Critério Implícito de Optimalidade para Programação Semi

Critério Implı́cito de Optimalidade para
Programação Semi-Infinita Convexa
Tatiana Tchémisova
Universidade de Aveiro, Portugal
[email protected]
Encontro CIMA-CEOC, Aveiro, 12 de Junho de 2006
Outline
1 Introdução
Formulação do problema
Métodos de SIP
2
Pontos imóveis e ordens de imobilidade
Definições
Algoritmo DIO
3 Critério Implı́cito de Optimalidade
Critério Implı́cito de Optimalidade
Um exemplo de aplicação do Critério Implı́cito de Optimalidade
Comparação com o método de redução
4 Conclusões
Formulação do problema
Problema Convexo de Programação Semi-Infinita com
contı́nuum de restrições:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, t) ≤ 0, t ∈ T = [t∗ , t∗ ] ⊂ R,
onde x ∈ Rn ; c e f são funções convexas em x.
O conjunto admissı́vel para prtoblema (1) é
X = {x ∈ Rn : f (x, t) ≤ 0, t ∈ T}.
(1)
Formulação do problema
Problema Convexo de Programação Semi-Infinita com
contı́nuum de restrições:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, t) ≤ 0, t ∈ T = [t∗ , t∗ ] ⊂ R,
onde x ∈ Rn ; c e f são funções convexas em x.
O conjunto admissı́vel para prtoblema (1) é
X = {x ∈ Rn : f (x, t) ≤ 0, t ∈ T}.
(1)
Formulação do problema
Problema Convexo de Programação Semi-Infinita com
contı́nuum de restrições:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, t) ≤ 0, t ∈ T = [t∗ , t∗ ] ⊂ R,
onde x ∈ Rn ; c e f são funções convexas em x.
O conjunto admissı́vel para prtoblema (1) é
X = {x ∈ Rn : f (x, t) ≤ 0, t ∈ T}.
(1)
Formulação do problema
Problema Convexo de Programação Semi-Infinita com
contı́nuum de restrições:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, t) ≤ 0, t ∈ T = [t∗ , t∗ ] ⊂ R,
onde x ∈ Rn ; c e f são funções convexas em x.
O conjunto admissı́vel para prtoblema (1) é
X = {x ∈ Rn : f (x, t) ≤ 0, t ∈ T}.
(1)
Formulação do problema
Problema Convexo de Programação Semi-Infinita com
contı́nuum de restrições:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, t) ≤ 0, t ∈ T = [t∗ , t∗ ] ⊂ R,
onde x ∈ Rn ; c e f são funções convexas em x.
O conjunto admissı́vel para prtoblema (1) é
X = {x ∈ Rn : f (x, t) ≤ 0, t ∈ T}.
(1)
Formulação do problema
Problema Convexo de Programação Semi-Infinita com
contı́nuum de restrições:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, t) ≤ 0, t ∈ T = [t∗ , t∗ ] ⊂ R,
onde x ∈ Rn ; c e f são funções convexas em x.
O conjunto admissı́vel para prtoblema (1) é
X = {x ∈ Rn : f (x, t) ≤ 0, t ∈ T}.
(1)
Formulação do problema
Problema Convexo de Programação Semi-Infinita com
contı́nuum de restrições:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, t) ≤ 0, t ∈ T = [t∗ , t∗ ] ⊂ R,
onde x ∈ Rn ; c e f são funções convexas em x.
O conjunto admissı́vel para prtoblema (1) é
X = {x ∈ Rn : f (x, t) ≤ 0, t ∈ T}.
(1)
Formulação do problema
Problema Convexo de Programação Semi-Infinita com
contı́nuum de restrições:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, t) ≤ 0, t ∈ T = [t∗ , t∗ ] ⊂ R,
onde x ∈ Rn ; c e f são funções convexas em x.
O conjunto admissı́vel para prtoblema (1) é
X = {x ∈ Rn : f (x, t) ≤ 0, t ∈ T}.
(1)
Métodos de SIP
• Discretização
Resolve-se o problema discretizado:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ T, l = 1, . . . , N.
(2)
• Redução (”reduction ansatz”)
Resolve-se o problema reduzido:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl (x)) ≤ 0, tl (x) ∈ T, l = 1, . . . , p.
