetor. Até mesmo no problema de Kepler perturbado, no qual o
150
115-159, 2006
O Vetor de ...
vetor de Laplace-Runge-Lenz não mais é uma constante de movimento, mas gira com o passar
do tempo, a utilização desse vetor nos permite obter a seção de choque correspondente de um
modo bastante econômico.
Por fim, não poderı́amos deixar de mencionar que as aplicações do vetor de Laplace-RungeLenz não se restringem ao escopo da Mecânica Clássica, mas tem aplicações interessantes
também no contexto da Mecânica Quântica. Apenas para citar um exemplo, o vetor de LaplaceRunge-Lenz pode ser utilizado na obtenção do espectro de energia do átomo de Hidrogênio por
meio de um método algébrico apresentado por W. Pauli em 1926. Nesse método, o operador
momento angular L e o operador Laplace-Runge-Lenz multiplicado por um fator apropriado,
denotado por a, se combinam para formar os seis geradores das rotações em um espaço quadridimensional. Mais especificamente, pode-se mostrar que L±a formam os seis geradores associados
ao grupo O(4). Esse método nos mostra como as simetrias escondidas de um problema podem
simplificar a sua solução. No caso do átomo de Hidrogênio, o método algébrico nos ajuda,
inclusive, a entender um pouco mais o seu alto grau de degenerescência. O leitor interessado
no assunto pode consultar as duas últimas referências apresentadas na bibliografia.
Resolvemos, ainda, incluir neste material um pequeno apêndice contendo a solução temporal
do problema de Kepler, uma vez que raramente essa solução é apresentada em livros elementares
de mecânica, além de uma pequena lista de problemas propostos. Esses problemas têm por
objetivo preencher pequenas lacunas deixadas ao longo do texto, para que não nos desviássemos
dos temas centrais. Além disso, esperamos que essa lista ajude o aluno a verificar se realmente
compreendeu os pontos principais discutidos ao longo desse minicurso.
Agradecimentos: Agradeço imensamente aos organizadores da IX Semana de Fı́sica da
UEFS, em particular aos professores Antônio Vieira de Andrade Neto, Franz Peter Alves Farias,
Germano Pinto Guedes e Milton Souza Ribeiro, pela hospitalidade e pelo excelente ambiente de
discussão criado durante toda a escola. Sou extremamente grato, também, aos estudantes, por
terem demonstrado um interesse invejável em todos os eventos da escola. Uma surpresa muito
agradável foi encontrar o meu amigo e professor Sebastião Alves Dias que, em uma de suas
palestras, conseguiu nos fazer entender um pouco mais sobre o papel da Teoria Quântica de
Campos na descrição das interações fundamentais da natureza e, numa segunda palestra, nos
mostrou de uma forma quase romanceada como a matemática é a linguagem natural da fı́sica.
A ele, um agradecimento especial. Por fim, não poderia deixar de mencionar os inesquecı́veis
151
Carlos Farina
115-159, 2006
almoços regados a carne de sol e melado com queijo coalho, serão lembrados sempre com muita
alegria.
VI.
APÊNDICE: A EQUAÇÃO DE KEPLER TEMPORAL
Na discussão que fizemos ao longo desse curso, não obtivemos as funções-movimento
possı́veis de uma partı́cula sujeita a uma força resultante F = −(k/r 2 ) r̂, onde k é uma constante positiva. Em outras palavras, não resolvemos totalmente o problema de Kepler, uma
vez que não obtivemos r e ϕ como funções do tempo mas, apenas, a relação entre r e ϕ, ou
seja, a chamada equação polar da órbita da partı́cula. Isso não foi por acaso. De fato, a
obtenção da solução completa do problema é bem mais sutil, pois envolve equações transcendentais. Neste apêndice, nosso objetivo é, justamente, preencher essa lacuna, apresentando a
chamada equação de Kepler temporal, muito utilizada pelos astrônomos. Isso será feito no caso
de órbitas elı́pticas.
