Klausur Technische Mechanik III
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Klausur Technische Mechanik III
Klausur Technische Mechanik III Universität Siegen, Fachbereich Maschinenbau, 06.02.2010 Aufgabe 1 r2 , m2 , θ2 g r2 , m2 , θ2 masselos m1 Motor: r5 , θ5 M0 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Das dargestellte System besteht aus einer Masse m1 , zwei gleichen Walzen (jeweils Radius r2 , Masse m2 und Massenträgheitsmoment θ2 ), einer masselosen Umlenkrolle, einem Antriebsmotor (Radius r5 , Massenträgheitsmoment θ5 ) sowie aus masselosen Seilen. Das System bewegt sich unter der Annahme, dass die Walzen rollen. a) Es sind alle notwendigen Gleichungen aufzustellen mit denen der Bewegungszustand vollständig beschrieben wird. b) Es ist die Beschleunigung der Masse m1 in Abhängigkeit vom Antriebsmoment M0 auszudrücken. c) Wie groß muss das Antriebsmoment M0 sein, damit die Masse m1 mit 0.1 g beschleunigt wird? Gegeben sind: g, m1 , m2 , θ2 , θ5 , r2 , r5 , M0 . Lösung Aufgabe 1: a) FKB: (5) x1 (1) S5 M0 (4) S1 AH BH m1 g AV ϕ2 (2) BV x1 BV BH m2 g H2 N2 S5 S5 S5 ϕ5 1111111111111111111 0000000000000000000 0000000000000000000 1111111111111111111 x1 AV AH S1 ϕ2 m2 g H3 N3 (3) (1) m1 ẍ1 = S1 − AH − BH (1) Klausur Technische Mechanik III Universität Siegen, Fachbereich Maschinenbau, 06.02.2010 (2) m2 ẍ1 = AH − H2 θ2 ϕ̈2 = H2 r2 (2) (3) (3) m2 ẍ1 = BH − H3 θ2 ϕ̈2 = H3 r2 (4) (5) (4) 0 = 2 S5 − S1 0 = (S5 − S5 ) r4 ⇒ S1 = 2 S5 (6) (7) (5) θ5 ϕ̈5 = M0 − S5 r5 M0 ϕ̈5 ⇒ S5 = − θ5 r5 r5 (8) (9) Kinematik: ϕ2 2 ẋ1 = ϕ̇5 r5 0ẋ1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 AH 1111 0000 0000 1111 0000 1111 1 0 0000 1111 0 0000 1 1111 11 00 00 11 r2 ϕ̇5 r5 (5) 1 0 0 1 ẋ1 = ϕ̇2 r2 ϕ̈2 = 2 ẋ1 = ϕ̇5 r5 ϕ̈5 = 2 ẍr51 ẍ1 r2 b) aus (3) und (5): H2 = H3 aus (2) und (4): AH − H2 = BH − H2 ⇒ AH = BH (9) in (6): S1 = 2 M0 ϕ̈5 − 2 θ5 r5 r5 aus (3): H2 = θ2 ϕ̈2 r2 aus (2) AH = m2 ẍ1 + θ2 ϕ̈2 = BH r2 | {z } H2 in (1): ϕ̈5 θ2 M0 − 2 θ5 − 2 m2 ẍ1 − 2 ϕ̈2 r5 r5 r2 ẍ1 M0 ẍ1 m1 ẍ1 + 2 θ5 2 2 + 2 θ2 2 + 2 m2 ẍ1 = 2 r5 r2 r5 m1 ẍ1 = 2 1 0 0 1 0 1 0 1 (4) ẋ1 Klausur Technische Mechanik III Universität Siegen, Fachbereich Maschinenbau, 06.02.2010 m1 1 1 ẍ1 + 2 θ5 2 + θ2 2 + m2 r5 = M0 2 r5 r2 M0 ẍ1 = m1 1 1 + 2 θ + θ + m r5 2 2 5 2 2 2 r r 5 2 c) ẍ = 0.1 g θ5 θ2 m1 + m2 + 2 + 2 2 ⇒ M0 = 0.1 g r5 2 r2 r5 Klausur Technische Mechanik III Universität Siegen, Fachbereich Maschinenbau, 06.02.2010 Aufgabe 