(3)
Métodos de SIP
• Discretização
Resolve-se o problema discretizado:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ T, l = 1, . . . , N.
(2)
• Redução (”reduction ansatz”)
Resolve-se o problema reduzido:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl (x)) ≤ 0, tl (x) ∈ T, l = 1, . . . , p.
(3)
Métodos de SIP
• Discretização
Resolve-se o problema discretizado:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ T, l = 1, . . . , N.
(2)
• Redução (”reduction ansatz”)
Resolve-se o problema reduzido:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl (x)) ≤ 0, tl (x) ∈ T, l = 1, . . . , p.
(3)
Métodos de SIP
• Discretização
Resolve-se o problema discretizado:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ T, l = 1, . . . , N.
(2)
• Redução (”reduction ansatz”)
Resolve-se o problema reduzido:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl (x)) ≤ 0, tl (x) ∈ T, l = 1, . . . , p.
(3)
Métodos de SIP
• Discretização
Resolve-se o problema discretizado:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ T, l = 1, . . . , N.
(2)
• Redução (”reduction ansatz”)
Resolve-se o problema reduzido:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl (x)) ≤ 0, tl (x) ∈ T, l = 1, . . . , p.
(3)
Métodos de SIP
• Discretização
Resolve-se o problema discretizado:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ T, l = 1, . . . , N.
(2)
• Redução (”reduction ansatz”)
Resolve-se o problema reduzido:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl (x)) ≤ 0, tl (x) ∈ T, l = 1, . . . , p.
(3)
Métodos de SIP
• Discretização
Resolve-se o problema discretizado:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ T, l = 1, . . . , N.
(2)
• Redução (”reduction ansatz”)
Resolve-se o problema reduzido:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl (x)) ≤ 0, tl (x) ∈ T, l = 1, . . . , p.
(3)
Métodos de SIP
• Discretização
Resolve-se o problema discretizado:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ T, l = 1, . . . , N.
(2)
• Redução (”reduction ansatz”)
Resolve-se o problema reduzido:
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl (x)) ≤ 0, tl (x) ∈ T, l = 1, . . . , p.
(3)
Problema SIPred
Seja x0 ∈ X.
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ Ta (x0 ), l = 1, . . . , p,
onde Ta (x0 ) := {t ∈ T : f (t, x0 ) = 0} é o conjunto de pontos activos em x0 .
Problema SIPred
Seja x0 ∈ X.
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ Ta (x0 ), l = 1, . . . , p,
onde Ta (x0 ) := {t ∈ T : f (t, x0 ) = 0} é o conjunto de pontos activos em x0 .
Problema SIPred
Seja x0 ∈ X.
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ Ta (x0 ), l = 1, . . . , p,
onde Ta (x0 ) := {t ∈ T : f (t, x0 ) = 0} é o conjunto de pontos activos em x0 .
Problema SIPred
Seja x0 ∈ X.
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ Ta (x0 ), l = 1, . . . , p,
onde Ta (x0 ) := {t ∈ T : f (t, x0 ) = 0} é o conjunto de pontos activos em x0 .
Problema SIPred
Seja x0 ∈ X.
c(x) −→ min,
s.a. f (x, tl ) ≤ 0, tl ∈ Ta (x0 ), l = 1, . . . , p,
onde Ta (x0 ) := {t ∈ T : f (t, x0 ) = 0} é o conjunto de pontos activos em x0 .
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Notações
f (0) (x, t) = f (x, t), f (s) (x, t) = ∂ s f (x, t)/∂ts , s ∈ N.
Dado q ∈ Z, seja N(q) o conjunto definido na maneira seguinte:
N(q) = ∅, se q < 0, N(q) = {0, 1, . . . , q} se q ≥ 0, q ∈ Z.
Dado t ∈ T, x ∈ X , seja ρ = ρ(x, t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } o número tal que
f (s) (x, t) = 0, s ∈ N(ρ),
f (ρ+1) (x, t) 6= 0.
(4)
Presupostos
Presuposto 1.
X 6= ∅ e
∃ x̄ ∈ X tal que |Ta (x̄)| é finito e ρ(x̄, t) < ∞, t ∈ T.
Presuposto 2.
Existe x̂ ∈ X tal que f (x̂, t∗ ) 6= 0,
f (x̂, t∗ ) 6= 0.
Presupostos
Presuposto 1.