A Figura 8 mostra a trajetória elı́ptica de um planeta em torno do sol. Este, por sua vez, se
encontra fixo (por hipótese) num dos focos da elipse, o ponto S da figura. A posição do planeta
em um instante genérico está representada, na figura, pelo ponto P . As coordenadas polares
utilizadas anteriormente, (r, ϕ), correspondem, respectivamente, à distância entre os pontos S
e P e ao ângulo formado pelos segmentos de reta SP e SA.
Para obtermos a solução dependente do tempo, é conveniente introduzir uma nova coordenada, chamada anomalia excêntrica ψ. Supondo que em t = 0 o planeta esteja no perihélio,
ponto A, a anomalia excêntrica no instante t é o ângulo formado pelos segmentos de reta OQ e
p
OA. Define-se anomalia média no instante t como ωt, onde ω = 2π/τ = GM/a3 , sendo τ o
perı́odo da órbita elı́ptica e a o seu semi-eixo maior. A equação de Kepler temporal relaciona
a anomalia média ωt diretamente com a anomalia excêntrica ψ. Vejamos, então, como essa
relação pode ser estabelecida.
A velocidade areolar do planeta é dada por
dA
πab
1
=
= ωab ,
dt
τ
2
(110)
onde b é o semi-eixo menor da elipse e πab a sua área. Como essa velocidade é constante, temos
t=
Area(ASP )
,
(1/2)ωab
152
(111)
O Vetor de ...
115-159, 2006
Q
P
ψ
A0
O
ϕ
S
A
N
Fig. 8: Órbita elı́ptica do planeta em torno do Sol, localizado num dos focos da elipse, o ponto S; nesta
órbita, o ponto mais próximo ao Sol se chama perihélio, ponto A, e o mais distante se chama afélio,
ponto A0 ; o ponto P representa o planeta num instante genérico; ϕ é o ângulo polar, também chamado
anomalia verdadeira. Foi desenhado um cı́rculo de centro coincidente com o da elipse, ponto O e raio
igual ao semi-eixo maior da elipse; ψ é a anomalia excêntrica e Q e N são pontos auxiliares.
onde Area(ASP ) significa a área da superfı́cie delimitada pelos segmentos de reta AS e SP e o
arco de elipse AP , ou seja, a área varrida pelo raio vetor do planeta desde t = 0 até o instante
t. Seja, agora, Area(ASQ) a área delimitada pelos segmentos de reta AS e SQ e o arco de
cı́rculo AQ. Existe uma relação bastante simples entre Area(ASP ) e Area(ASQ). De fato,
usando as equações cartesianas que definem uma elipse de semi-eixos a e b e um cı́rculo de raio
a, dadas, respectivamente, por
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
x2 + y 2 = a2 ,
e
(112)
pode-se mostrar facilmente que
NP
b
= .
NQ
a
(113)
Por sua vez, a partir desse resultado, pode-se estabelecer a seguinte relação:
Area(ASP ) =
b
Area(ASQ) .
a
Substituindo a equação (114) em (111), obtemos
t =
2 b
Area(ASQ)
ωab a
153
(114)
Carlos Farina
=
115-159, 2006
2 Area(AOQ)
−
Area(SOQ)
ωa2
2
=
ωa2
a2 ψ a2 ε senψ
−
2
2
,
(115)
onde, ao calcularmos Area(SOQ), utilizamos o fato de que OS = ε a. Reescrevemos a equação
anterior na forma
ωt = ψ − ε senψ .
(116)
Embora esse resultado tenha um aspecto simples, ele não nos permite obter uma expressão
analı́tica para ψ em função do tempo. Trata-se de uma equação transcendental, que deve ser
resolvida numericamente por métodos de aproximação apropriados.
