Zinseszinsrechnung (mit und ohne KESt)

Ein Zugang zur Iteration (Zyklische Maschine)
Zinseszinsrechnung (mit und ohne KESt)
und Ratenrückzahlungsmodell
Walter Klinger (BG/BRG Stockerau)
1998
Themenbereich
Zinseszinsrechnung und Ratenrückzahlung
Inhalte
Ziele
• Vielschichtige Verwendung der möglichen
• Geschlossene Zinseszinsformel
Darstellungsformen durch den TI-92
• Iterativer Zugang zu diesem Thema
• Zinseszinsen unter Berücksichtigung der • Festigung iterativer Lösungsmodelle
KESt
• Ratenrückzahlungsmodell
Anmerkung: Diese Sequenz ist in einer 4. Klasse Realgymnasium durchgeführt worden. Diese
Klasse hat bereits in der dritten Klasse den TI-92 durchgängig den algebratauglichen
Taschenrechner im Rahmen des Forschungsprojektes eingesetzt. Vor dieser
Unterrichtssequenz wurde das HERON-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von
Wurzeln durchgeführt. Dadurch war das Modell der Iteration bekannt (siehe
Unterrichtmaterialien 4. Klasse)
Zinseszinsrechnung - mehrere Modelle
geschlossene Formel oder
Iteration (Zyklische Maschine)?
In der 2. Klasse werden die Formeln zur Berechnung von Prozentanteil, Grundwert und
Prozentsatz hergeleitet. In der 3. Klasse werden diese Begriffe vertieft. Es werden speziell die
Formeln für folgende Fragestellungen erarbeitet und gefestigt:
(1) Vermehre (vermindere) einen Betrag G um p % und berechne den Betrag um den vermehrt
(vermindert) wird
A=G.
p
100
(2) Vermehre (vermindere) einen Betrag G um p % und berechne den Betrag, den Du nach der
Vermehrung (Verminderung) erhältst
A = G . (1 +
p
)
100
Diese Begriffe werden nun mit den Begriffen des Bankwesens am Beispiel der Zinseszinsrechnung
in Verbindung gebracht.
Zinsenrechnung
(Anfangs-)Kapital K
Zinssatz p
Zinsen Z
Prozentrechnung
Grundwert G
Prozentsatz p
Prozentanteil A
Die Zinseszinsformel wird hergeleitet und als Anfangskapital die Varialbe K0 verwendet.
Kn = K0 . (1 +
p n
)
100
In der vierten Klasse werden diese Begriffe vertieft und erweitert:
Arbeitsblatt - Berechnung von Zinseszinsen
Beispiel:
Ein Kapital von 1000 Schilling wird mit einem Zinssatz von 5% p.a. auf die Bank gelegt und
nach 10 Jahren abgehoben.
a) Wieviel Geld hat man nach 10 Jahren zur Verfügung?
b) Könnte ich das Kapital von 1000 S gleich um 5*10% =50% vermehren um das Endkapital zu
erhalten?
c) Um Wieviel Prozent wurde das Anfangskapital vermehrt, um das Endkapital zu erhalten?
d) Nach wieviel Jahren wird dieses Kapital verdoppelt (vervierfacht) sein?
a) Mit dem MIT-Operator können in die Formel konkrete Zahlen eingesetzt werden:
Abbildung 1
Antwort zu a) :__________________________________________________________________
Weiters können die Fragen b) und c) beantwortet werden.