X 6= ∅ e
∃ x̄ ∈ X tal que |Ta (x̄)| é finito e ρ(x̄, t) < ∞, t ∈ T.
Presuposto 2.
Existe x̂ ∈ X tal que f (x̂, t∗ ) 6= 0,
f (x̂, t∗ ) 6= 0.
Presupostos
Presuposto 1.
X 6= ∅ e
∃ x̄ ∈ X tal que |Ta (x̄)| é finito e ρ(x̄, t) < ∞, t ∈ T.
Presuposto 2.
Existe x̂ ∈ X tal que f (x̂, t∗ ) 6= 0,
f (x̂, t∗ ) 6= 0.
Presupostos
Presuposto 1.
X 6= ∅ e
∃ x̄ ∈ X tal que |Ta (x̄)| é finito e ρ(x̄, t) < ∞, t ∈ T.
Presuposto 2.
Existe x̂ ∈ X tal que f (x̂, t∗ ) 6= 0,
f (x̂, t∗ ) 6= 0.
Presupostos
Presuposto 1.
X 6= ∅ e
∃ x̄ ∈ X tal que |Ta (x̄)| é finito e ρ(x̄, t) < ∞, t ∈ T.
Presuposto 2.
Existe x̂ ∈ X tal que f (x̂, t∗ ) 6= 0,
f (x̂, t∗ ) 6= 0.
Presupostos
Presuposto 1.
X 6= ∅ e
∃ x̄ ∈ X tal que |Ta (x̄)| é finito e ρ(x̄, t) < ∞, t ∈ T.
Presuposto 2.
Existe x̂ ∈ X tal que f (x̂, t∗ ) 6= 0,
f (x̂, t∗ ) 6= 0.
Presupostos
Presuposto 1.
X 6= ∅ e
∃ x̄ ∈ X tal que |Ta (x̄)| é finito e ρ(x̄, t) < ∞, t ∈ T.
Presuposto 2.
Existe x̂ ∈ X tal que f (x̂, t∗ ) 6= 0,
f (x̂, t∗ ) 6= 0.
Presupostos
Presuposto 1.
X 6= ∅ e
∃ x̄ ∈ X tal que |Ta (x̄)| é finito e ρ(x̄, t) < ∞, t ∈ T.
Presuposto 2.
Existe x̂ ∈ X tal que f (x̂, t∗ ) 6= 0,
f (x̂, t∗ ) 6= 0.
Ordem de imobilidade
Definição1
Seja o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja t ∈ T.
Ao número q(t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } é chamado ordem de imobilidade de t se
1 para cada x ∈ X está satisfeito:
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)),
2
(5)
existe x̃ = x(t) ∈ X tal que
f (q(t)+1) (x̃, t) 6= 0.
(6)
Ordem de imobilidade
Definição1
Seja o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja t ∈ T.
Ao número q(t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } é chamado ordem de imobilidade de t se
1 para cada x ∈ X está satisfeito:
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)),
2
(5)
existe x̃ = x(t) ∈ X tal que
f (q(t)+1) (x̃, t) 6= 0.
(6)
Ordem de imobilidade
Definição1
Seja o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja t ∈ T.
Ao número q(t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } é chamado ordem de imobilidade de t se
1 para cada x ∈ X está satisfeito:
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)),
2
(5)
existe x̃ = x(t) ∈ X tal que
f (q(t)+1) (x̃, t) 6= 0.
(6)
Ordem de imobilidade
Definição1
Seja o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja t ∈ T.
Ao número q(t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } é chamado ordem de imobilidade de t se
1 para cada x ∈ X está satisfeito:
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)),
2
(5)
existe x̃ = x(t) ∈ X tal que
f (q(t)+1) (x̃, t) 6= 0.
(6)
Ordem de imobilidade
Definição1
Seja o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja t ∈ T.
Ao número q(t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } é chamado ordem de imobilidade de t se
1 para cada x ∈ X está satisfeito:
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)),
2
(5)
existe x̃ = x(t) ∈ X tal que
f (q(t)+1) (x̃, t) 6= 0.
(6)
Ordem de imobilidade
Definição1
Seja o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja t ∈ T.
