Lösungsvorschlag zur Blütenaufgabe „Berühmte Pyramiden“

Lösungsvorschlag zur Blütenaufgabe „Berühmte Pyramiden“
1. a) Die Eckpunkte haben folgende Koordinaten A (0|0|0), B(35|0|0), C(35|35|0), D (0|35|0)
und E (17,5|21,5|17,5). Die Projektionsebene ist die x-y-Ebene mit der Gleichung z=0. Um 10
Uhr findet die Projektion in Richtung des Vektors
statt. Punkt E wird auf die xy-
Ebene mit Hilfe der schiefen Parallelprojektion projeziert:
Der Flächeninhalt des Schattens ist:
Um 13 Uhr wird der Punkt E in Richtung des Vektors
projiziert.
Der Projektionspunkt liegt innerhalb der Pyramide, deshalb wirft die Pyramide um 13 Uhr
keinen Schatten.
b) Wir berechnen die Projektionsrichtung: Einfachheit halber liegt der Vektor v in der y-zEbene, d.h. x Koordinate des Vektors v ist 0. Um die y- bzw. z-Koordinate auszurechnen,
berechnen wir den Tangens vom Winkel 27°.
c) Hier handelt es sich um Zentralprojektion von dem Punkt P(45|0|0). Wie benutzen die y-zEbene als Hilfsebene mit der Gleichung x=0, wohin der Punkt E und C projiziert werden. Der
Normalvektor zu dieser Ebene lautet
Die
Zentralprojektion
berechnet.
wird
mit
. Die Projektionspunkte heißen E`` und C``.
der
Formel
Gerade durch Punkte P und E`` hat die Gleichung:
Der Schnittpunkt dieser Gerade mit der Ebene
:
Einsetzen in die Geradengleichung liefert der Punkt in der Ebene x=-20.
Der Eckpunkt C wirft auch einen Schatten auf das Gebäude in der x=-20 Ebene.
Die Gerade durch Punkte C`` und P hat die Gleichung:
Der Schnittpunkt diese Gerade mit der Ebene x=-20 (Bildpunkt auf dem Gebäude):
Antwort: Da der Schatten von dem Punktstrahler die Seiten CD und AD bedeckt, sind sie außer
Betracht. Es bleiben noch die Seiten AB und BC. Um 10 Uhr ist der Schatten 379 m² groß. Doch
für uns ist nur der Teil von der Seite BC wichtig. Hier ist der Schatten 206 m² groß. Höchst
wahrscheinlich wirft die Pyramide von 12 Uhr bis nach 13 Uhr keinen Schatten. Um 18 Uhr
befindet sich der Schatten auf der Seite AB und ist 236,3 m² groß. Obwohl der Schatten um 18
Uhr am größten ist, ist unsere Empfehlung die Tische auf die Seite BC zu positionieren, da die
Sonnenstrahlen um 10 Uhr (auch um 11 Uhr) heißer sind als abends. Der andere Vorschlag wäre
die Tische um das Eck B zu platzieren, da dort der Schatten Nachmittag zu erwarten ist.
2) a) Überlegungen: Um einen solchen Schatten zu berechnen machen wir uns zunächst einmal
klar, wie es aussehen würde, wenn die zweite Pyramide nicht da wäre.
Richtung der Sonnenstrahlen:
. Einfachheit halber legen wir die Spitze der Pyramide
auf die z-Achse: E(0|0|6) und die Ecken der Pyramide auf die x- bzw. y-Achse: A(4|0|0),
B(0|4|0), C(-4|0|0) und D(0|-4|0).
Bestimme die drei Dreiecke, die den Schattenraum begrenzen.
b) Bestimme den Schnittpunkt L des von der Pyramidenspitze E einfallenden Lichtstrahls mit einer
Seite der Cheopspyramide. Weitere Punkte: K(4|-6|6), F(8|-6|0), G(4|-2|0), H(0|-6|0)
Die Ebene KGH hat die Gleichung:
Schnittpunkt des Sonnenstrahlens mit der Ebene ist:
Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene KGH:
Dieser Schnittpunkt liegt nicht auf der Pyramidenseite.
c) Wir berechnen den Schnittpunkt L der Ebene KFG mit der Gerade g.
Die Ebene KFG hat die Gleichung:
In Normalform:
d) Bestimme ebenso die Punkte M, V und U.
Wir bestimmen die Schnittpunkte der Geraden AE‘ und DE‘ mit der anderen Pyramide.
Gleichung der Gerade AE‘ hat die Form:
Schnittpunkt M mit der Ebene KFG:
Die Gerade DE‘ hat die Gleichung:
Der Schnitt punkt V mit der Ebene KGH:
Der Punkt U ist der Schnittpunkt der Ebene EE’D mit der Kante KG.
Wir rechnen zuerst die Gleichung der Ebene EE’D:
Die Gleichung der Gerade KG (Kante) lautet:
Der Schnittpunkt U:
Der Schatten der Chephren-Pyramide auf der Cheops-Pyramide hat folgende Koordinaten:
D(0|-4|0), V(0,8|-5,2|0), U(4|-4,2|3,3), L(12,5|-12,5|2,25), M(7,75|-6,25|0) und A(4|0|0).
e) Die Schattenfläche wird in drei Unterflächen aufgeteilt (ΔAGM, ΔADG, ΔVGD).
Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann man mit der Formel
, wo
berechnen:
.
Wir berechnen die Seiten von dem Dreieck (AGM):
Analog lassen sich die Flächen für das Dreieck (ADG) und (VGD) berechnen.
Der Flächeninhalt des Schattens ist dann 11,15 FE.
Eine Längeneinheit entspricht 10 Meter. Das heißt eine Flächeneinheit entspricht 100 m2.
Dann ist der Schatten 1115 m2 groß.
Mit der Berücksichtigung der Wege zwischen den Händlertischen und des Platzes für
Touristen bekommt jeder Händler statt 4 m² minimal 10m². Das bedeutet, dass es sich dort
maximal ca.100 Händler sammeln können.
Aus: Kroll, Reiffert , Vaupel: Analytische Geometrie / Lineare Algebra; Dümmler 1997