Abbildung 2
Antwort zu b) :__________________________________________________________________
Antwort zu c) :__________________________________________________________________
Nun wird die Frage d) beantwortet:
Abbildung 3
Antwort zu d) :__________________________________________________________________
Darstellung in einer Tabelle und graphische Darstellung:
Mit dem TI-92 lassen sich die Kapitalstände auch leicht graphisch darstellen
a) Mit dem Y= Editor im Modus FUNCTION erhalten wir eine durchgezogene Kurve
b) Mit dem Y= EDITOR und SEQUENCE-Modus erhalten wir nur Punkte:
Zyklische Maschine
Die Zinseszinsberechnung entspricht dem Modell einer Iteration:
Der Kapitalsatnd des nächsten Jahres läßt sich aus dem Kapital des vorherigen Jahres
berechnen
p
Kneu = Kalt * (1 +
)
100
oder
p
Kn = Kn-1 * (1 +
)
100
p
Kn+1 = Kn * (1 +
)
100
oder durch die vom TI.92 gewünschte Formel
p
u2(n) = u2(n-1) * (1 +
)
100
Im HOME-Fenster:
Abbildung 4 "Einsetzweg"
Abbildung 5 "Definitionsweg"
Im Y= Fenster:
Abbildung 6 "SEQUENCE-Weg"
In der Tabelle:
Abbildung 7
Graphisch:
Abbildung 8
Abbildung 9
Definieren von Funktionen
Es werden die Formel allgemein und die konkreten Werte des Anfangskapitals und des Zinssatzes
definiert (Abbildung 10)
Abbildung 10
Dadurch kann man sich leicht das Kapital K(10) berechnen und man erhält ca. 1628,89 Schilling.
Berechnungen mit KESt und ohne KESt:
Von den Sparzinsen wird eine Kapitalertragssteuer (KESt.) in der Höhe von 25 % vom Geldinstitut
einbehalten und an das Finanzamt abgeführt.
Dadurch tritt ein neuer Begriff auf: Effektiver Zinssatz, kurz peff !
Dieser effektive Zinssatz gibt an, wie viele Prozent man wirklich bekommt und damit kann man die
effektiven Zinsen berechnen, also die Zinsen, die man wirklich erhält.
peff = p * 0.75
Dadurch verändert sich die Formel zur Berechnung des Guthabens nach einem Jahr in
Kn = K0 ( 1 +
peff n
)
100
oder
Kn = K0 ( 1 +
p*0.75 n
)
100
Ein Vergleich der Entwicklung der Kapitalstände mit und ohne KESt zeigt, daß dadurch das
Guthaben der Sparer beträchtlich verändert wird (5% Zinsen heißt in Wirklichkeit 3,75%)
Auch die Iterationsformel ändert sich dadurch nur indem man p durch den effektiven Zinssatz
ersetzt.
Beispiel:
1685 verkauften die Indianer die Insel Manhatten für 24 Dollar an die Weissen. Wieviel Geld
wäre das heute, wenn sie das Geld zu 6% Zinsen auf die Bank gelegt hätten?
Durch die Formel 24*1,06313 erhalten wir 1.99962E9 also ca. 1999620000 Dollar. Wenn wir die
Einstellung FIX 12 verwenden erhalten wir 1999618147,75 Dollar. Auch in der Tabelle läßt sich
der Betrag ablesen (Abbildung 10). In der Graphik (Abbildung 12 - oberer Graph) erlebt man, daß
am Beginn sich nicht viel verändert, jedoch wird dieses exponentielle Wachstum nach vielen Jahren
sehr deutlich sichtbar.
Bei diesem Beispiel könnte man auch noch die KESt fiktiv berücksichtigen und die Auswirkung der
Kest auf den Guthabenstand untersuchen. Für die Schüler ist der Unterschied einprägsam und
überraschend (siehe Abbildung 13)! Die Rechenzeit und die Zeit für den Aufbau der Graphik ist
jedoch schon beträchtlich!. In der Graphik verschwindet der Betrag ohne KESt gegenüber dem
Betrag ohne KESt (siehe Abbildung 15)
Abbildung 11
Abbildung 12
Abbildung 13
Abbildung 14
Abbildung 15
Kredite - Ratenrückzahlung - Schuldentilgung
Beispiel (Auszug aus einem Vortrag von H.Heugl (Klagenfurt 1998))
Ein Schuldentilgungsproblem:
Jemand nimmt sich einen Kredit von S 100.000,- bei einem Zinssatz von 9% und zahlt
jährlich am Ende des Jahres eine Rate von S 15.000,-. Nach wieviel Jahren ist die Schuld
getilgt?