Ao número q(t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } é chamado ordem de imobilidade de t se
1 para cada x ∈ X está satisfeito:
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)),
2
(5)
existe x̃ = x(t) ∈ X tal que
f (q(t)+1) (x̃, t) 6= 0.
(6)
Ordem de imobilidade
Definição1
Seja o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja t ∈ T.
Ao número q(t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } é chamado ordem de imobilidade de t se
1 para cada x ∈ X está satisfeito:
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)),
2
(5)
existe x̃ = x(t) ∈ X tal que
f (q(t)+1) (x̃, t) 6= 0.
(6)
Ordem de imobilidade
Definição1
Seja o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja t ∈ T.
Ao número q(t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } é chamado ordem de imobilidade de t se
1 para cada x ∈ X está satisfeito:
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)),
2
(5)
existe x̃ = x(t) ∈ X tal que
f (q(t)+1) (x̃, t) 6= 0.
(6)
Ordem de imobilidade
Definição1
Seja o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja t ∈ T.
Ao número q(t) ∈ {−1, 0, 1, . . . } é chamado ordem de imobilidade de t se
1 para cada x ∈ X está satisfeito:
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)),
2
(5)
existe x̃ = x(t) ∈ X tal que
f (q(t)+1) (x̃, t) 6= 0.
(6)
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Pontos imóveis
Da Definição 1 e das restrições do problema (1) vem
se t ∈ int T, então q(t) + 1 é par e f (q(t)+1) (x̃, t) < 0.
Do Presuposto 2:
q(t∗ ) = q(t∗ ) = −1.
Definição 2
Ao ponto t ∈ T chama-se ponto imóvel do problema (1) se q(t) > −1.
Nota. Problema SIP satisfaz a condição de Slater:
∃x̄ : f (x̄, t) < 0, ∀t ∈ T,
se e somente se q(t) = −1, ∀t ∈ T.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO (Determination of
immobile points and their immobility
orders)
Considere o problema semi-infinito convexo na forma (1).
Seja x̄ ∈ X com Ta (x̄) = {ti , i ∈ I}, I = I(x̄) = {1, 2, . . . , p̄},
onde p̄ := p(x̄) < ∞.
Iniciação.
(0)
Seja k := 0, qi
= −1, ∀i ∈ I.
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
(k)
Inicia com qi , i ∈ I, construı́dos nas iterações anteriores
(k)
(∀i ∈ I ou qi
(k)
é ı́mpar, ou qi
= −1).
• Para cada i ∈ I:
(k)
Xi
•
(k)
(k)
= {z ∈ Rn : f (s) (z, ti ) = 0, s ∈ N(qi ), f (qi
X (k) =
\
i∈I
(k)
Xi .
+1)
(z, ti ) ≤ 0}, (7)
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Para todo i ∈ I, considere o problema auxiliar:
(k)
f (qi
+1)
(z, ti ) −→ min, s.a. z ∈ X (k) .
z
(8)
Seja x(i) a solução óptima de (8), caso existir.
Caso contrário, designa por x(i) uma solução admissı́vel do problema
(8) que satisfaz:
(k)
f (qi +1) (x(i) , ti ) < 0.
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Para todo i ∈ I, considere o problema auxiliar:
(k)
f (qi
+1)
(z, ti ) −→ min, s.a. z ∈ X (k) .
z
(8)
Seja x(i) a solução óptima de (8), caso existir.
Caso contrário, designa por x(i) uma solução admissı́vel do problema
(8) que satisfaz:
(k)
f (qi +1) (x(i) , ti ) < 0.
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Para todo i ∈ I, considere o problema auxiliar:
(k)
f (qi
+1)
(z, ti ) −→ min, s.a. z ∈ X (k) .
z
(8)
Seja x(i) a solução óptima de (8), caso existir.
Caso contrário, designa por x(i) uma solução admissı́vel do problema
(8) que satisfaz:
(k)
f (qi +1) (x(i) , ti ) < 0.
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Para todo i ∈ I, considere o problema auxiliar:
(k)
f (qi
+1)
(z, ti ) −→ min, s.a. z ∈ X (k) .
z
(8)
Seja x(i) a solução óptima de (8), caso existir.
Caso contrário, designa por x(i) uma solução admissı́vel do problema
(8) que satisfaz:
(k)
f (qi +1) (x(i) , ti ) < 0.
