Diagramas de Bode

Sistemas e Sinais
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Departamento de Engenharia Elétrica
Diagramas de Bode






Introdução
Diagramas de Bode
Escala Logarítmica de Amplitude
Escala Logarítmica de Frequência
Análise dos Termos das Funções de Resposta
em Frequência
Composição do Diagrama de Bode
Diagramas de Bode
1
Sistemas e Sinais
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Diagramas de Bode
 Introduzido
em 1940
 H.W.
Bode
 Análise de Amplificadores Eletrônicos




Análise de sistemas de diferentes naturezas
Termos de primeira e segunda ordem
Traçado rápido e manual
Curvas de Magnitude |H(j)| e fase de H(j)
Diagramas de Bode
2
Sistemas e Sinais
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Obtenção do Diagrama de Bode:
 Regime
Permanente Senoidal
 Curva de Magnitude de H(j)

Traçada em função da frequência escala log-log
 Curva

de Fase de H(j)
Traçada em função da frequência escala linear-log
Diagramas de Bode
3
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Escala Logarítmica de Amplitude
 Eixo



das ordenadas em Decibeis
Alexander Graham Bell
Relação de dois níveis de potência
Elementos Dissipativos
• Relação quadrática entre as variáveis e os elementos
Diagramas de Bode
4
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Exemplo:
 100

2 oitavas (22) acima de 25 rad/s
 100

rad/s
rad/s
3 décadas abaixo (10-3) de 100.000 rad/s
Diagramas de Bode
5
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Diagramas de Bode
6
Sistemas e Sinais
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Razão Entre Amplitudes:
 Amplitude
do Sinal de Saída - | Y(j) |
 Amplitude do Sinal de Entrada - | X(j) |
Diagramas de Bode
7
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Exemplo de um Diagrama de Bode:
Bode Diagrams
From: U(1)
10
-10
-20
-30
-40
0
-50
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-100
-150
-200
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
8
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Exemplo:
Diagramas de Bode
9
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Exemplo - Representação Gráfica
Diagramas de Bode
10
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Caso em que as raízes do numerador e do denominador de
são reais e negativas.
Diagramas de Bode
11
Sistemas e Sinais
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Bode Diagrams
Bode Diagrams
From: U(1)
40
-10
30
-20
20
-40
0
-20
-40
-60
-80
-1
10
10
0
80
60
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-30
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
From: U(1)
40
20
0
10
1
10
2
10
3
10
0
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
12
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Resposta em Frequência
A forma mais comum de representação da resposta em
frequência de um sistema é dada por uma função
racional em j, na forma
Diagrama de Bode
13
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Resposta em Frequência
• zk são as raízes do polinômio do numerador, denominados de zeros finitos de X(j).
• pk são as raízes do polinômio do denominador de X(j),
e são definidos como sendo os polos de X(j).
• a diferença entre os graus dos polinômios do denominador e do numerador, N-M, é definido como sendo o
grau relativo de X(j).
Diagrama de Bode
14
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Diagrama de Polos e Zeros
Diagrama de Bode
15
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Análise dos Termos da Resposta em Frequência
Uma vez que
log10[A . B] = log10[A] + log10[B]
pode-se avaliar o efeito de cada um dos termos individualmente.
Diagramas de Bode
16
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Primeira Classe de Termos
Diagramas de Bode
17
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Primeira Classe de Termos
Diagramas de Bode
18
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Segunda Classe de Termos
Diagramas de Bode
19
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Segunda Classe de Termos -
Diagramas de Bode
20
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Segunda Classe de Termos – Curva de Fase
Diagramas de Bode
21
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Exercício: Mostrar que para esta classe de termos




No ponto de interseção das assíntotas de baixa e alta frequências,
assíntotas diferem da curva real de magnitude em 3.0 dB, para o caso de
termos do numerador e em –3.0 dB para o caso de termos do
denominador.
A curva assintótica tem contribuição de fase de 45º na frequência de cada
raiz do numerador e de –45º na frequência de cada raiz do denominador,
isto é, quando
As curvas real e assintótica diferem de +11o e –11o para
e
, no caso de termos do denominador.
Frequências uma década abaixo do ponto de quebra praticamente não
exercem influência nas curvas de magnitude e fase.
Diagramas de Bode
22
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Terceira Classe de Termos
Diagramas de Bode
23
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Características de Magnitude e de Fase
Diagramas de Bode
24
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Diagramas de Bode
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Exercício 1: Considere um sistema com a seguinte resposta em
frequência, com
.
Obter as equações de magnitude e fase, justificando as curvas
apresentadas anteriormente.
Diagramas de Bode
26
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Exercício 2: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace
os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema com a
seguinte resposta em frequência.
Diagramas de Bode
27
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Bode Diagram
Magnitude (dB)
20
10
0
-10
Phase (deg)
-20
0
-45
-90
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
28
Sistemas e Sinais
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Exercício 3: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace
os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema com a
seguinte resposta em frequência.
Diagramas de Bode
29
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Bode Diagram
Magnitude (dB)
20
15
10
5
Phase (deg)
0
0
-30
-60
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
30
Sistemas e Sinais
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Exercício 4: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace
os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema com a
seguinte resposta em frequência.
Diagramas de Bode
31
Sistemas e Sinais
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Departamento de Engenharia Elétrica
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
-80
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
32
Sistemas e Sinais
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Para todos os exercícios apresentados a seguir, determinar o
ganho DC, grau relativo e a expressão do sinal de saída y(t), em
regime permanente de operação, considerando como sinal de
entrada do sistema
x( t )  10 sen( 20t )  5 cos( 100t 
Diagramas de Bode

