Das Lemma von Zorn

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Das Lemma von Zorn
PD Dr. Nils Rosehr
8. Juni 2011
Lemma von Zorn. Eine partiell geordnete Menge, in der jede Kette (d.h.
total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, besitzt ein maximales Element (d.h. ein Element zu dem es kein größeres gibt).
Beweis. Sei (M, <) eine partiell geordnete Menge. Wäre das Lemma falsch,
so hätte jede Kette K sogar eine echte obere Schranke σ(K) (hier geht das
Auswahlaxiom ein). Wir nennen eine Kette K eine σ-Kette, wenn K wohlgeordnet ist (d.h. jede nicht-leere Teilmenge von K hat ein Minimum) und für
alle x ∈ K gilt σ(Kx ) = x für das Anfangsstück Kx := {y ∈ K : y < x}.
(∗)
Für σ-Ketten K und L gilt K = L oder Kx = L oder K = Lx
für ein x aus K bzw. L:
Seien die ersten beiden Aussagen falsch. Wir zeigen zunächst:
(∗∗) für x ∈ K gilt x ∈ L und Kx = Lx :
Wir beweisen (∗∗) mit dem Prinzip der transfiniten Induktion: Wähle x ∈ K
minimal, so dass (∗∗) falsch ist. Dann Kx ⊆ L, da Kx < x, also nach Annahme
Kx ( L. Für z := min L \ Kx gilt Kx < z, denn sonst gäbe es y ∈ Kx
mit z < y; für y gilt (∗∗), also wäre y ∈ L und Ky = Ly 3 z, und somit
z ∈ Kx , ein Widerspruch. Wegen der minimalen Wahl von z folgt Kx = Lz
und x = σ(Kx ) = σ(Lz ) = z ∈ L und somit (∗∗).
Jetzt folgt K ⊆ L aus (∗∗) und K ( L nach Annahme. Also folgt wörtlich
(mit K an Stelle von Kx ) wie oben K = Lz . Das zeigt (∗).
Sei nun A die Vereinigung über alle σ-Ketten. Sei X ⊆ A und x ∈ X. Dann
existiert eine σ-Kette K mit x ∈ K, und z := min X ∩K ist auch ein Minimum
von X, denn für y ∈ X und eine σ-Kette L mit y ∈ L folgt x < y aus (∗). Also
ist A wohlgeordnet. Für x ∈ A und eine σ-Kette K mit x ∈ K folgt Ax = Kx
aus (∗). Also ist A eine σ-Kette. Dann ist auch A ∪ {σ(A)} eine σ-Kette, was
im Widerspruch zu A ∪ {σ(A)} ⊆ A < σ(A) steht.
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Wohlordnungssatz. Auf jeder Menge existiert eine Wohlordnung, d.h. eine
Ordnung in der jede nicht-leere Teilmenge ein Minimum hat.
Beweis. Sei M eine Menge und sei A die Menge der Teilmengen A von M , so
dass auf A eine Wohlordnung <A existiert. Die Menge A ist partiell geordnet:
es gelte A < B genau dann, wenn <A eine Einschränkung von <B ist und ein
b ∈ B existiert mit A = {a
S ∈ B : a <B b}. Ist C eine Kette in A, so sieht
man leicht, dass sich auch C wohlordnen lässt. Also gibt es in A nach dem
Zornschen Lemma ein maximales Element A. Wäre A eine echte Teilmenge
von M , so könnte man zu A ein Element m ∈ M \ A als Maximum hinzufügen,
im Widerspruch zur Maximalität von A. Also ist M = A wohlgeordnet.
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Das Auswahlaxiom folgt aus dem Wohlordnungssatz, denn ist
S A eine Menge
nicht-leerer
Mengen,
so
können
wir
die
Vereinigungsmenge
A wohlordnen
S
und A → A, A 7→ min A ist eine Auswahlfunktion. Wir haben also das Zornsche Lemma aus dem Auswahlaxiom, den Wohlordnungssatz aus dem Zornschen Lemma und schließlich das Auswahlaxiom aus dem Wohlordnungssatz
abgeleitet. Alle drei Aussagen sind daher äquivalent.
Anwendung in der linearen Algebra. Wir zeigen mit dem Zornschen Lemma, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Sei U die Menge aller linear unabhängigen Teilmengen eines Vektorraums V zusammen mit der MengeninkluS
sion als partielle Ordnung, und sei K ⊆ U eine Kette. Dann ist auch
K eine
S
linear unabhängige Teilmenge, weil eine endliche Teilmenge von K schon in
einem Element von K enthalten ist (eine Menge ist genau dann linear unabhängig ist, wenn jede ihrer endlichen Teilmengen linear unabhängig ist). Also
besitzt U nach dem Zornschen Lemma ein maximales Element; eine maximale
linear unabhängige Teilmenge ist aber ein Basis.
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