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Para todo i ∈ I, considere o problema auxiliar:
(k)
f (qi
+1)
(z, ti ) −→ min, s.a. z ∈ X (k) .
z
(8)
Seja x(i) a solução óptima de (8), caso existir.
Caso contrário, designa por x(i) uma solução admissı́vel do problema
(8) que satisfaz:
(k)
f (qi +1) (x(i) , ti ) < 0.
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Para todo i ∈ I, considere o problema auxiliar:
(k)
f (qi
+1)
(z, ti ) −→ min, s.a. z ∈ X (k) .
z
(8)
Seja x(i) a solução óptima de (8), caso existir.
Caso contrário, designa por x(i) uma solução admissı́vel do problema
(8) que satisfaz:
(k)
f (qi +1) (x(i) , ti ) < 0.
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Para todo i ∈ I, considere o problema auxiliar:
(k)
f (qi
+1)
(z, ti ) −→ min, s.a. z ∈ X (k) .
z
(8)
Seja x(i) a solução óptima de (8), caso existir.
Caso contrário, designa por x(i) uma solução admissı́vel do problema
(8) que satisfaz:
(k)
f (qi +1) (x(i) , ti ) < 0.
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Algoritmo DIO
Iteração geral (k ≥ 0)
• Considere o conjunto
(k)
I (k) := {i ∈ I : f (qi
+1)
(x(i) , ti ) = 0}.
• Se I (k) = ∅, o algoritmo pára com
(k)
q(ti ) = qi , i ∈ I; q(t) = −1, t ∈ T\Ta (x̄).
• Se I (k) 6= ∅, então:
(k+1)
qi
(k)
(k+1)
:= qi + 2, se i ∈ I (k) ; qi
• Começa a próxima iteração com k := k + 1.
(k)
:= qi , se i ∈ I\I (k) .
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Propriedades do Algoritmo DIO
• O algoritmo é finı́to: k∗ ≤
P ρ(x̄,ti )+1
i∈I
2
.
• Justificação do Algoritmo DIO:
Theorem (1)
Dado t ∈ T, o valor q(t) encontrado pelo Algoritmo DIO satisfaz Definição
1.
Nota. A demonstração do Teorema 1 é baseado no algoritmo de construção
duma solução admissı́vel x̃ ∈ X tal que
1
2
f (r) (x, t) = 0, r ∈ N(q(t)), x ∈ X;
f (q(t)+1) (x̃, t) < 0, for all t ∈ T.
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema convexo semi-infinito (1) que satisfaz os Presupostos
1 e 2.
Seja x0 ∈ X, Ta (x0 ) = {ti0 , i = 1, . . . , p0 }, qi := q(ti0 ), i = 1, . . . , p0 .
Considere o problema não linear NLP(x0 ):
c(x) −→ min,
s.a. f (s) (x, ti0 ) = 0, s ∈ N(qi ),
f (qi +1) (x, ti0 ) ≤ 0, i = 1, . . . , p0 .
Designa por Y ⊂ Rn o conjunto admissı́vel do problema (9).
É evidente que
X ⊆ Y.
(9)
Critério Implı́cito de Optimalidade
Theorem (2)
A solução admissı́vel x0 ∈ X do problema convexo semi-infinito (1) com
|Ta (x0 )| < ∞ é óptima se e somente se x0 é óptima em NLP(x0 ).
Critério Implı́cito de Optimalidade
Theorem (2)
A solução admissı́vel x0 ∈ X do problema convexo semi-infinito (1) com
|Ta (x0 )| < ∞ é óptima se e somente se x0 é óptima em NLP(x0 ).
Critério Implı́cito de Optimalidade
Theorem (2)
A solução admissı́vel x0 ∈ X do problema convexo semi-infinito (1) com
|Ta (x0 )| < ∞ é óptima se e somente se x0 é óptima em NLP(x0 ).
Critério Implı́cito de Optimalidade
Theorem (2)
A solução admissı́vel x0 ∈ X do problema convexo semi-infinito (1) com
|Ta (x0 )| < ∞ é óptima se e somente se x0 é óptima em NLP(x0 ).
Critério Implı́cito de Optimalidade
Theorem (2)
A solução admissı́vel x0 ∈ X do problema convexo semi-infinito (1) com
|Ta (x0 )| < ∞ é óptima se e somente se x0 é óptima em NLP(x0 ).