2 11111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000 000 111 00000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 c 000 111 000 111 g d 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 3r 000 111 000 111 000 111 r 000 111 000 111 000 111 A ϕ 000 111 000 111 xA 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 3m 111 000 111 x2 m Der Mittelpunkt A einer Stufenrolle (θA = 4m r 2 und Masse 3m) ist über einen Dämpfer (Dämpfungskonstante d) und eine Feder (Federkonstante c) abgestützt. Durch geeignete konstruktive Maßnahmen rollt die Stufenrolle ohne zu rutschen (schlupffrei) senkrecht ab. Auf ihrem kleinen Radius ist ein Seil gewickelt, dessen Ende mit einem Klotz (Masse m) verbunden ist. Das mechanische System bewegt sich im Erdschwerefeld (Erdbeschleunigung g). Der Klotz wird aus der statischen Ruhelage des Systems in Richtung der Wegkoordinate x2 ausgelenkt. Unter der Voraussetzung, dass das Seil undehnbar und immer gespannt ist, ist die Vertikalschwingung des Klotzes (Wegkoordinate x2 ) kinematisch mit der Drehschwingung der Stufenrolle (Winkelkoordinate ϕ) gekoppelt. Die Koordinaten beziehen sich auf eine entspannte Feder und beginnen zum Zeitpunkt t = 0. Bestimmen Sie: a) die Bewegungsgleichung des Systems in Abhängigkeit der Winkelkoordinate ϕ der Stufenrolle. b) die statische Auslenkung ϕ0 des Systems infolge der Gewichtskräfte. Gegeben: g, m, r, d, c. Lösung Aufgabe 2: d ẋA ϕ c ẋA (1) A xA S (1) : H 3mg S (2) x2 mg 3 m ẍA = S − H − c xA − d ẋA + 3 m g θA ϕ̈ = S r + H 3 r (2) : m ẍ2 = −S + m g ⇒ S = m g − m ẍ2 (1) (2) (3) Klausur Technische Mechanik III Universität Siegen, Fachbereich Maschinenbau, 06.02.2010 Kinematik: ϕ̇ 3r r ẋ2 = ϕ̇ 4 r ẍ2 = 4 ϕ̈ r ẋA = ϕ̇ 3 r ẍA = 3 ϕ̈ r xA = ϕ 3 r M ẋA ẋ2 (4) (5) aus (1): S = H + c xA + d ẋA − 3 m g + 3 m ẍA (6) aus (2): H = θA ϕ̈ 1 − S 3r 3 (7) (6) in (7): 1 1 1 ϕ̈ − H − c x1 − d ẋA + m g − m ẍA 3r 3 3 3 ϕ̈ 1 1 3 3 H = θA − c xA − d ẋA + m g − m ẍA 4r 4 4 4 4 H = θA (3) u. (8) in (2): θA ϕ̈ = m g r − m ẍ2 r + θA 3 3 9 9 3 ϕ̈ − r c xA − r d ẋA + r m g − r m ẍA 4 4 4 4 4 (4) u. (5) einsetzen: 13 3 9 9 27 2 m g r − 4 m ϕ̈ r 2 + θA ϕ̈ − r 2 c ϕ − r 2 d ϕ̇0 − r m ϕ̈ 4 4 4 4 4 13 43 43 9 9 m r 2 ϕ̈ = mgr − mgr − m ϕ̈ r 2 − c ϕ r 2 − r 2 d ϕ̇ 4 4 4 4 4 θA ϕ̈ = 9 9 47 m r 2 ϕ̈ + d r 2 ϕ̇ + c ϕ r 2 − 4 4 4 9 c 9 d ϕ̇ + ϕ= ϕ̈ + 47 m 47 m Ruhelage: ϕ̇ = 0, ϕ̈ = 0 13 9 c ϕ0 = 47 m 47 13 ϕ0 = 9 g r g m r c 13 mgr = 0 4 13 g 47 r (8)