2
)
33
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Exercício 5: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace
os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema com a
seguinte resposta em frequência.
Diagramas de Bode
34
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Bode Diagram
0
Magnitude (dB)
-5
-10
-15
-20
-25
-30
90
Phase (deg)
45
0
-45
-90
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
35
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Exercício 6: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace
os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema com a
seguinte resposta em frequência.
1200( j  120 )
H ( j ) 
2
[( j )  10 j  100 ]( j  600 )
Diagramas de Bode
36
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Bode Diagram
20
0
Magnitude (dB)
-20
-40
-60
-80
-100
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-1
10
0
10
1
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
3
10
4
10
37
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Exercício 7: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace
os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema com a
resposta em frequência abaixo. Para este sistema, determine o
sinal de entrada na forma x( t )  A sen( t ) admitindo que o
sinal de saída em regime permanente de operação é dado por
y( t )  10 sen( t 

2
)
1200 e  j 5 ( j  120 )
H ( j ) 
2
[( j )  10 j  100 ]( j  600 )
Diagramas de Bode
38
Sistemas e Sinais
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Departamento de Engenharia Elétrica
50
0
-50
-100
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
6
0
x 10
-1
-2
-3
-1
10
0
10
1
10
2
10
Diagramas de Bode
3
10
4
10
39
Sistemas e Sinais
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Exercício 8: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace
os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a
seguinte resposta em frequência.
1200( j  120 )
H ( j ) 
[( j )2  10 j  100 ]( j  600 )
Diagramas de Bode
40
Sistemas e Sinais
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Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
180
Phase (deg)
90
0
-90
-180
-1
10
0
10
1
10
2
10
Diagramas de Bode
Frequency (rad/sec)
3
10
4
10
5
10
41
Sistemas e Sinais
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Exercício 9: Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace
os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema com a
seguinte resposta em frequência.
10
H ( j ) 
[( j )2  105 j  500 ] j
Diagramas de Bode
42
Sistemas e Sinais
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Bode Diagram
0
Magnitude (dB)
-50
-100
-150
-200
-250
-90
Phase (deg)
-135
-180
-225
-270
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
43
Sistemas e Sinais
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Exercício 10: Obtenha as equações de magnitude e de fase e
trace os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema
com a seguinte resposta em frequência.
10 j
H ( j ) 
2
( j )  105 j  500
Diagramas de Bode
44
Sistemas e Sinais
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Bode Diagram
Magnitude (dB)
-20
-30
-40
-50
-60
90
Phase (deg)
45
0
-45
-90
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
45
Sistemas e Sinais
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Exercício 11: Obtenha as equações de magnitude e de fase e
trace os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema
com a seguinte resposta em frequência.
( j )2  4 j  100
H ( j ) 
( j )2  80 j  4000
Diagramas de Bode
46
Sistemas e Sinais
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Bode Diagram
10
Magnitude (dB)
0
-10
-20
-30
-40
-50
180
Phase (deg)
135
90
45
0
0
10
1
10
2
10
Diagramas
de Bode
Frequency (rad/sec)
3
10
4
10
47
Sistemas e Sinais
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Exercício 12: Obtenha as equações de magnitude e de fase e
trace os diagramas de Bode, assintótico e real para um sistema
com a seguinte resposta em frequência.
1
1
2
( j ) 
j  1
50
H ( j )  4000
1
1
2
( j ) 
j  1
100
25
Diagramas de Bode
48
Sistemas e Sinais
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Bode Diagram
10
Magnitude (dB)
0
-10
-20
-30
-40
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
49
Sistemas e Sinais
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Exercício 13: Para os sistemas representados pelos diagramas de
Bode apresentados a seguir, determinar suas respectivas funções
resposta em frequência, justificando a escolha de cada um dos
termos que as compõe.
Diagramas de Bode
50
Sistemas e Sinais
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Bode Diagrams
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-50
-100
200
150
100
50
0
1
10
2
10
3
10
Diagramas
de Bode
Frequency (rad/sec)
4
10
5
10
51
Sistemas e Sinais
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Diagramas de Bode
52