Critério Implı́cito de Optimalidade
Theorem (2)
A solução admissı́vel x0 ∈ X do problema convexo semi-infinito (1) com
|Ta (x0 )| < ∞ é óptima se e somente se x0 é óptima em NLP(x0 ).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema:
x2
x2
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 + 23 + 24 −→ min,
s.a. − t2 x1 + tx2 + sin(t)x3 + x42 ≤ 0,
t ∈ [−1, 2],
(10)
Seja x0 = (4, 1, −1, 0)0 ∈ X.
É fácil de verificar que Ta (x0 ) = {t1 } e que t1 = 0 é o único ponto imóvel
com q1 = 1.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema:
x2
x2
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 + 23 + 24 −→ min,
s.a. − t2 x1 + tx2 + sin(t)x3 + x42 ≤ 0,
t ∈ [−1, 2],
(10)
Seja x0 = (4, 1, −1, 0)0 ∈ X.
É fácil de verificar que Ta (x0 ) = {t1 } e que t1 = 0 é o único ponto imóvel
com q1 = 1.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema:
x2
x2
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 + 23 + 24 −→ min,
s.a. − t2 x1 + tx2 + sin(t)x3 + x42 ≤ 0,
t ∈ [−1, 2],
(10)
Seja x0 = (4, 1, −1, 0)0 ∈ X.
É fácil de verificar que Ta (x0 ) = {t1 } e que t1 = 0 é o único ponto imóvel
com q1 = 1.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema:
x2
x2
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 + 23 + 24 −→ min,
s.a. − t2 x1 + tx2 + sin(t)x3 + x42 ≤ 0,
t ∈ [−1, 2],
(10)
Seja x0 = (4, 1, −1, 0)0 ∈ X.
É fácil de verificar que Ta (x0 ) = {t1 } e que t1 = 0 é o único ponto imóvel
com q1 = 1.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema:
x2
x2
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 + 23 + 24 −→ min,
s.a. − t2 x1 + tx2 + sin(t)x3 + x42 ≤ 0,
t ∈ [−1, 2],
(10)
Seja x0 = (4, 1, −1, 0)0 ∈ X.
É fácil de verificar que Ta (x0 ) = {t1 } e que t1 = 0 é o único ponto imóvel
com q1 = 1.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema:
x2
x2
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 + 23 + 24 −→ min,
s.a. − t2 x1 + tx2 + sin(t)x3 + x42 ≤ 0,
t ∈ [−1, 2],
(10)
Seja x0 = (4, 1, −1, 0)0 ∈ X.
É fácil de verificar que Ta (x0 ) = {t1 } e que t1 = 0 é o único ponto imóvel
com q1 = 1.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema:
x2
x2
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 + 23 + 24 −→ min,
s.a. − t2 x1 + tx2 + sin(t)x3 + x42 ≤ 0,
t ∈ [−1, 2],
(10)
Seja x0 = (4, 1, −1, 0)0 ∈ X.
É fácil de verificar que Ta (x0 ) = {t1 } e que t1 = 0 é o único ponto imóvel
com q1 = 1.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere o problema:
x2
x2
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 + 23 + 24 −→ min,
s.a. − t2 x1 + tx2 + sin(t)x3 + x42 ≤ 0,
t ∈ [−1, 2],
(10)
Seja x0 = (4, 1, −1, 0)0 ∈ X.
É fácil de verificar que Ta (x0 ) = {t1 } e que t1 = 0 é o único ponto imóvel
com q1 = 1.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Então, o problema NLP(x0 ) toma a forma
x2
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 + 22 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 = 0,
f (1) (x, t1 ) = x2 + x3 = 0,
f (2) (x, t1 ) = −2x1 ≤ 0.
x32
2
+
x42
2
−→ min,
O último problema é equivalente ao
−4x1 − 2x2 +
s.a. x1 ≥ 0.
x12
2
+ x22 −→ min,
É fácil de verificar que x0 é a solução óptima de NLP(x0 ) e, pelo Critério
Implı́cito de Optimalidade, x0 é a solução óptima do problema (10).
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Um exemplo de aplicação do Critério
Implı́cito de Optimalidade
Considere agora em vez do problema NLP(x0 ) o problema SIPred :
x2
−4x1 + x2 + 3x3 + 21 +
s.a. f (x, t1 ) = x42 ≤ 0,
x22
2
+
x32
2
+
x42
2
−→ min,
obtido pelo método de redução.