Para relacionarmos ψ e ϕ, lembramos, inicialmente, a equação polar da órbita,
r(ϕ) =
a(1 − ε2 )
,
1 + ε cosϕ
(117)
a partir da qual escrevemos
√
(a/b) P N
1 − ε2 senϕ
r(ϕ) senϕ
senψ =
=
= √
,
(118)
a
1 + ε cosϕ
a 1 − ε2
√
onde usamos as relações P N = r(ϕ) senϕ e b = a 1 − ε2 e a equação (117). As equações
(116) e (118) são usadas pelos astrônomos na determinação da posição do planeta em um certo
instante ou, também, para descobrir em que instante o planeta passará por uma determinada
posição.
VII.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1. Calcule a razão entre o perı́odo das oscilações radiais e o perı́odo de uma revolução em
torno do centro de força, isto é, τr /τϕ para órbitas vizinhas às circulares no caso do (i)
problema de Kepler; (ii) oscilador harmônico isotrópico.
2. Considere energias potenciais apenas do tipo U (r) = k/r β , onde β e k são, em princı́pio,
constantes arbitrárias.
(a) Para que valores de β essas energias potenciais permitem órbitas circulares estáveis?
Deixe claro os sinais de k em cada caso.
154
O Vetor de ...
115-159, 2006
(b) Dentre os valores de β encontrados no item anterior, quais deles fazem com que
todas as órbitas próximas às circulares sejam fechadas? Compare seu resultado
com o discutido no texto.
3. A equação polar da trajetória de uma partı́cula submetida à ação de uma força resultante
central é dada por r = r0 eϕ , onde r0 é uma constante positiva. Utilizando a equação
diferencial da órbita, equação de Babinet, encontre a forca central que atua sobre a
partı́cula em função de r, de sua massa m e do módulo de seu momento angular `.
4. Mostre que o ângulo varrido pelo raio vetor de uma partı́cula sob a ação de uma força
central entre um pericentro e o apocentro seguinte, ∆ϕ1 , é igual ao ângulo varrido por
esse raio vetor entre um pericentro e o apocentro seguinte, ∆ϕ2 .
5. Neste problema você encontrará as órbitas possı́veis no problema de Kepler resolvendo
diretamente a equação diferencial de Babinet aplicada a esse problema.
(a) Resolva a equação (46) escolhendo o eixo polar na direção do eixo de simetria da
órbita e mostre que a solução pode ser escrita na forma
r(ϕ) =
`2 /mk
,
1 + ε cosϕ
(119)
que representa a equação polar de uma cônica de excentricidade ε com um de seus
focos localizado na origem do eixo polar. Note que ao escrever a solução anterior
você ainda não estabeleceu uma relação entre ε, o módulo do momento angular da
partı́cula ` e a sua energia mecância E.
(b) Considere 0 < ε < 1 (órbitas elı́pticas), de modo que r só pode assumir valores tais
que rmin ≤ r ≤ rmax , onde
rmin =
`2 /mk
1+ε
e
rmax =
`2 /mk
.
1−ε
(120)
Pois bem, uma vez que a energia mecânica é conservada durante o movimento,
avalie E num instante em que r = rmin , ou seja,
E=−
k
rmin
e mostre que
+
1
2
mrmin
ϕ̇2 r
min
2
ε2 = 1 +
Sugestão: use a relação ϕ̇ = `/mr 2 .
155
2E`2
.
mk2
(121)
(122)
Carlos Farina
115-159, 2006
(c) Lembrando que a excentricidade ε de uma elipse pode ser definida de tal modo que
a distância entre um de seus focos e centro da mesma seja dada por c := εa, onde
a é o semi-eixo maior da elipse, mostre que a equação da órbita anterior pode ser
escrita na forma
r(ϕ) =
a(1 − ε2 )
.
1 + ε cosϕ
(123)
6. Reconsidere o problema anterior, isto é, o de uma partı́cula de massa m sob a ação da
força resultante F = −(k/r 2 ) r̂, onde k = GM m.
(a) Comparando a última equação com a escrita em (83) e usando o fato de que o semieixo menor b de uma elipse satisfaz à relação b2 = a2 − c2 , mostre que o módulo do
momento angular da partı́cula pode ser escrito como
`2 = mk
b2
.
a
(124)
(b) Utilizando a relação entre ε, E e `, dada pela equação (), o fato de que ε = c/a e
o resultado obtido no item anterior, mostre que
E=−
k
.