Im traditionellen Unterricht können solche Aufgaben frühestens in der 10. Schulstufe
bearbeitet werden, da man geometrische Reihen und das Rechnen mit Logarithmen benötigt.
Durch den Computer stehen neue Modelle zur Verfügung, nämlich rekursive Modelle. Damit
werden solche Probleme bereits in der 7. Schulstufe behandelt.
Der erste Schritt ist das Finden der Wortformel:
„Das Kapital wird verzinst und die Rate wird abgezogen“
oder in die Sprache der Mathematik übersetzt:
Kneu = Kalt*(1+p/100) - R
Durch die aktive Tätigkeit des Speicherns und wieder Abrufens werden die zwei wichtigen
Schritte des iterativen Prozesses bewusst: Das Ausführen der Funktion und das Rückkoppeln
(Abb. 16). Durch Diskussion der Wertetabelle werden die Eigenschaften exponentieller
Wachstumsprozesse viel klarer als durch das Rechnen mit Logarithmen. Man erkennt die
Problematik der Schuldentilgung: Am Anfang wird der größte Teil der Raten für die Tilgung
der Zinsen verwendet (Abb. 17). Die experimentelle Lösung erfolgt durch Wiederholung der
Tätigkeit bis zum ersten negativen Wert. Der mitlaufende Zähler gibt auch die Anzahl der
Jahre wieder (Abb. 18)
Abbildung 16
Abbildung 17
Abbildung 18
Nach der Problematisierung dieser Modelle in einer White Box Phase kann das Simulieren
dem CAS als Black Box durch Nutzen des Sequence Mode überlassen werden.
Dieses Beispiel läßt sich durch folgendes Beispiel erweitern:
Beispiel
Jemand nimmt sich einen Kredit von S 300.000,- bei einem Zinssatz von 8% und zahlt
jährlich am Ende des Jahres eine Rate von a) S 24.000,- b) S 40.000 und c) S 15.000. Nach
wieviel Jahren ist die Schuld getilgt?
Abbildung 19
Abbildung 20
Abbildung 21
Abbildung 22
Abbildung 23
Die Diskussion in der Klasse sollte einerseits die Bedeutung der Rate im Bezug zu den Zinsen
erarbeiten, andererseits ist eine schnelle Veränderung und Simulation neuer Daten
ermöglichen. Man könnte auch in Partnerarbeit die Schüler dazu anhalten, daß einer die
"Bank" spielt und der andere den Kreditnehmer. Der Kreditnehmer hat bestimmte
Vorstellungen über die Höhe des Kredites und über sein Rückzahlungsvermögen. Der
"Kreditvergeber" kann sofort die dazugehörigen Fragen beantworten. Weiters lassen sich auch
sehr schnell die Veränderungen der Kreditzinsen simulieren und Auswirkung auf den
Zeitpunkt der Schuldenfreiheit bestimmen.
Beispiel:
Jemand nimmt sich einen Kredit von S 300.000,- bei einem Zinssatz von a) 6%, b)8%, c)
10% und zahlt jährlich am Ende des Jahres eine Rate von S 40.000. Nach wieviel Jahren ist
die Schuld getilgt?
Abbildung 24
Abbildung 25
Abbildung 26
Auch die Fragen nach der gleichbleibenden Rückzahlungsrate, wenn der Zeitpunkt des
ausgezahlten Kredites bekannt ist läßt sich experimentell lösen.
Beispiel:
Jemand nimmt sich einen Kredit von S 100.000,- bei einem Zinssatz von 9% und will den
Kredit nach 10 Jahren ausbezahlt haben! Welche jährliche Rate muß dann zurückgezahlt
werden?
Dieses Experimentieren erfordert aber auch immer einen Test, wobei dieser durch einen
anderen Zugang mit dem TI-92 erfolgen sollte. Durch diese Vorgangsweise lassen sich Fehler
beim Modellbilden oder Testen ausfindig machen und thematisieren.
Abbildung 24
Abbildung 25
Abbildung 26
Abbildung 27