É fácil de verificar aqui que x0 = (4, 1, −1, 0)0 é a solução admissı́vel do
problema SIPred , mas não é a solução óptima desse problema.
Por exemplo, para x1 = (4, 1, −3, 0)0 temos: c(x1 ) = −13, e c(x0 ) = −9.
Conclusões
• O Critério Implı́cito de Optimalidade permite substituir localmente as
condições de optimalidade para problema semi-infinito (problema
infinito) pelas condições de optimalidade para problema NLP(x0 )
(problema finito)
• O Critério Implı́cito de Optimalidade não exige nenhumas condições
adicionais (por exemplo, regularidade) para problemas semi-infinitos.
• Na base do Critério Implı́cito de Optimalidade podem ser obtidas novas
condições explı́citas de optimalidade para problemas convexos de
Programação Semi-Infinita.
• Os novos métodos constructivos da resolução dos problemas
semi-infinitos podem ser construı́dos uzando Critério Implı́cito de
Optimalidade.
Conclusões
• O Critério Implı́cito de Optimalidade permite substituir localmente as
condições de optimalidade para problema semi-infinito (problema
infinito) pelas condições de optimalidade para problema NLP(x0 )
(problema finito)
• O Critério Implı́cito de Optimalidade não exige nenhumas condições
adicionais (por exemplo, regularidade) para problemas semi-infinitos.
• Na base do Critério Implı́cito de Optimalidade podem ser obtidas novas
condições explı́citas de optimalidade para problemas convexos de
Programação Semi-Infinita.
• Os novos métodos constructivos da resolução dos problemas
semi-infinitos podem ser construı́dos uzando Critério Implı́cito de
Optimalidade.
Conclusões
• O Critério Implı́cito de Optimalidade permite substituir localmente as
condições de optimalidade para problema semi-infinito (problema
infinito) pelas condições de optimalidade para problema NLP(x0 )
(problema finito)
• O Critério Implı́cito de Optimalidade não exige nenhumas condições
adicionais (por exemplo, regularidade) para problemas semi-infinitos.
• Na base do Critério Implı́cito de Optimalidade podem ser obtidas novas
condições explı́citas de optimalidade para problemas convexos de
Programação Semi-Infinita.
• Os novos métodos constructivos da resolução dos problemas
semi-infinitos podem ser construı́dos uzando Critério Implı́cito de
Optimalidade.
Conclusões
• O Critério Implı́cito de Optimalidade permite substituir localmente as
condições de optimalidade para problema semi-infinito (problema
infinito) pelas condições de optimalidade para problema NLP(x0 )
(problema finito)
• O Critério Implı́cito de Optimalidade não exige nenhumas condições
adicionais (por exemplo, regularidade) para problemas semi-infinitos.
• Na base do Critério Implı́cito de Optimalidade podem ser obtidas novas
condições explı́citas de optimalidade para problemas convexos de
Programação Semi-Infinita.
• Os novos métodos constructivos da resolução dos problemas
semi-infinitos podem ser construı́dos uzando Critério Implı́cito de
Optimalidade.
Conclusões
• O Critério Implı́cito de Optimalidade permite substituir localmente as
condições de optimalidade para problema semi-infinito (problema
infinito) pelas condições de optimalidade para problema NLP(x0 )
(problema finito)
• O Critério Implı́cito de Optimalidade não exige nenhumas condições
adicionais (por exemplo, regularidade) para problemas semi-infinitos.
• Na base do Critério Implı́cito de Optimalidade podem ser obtidas novas
condições explı́citas de optimalidade para problemas convexos de
Programação Semi-Infinita.
• Os novos métodos constructivos da resolução dos problemas
semi-infinitos podem ser construı́dos uzando Critério Implı́cito de
Optimalidade.
Conclusões
• O Critério Implı́cito de Optimalidade permite substituir localmente as
condições de optimalidade para problema semi-infinito (problema
infinito) pelas condições de optimalidade para problema NLP(x0 )
(problema finito)
• O Critério Implı́cito de Optimalidade não exige nenhumas condições
adicionais (por exemplo, regularidade) para problemas semi-infinitos.
