Baumdiagramm und Pfadregeln

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Baumdiagramm und Pfadregeln
Um sich Ergebnisse von Zufallsversuchen besser vorstellen zu können, hilft ein so genanntes
Baumdiagramm. Ein Baumdiagramm verzweigt sich immer weiter, je mehr „Stufen“ ein Experiment hat. Die
„Äste“ werden Pfade genannt. Auf die Pfade werden die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten geschrieben. Am
Ende eines „Pfadweges“ errechnet man dann mit der Produktregel die Wahrscheinlichkeit, mit der genau
dieses Ereignis eintrifft. Ob alle Pfade richtig berechnet wurden kann man feststellen, indem man die
Summe aller Wahrscheinlichkeiten bildet. Hier muss dann genau 1 herauskommen.
Regeln für mehrstufige Zufallsversuche:
Knotenregel: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Zweige, die von einem Knoten ausgehen,
beträgt 1.
1. Pfadregel (Produktregel): Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit
eines Ergebnisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades im
Baumdiagramm.
2. Pfadregel (Summenregel): Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit
eines Ergebnisses gleich der Summe der Ergebnisse der Pfade im Baumdiagramm, die zu diesem
Ergebnis führt.
Beispiel: Ein Glücksrad ist in unterschiedlich große Teile eingeteilt. Die Hälfte des Glücksrades ist rot
eingefärbt (die Wahrscheinlichkeit für rot beträgt also 1:2), ein Drittel ist blau eingefärbt (die
Wahrscheinlichkeit für blau beträgt also 1:3) und ein Sechstel ist gelb eingefärbt (die Wahrscheinlichkeit für
gelb beträgt also 1:6). Zunächst zeichnet man sich einen Startpunkt, also den Beginn des Experimentes.
Beim ersten Mal Drehen gibt es drei Möglichkeiten rot, blau oder gelb. Diese möglichen Ergebnisse zeichnet
man untereinander auf und verbindet sie mit Pfaden vom Startpunkt. Dann werden die Wahrscheinlichkeiten
auf die Pfade geschrieben. Beim zweiten Mal drehen gibt es wieder drei mögliche Ergebnisse. Diese werden
nun weiter rechts als zweite Stufe zu jedem Ausgang der ersten Stufe gezeichnet. Das bedeutet, dass man
durch zweimaliges Drehen insgesamt 9 mögliche Ausgänge haben kann (z.B. rot-rot, rot-blau, rot-gelb, blaurot, usw.). Auch hier schreibst du wieder die Einzelwahrscheinlichkeiten auf die Pfade. Am Ende eines
Ergebnisses wendest du dann die Produktregel an, d.h. du multiplizierst die Brüche, die entlang der Pfade
liegen und schreibst das Ergebnis an das
Ende (z.B.: die Wahrscheinlichkeit, dass
zweimal hintereinander rot gedreht wird,
beträgt 1:2 mal 1:2 = 1:4; die
Wahrscheinlichkeit,
dass
zweimal
hintereinander gelb gedreht wird, beträgt
also 1:6 mal 1:6 = 1:36; usw.). Jetzt kannst
du genau erkennen, wie groß die einzelnen
Wahrscheinlichkeiten sind.
Häufig gibt es Fragen, die auf mehrere
Ausgänge des Experimentes abzielen, wie
z.B. „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass zweimal hintereinander die gleiche
Farbe
gedreht
wird?“.
Mit
deinem
Baumdiagramm ist das kein Problem. Du
summierst
dann
nur
die
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade
„rot-rot + blau-blau + gelb-gelb“. Also: 1:4 +
1:9 + 1:36 = 14:36 (gekürzt: 7:18). Dieses
wäre dann die 2. Pfadregel (Summenregel).
„Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim
zweimaligen Drehen, dass mindestens
einmal gelb dabei ist?“. Sieh in das
Baumdiagramm und du wirst sehen, dass es
drei Möglichkeiten gibt (rot-gelb, blau-gelb
und gelb-gelb). Die Wahrscheinlichkeit
beträgt dann: 3:36 + 2:36 + 1:36 = 6:36 =
1:6!