2a
(125)
(c) Usando a Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas), o fato de que a área de uma elipse
é dada por πab e designando o perı́odo do movimento por τ , mostre que
τ2
4π 2
=
,
a3
GM
(126)
resultado conhecido como Terceira Lei de Kepler.
7. Demonstre a equação (23).
8. Escolha uma das referências listadas abaixo sobre o teorema de Bertrand e siga todas
as contas do artigo, aprendendo assim uma demonstração alternativa à apresentada no
texto.
9. Utilizando o método baseado no vetor de Laplace-Runge-Lenz, calcule a média temporal
da velocidade de precessão no problema de Kepler perturbado no qual a força perturbadora é dada por δf = −4(β/r 5 )r̂, onde β é uma constante. Para que sinal de β ocorre
um avanço no perihélio?
Sugestão: consulte a referência 13.
156
115-159, 2006
O Vetor de ...
10. Considere o problema de Kepler perturbado no qual a força perturbadora é dada por
δf = −(β/r n )r̂, onde β é uma constante e n é um número inteiro. Considere, neste
problema, somente órbitas que estejam próximas de órbitas circulares.
(a) Escreva a equação diferencial das órbitas para esse problema, isto é, a equação de
Babinet e, nela, substitua u(ϕ) = u0 + δ(ϕ), onde u0 = 1/r0 , sendo r0 o raio da
órbita circular associada ao momento angular `. Desprezando termos de ordem
quadrática em δ ou superior, mostre que
δ00 (ϕ) + γ 2 δ(ϕ) = 0 ,
(127)
onde δ00 = d2 δ/dϕ2 e γ 2 é uma constante que depende da perturbação em consideração. Determine a constante γ em termos m, k, β, ` e n.
(b) Escreva a solução geral da equação diferencial anterior e calcule a média temporal
da velocidade de precessão da órbita em termos de γ.
(c) Verifique se é possı́vel, nos casos em consideração, estabelecer uma correlação entre
o carater atrativo ou repulsivo da força com o fato de ocorrer um avanço ou um
retrocesso do perihélio.
Sugestão: embora na referência 16 seja apresentado um outro método de cálculo de
velocidade de precessão, esse artigo pode ser útil na compreensão desse problema.
11. Resolva a equação diferencial da órbita para o problema de um oscilador harmônico
isotrópico, dada por
d2 u
mk
+u= 2 3
2
dϕ
` u
(128)
e mostre que a solução corresponde a uma elipse cujo centro geométrico coincide com o
centro de força.
12. Repita o problema 10 mas supondo, agora, que em lugar do problema de Kepler perturbado, tenhamos um oscilador perturbado. Ou seja, resolva os mesmo itens pedidos no
problema 10 considerando uma partı́cula de massa m sob a ação da força resultante
F = −kr + δf = −kr −
onde k é uma constante positiva.
Sugestão: consulte a referência 17.
157
β
r̂ ,
rn
(129)
Carlos Farina
VIII.
115-159, 2006
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19. W. Pauli, Z. Phys. 36, 336 (1926); traduzido em Sources of Quantum Mechanics, editado
por B.L. Van der Waerden (Dover, New York, 1968, pag. 387).
20. S. Borowitz, Fundamentals of Quantum Mechanics; Particles, Waves and Wave Mechanics (W.A. Benjamin, 1967).
21. L.I. Schiff, Quantum Mechanics (McGraw-Hill Companies 1968).
SOBRE O AUTOR Carlos Farina de Souza - Doutor em Fı́sica pela UFRJ, com Pós-Doutorado pela Universidad
de Zaragoza, U.Z., Espanha, é Professor Titular do Instituto de Fı́sica da UFRJ.
e-mail: [email protected]
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o vetor de laplace-runge-lenz no problema de kepler

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