• Na base do Critério Implı́cito de Optimalidade podem ser obtidas novas
condições explı́citas de optimalidade para problemas convexos de
Programação Semi-Infinita.
• Os novos métodos constructivos da resolução dos problemas
semi-infinitos podem ser construı́dos uzando Critério Implı́cito de
Optimalidade.
Conclusões
• O Critério Implı́cito de Optimalidade permite substituir localmente as
condições de optimalidade para problema semi-infinito (problema
infinito) pelas condições de optimalidade para problema NLP(x0 )
(problema finito)
• O Critério Implı́cito de Optimalidade não exige nenhumas condições
adicionais (por exemplo, regularidade) para problemas semi-infinitos.
• Na base do Critério Implı́cito de Optimalidade podem ser obtidas novas
condições explı́citas de optimalidade para problemas convexos de
Programação Semi-Infinita.
• Os novos métodos constructivos da resolução dos problemas
semi-infinitos podem ser construı́dos uzando Critério Implı́cito de
Optimalidade.
Observações.
• Pode ser demonstrado que problema NLP(x0 ) é convexo.
• O número das restrições de desigualdade em NLP(x0 ) pode ser
reduzido até m ≤ n.
• A abordagem proposta pode ser aplicada também quando
|Ta (x0 )| = ∞.
Observações.
• Pode ser demonstrado que problema NLP(x0 ) é convexo.
• O número das restrições de desigualdade em NLP(x0 ) pode ser
reduzido até m ≤ n.
• A abordagem proposta pode ser aplicada também quando
|Ta (x0 )| = ∞.
Observações.
• Pode ser demonstrado que problema NLP(x0 ) é convexo.
• O número das restrições de desigualdade em NLP(x0 ) pode ser
reduzido até m ≤ n.
• A abordagem proposta pode ser aplicada também quando
|Ta (x0 )| = ∞.
Observações.
• Pode ser demonstrado que problema NLP(x0 ) é convexo.
• O número das restrições de desigualdade em NLP(x0 ) pode ser
reduzido até m ≤ n.
• A abordagem proposta pode ser aplicada também quando
|Ta (x0 )| = ∞.
Bibliografia
Hettich R., Kortanek K.O.: Semi-infinite programming: theory,
methods and applications. SIAM Review, 35, 380-429 (1993)
Kostyukova O.I.: Investigation of the linear extremal problems with
continuum constraints. Tech.Rep., Preprint 26 (336), 24 p. (1988)
Kostyukova O.I., Tchemisova T.V., Yermalinskaya S.V.: Convex
Semi-Infinite Programming: Implicit Optimality Criterion Based on the
Concept of Immobile Points (2006) Submitted.
Kostyukova O.I., Tchemisova T.V.: Convex Semi-Infinite
Programming: Explicit Optimality Conditions. Tech.Rep., Preprint CM
06/I-07 (2006)
Bibliografia
Hettich R., Kortanek K.O.: Semi-infinite programming: theory,
methods and applications. SIAM Review, 35, 380-429 (1993)
Kostyukova O.I.: Investigation of the linear extremal problems with
continuum constraints. Tech.Rep., Preprint 26 (336), 24 p. (1988)
Kostyukova O.I., Tchemisova T.V., Yermalinskaya S.V.: Convex
Semi-Infinite Programming: Implicit Optimality Criterion Based on the
Concept of Immobile Points (2006) Submitted.
Kostyukova O.I., Tchemisova T.V.: Convex Semi-Infinite
Programming: Explicit Optimality Conditions. Tech.Rep., Preprint CM
06/I-07 (2006)
Bibliografia
Hettich R., Kortanek K.O.: Semi-infinite programming: theory,
methods and applications. SIAM Review, 35, 380-429 (1993)
Kostyukova O.I.: Investigation of the linear extremal problems with
continuum constraints. Tech.Rep., Preprint 26 (336), 24 p. (1988)
Kostyukova O.I., Tchemisova T.V., Yermalinskaya S.V.: Convex
Semi-Infinite Programming: Implicit Optimality Criterion Based on the
Concept of Immobile Points (2006) Submitted.
Kostyukova O.I., Tchemisova T.V.: Convex Semi-Infinite
Programming: Explicit Optimality Conditions. Tech.Rep., Preprint CM
06/I-07 (2006)