Produto Externo de dois vectores

Produto Externo de dois vectores
Sejam ~a e ~b dois vectores, não nulos nem paralelos, e ~n um vector de comprimento 1, perpendicular a ~a e a ~b e, ainda, tal que ~a , ~b e ~n, por esta ordem
constituem um triedro directo.
Chama-se produto externo de ~a por ~b, e designa-se por ~a ∧ ~b ou ~a × ~b o vector
|~a||~b| sin θ ~n,
sendo θ(0 ≤ θ ≤ π) o ângulo formado por eles.
O módulo de ~a ∧ ~b, por |~n| = 1, é o escalar |~a||~b| sin θ, que representa a área
do paralelogramo construı́do sobre as imagens dos vectores ~a e ~b.
Propriedades do Produto Externo
1. ~a ∧ ~b se e só se ~a = 0 ou ~b = 0 ou ~a||~b.
2. ~a ∧ ~b = −~b ∧ ~a.
3. α(~a ∧ ~b) = (α~a) ∧ ~b = ~a ∧ (α~b), α ∈ R.
4. (~a + ~b) ∧ ~c = (~a ∧ ~c) + (~b ∧ ~c)
~a ∧ (~b + ~c) = (~a ∧ ~b) + (~a ∧ ~c)
5. Numa base ortonormada, sendo ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 e ~b = b1~e1 + b2~e2 +
b3~e3 ,
~a ∧ ~b = (a2 b3 − a3 b2 )~e1 + (a3 b1 − a1 b3 )~e2 + (a1 b2 − a2 b1 )~e3 =
~e1 ~e2 ~e3 = a1 a2 a3 ,
b 1 b2 b3 1
convencionando-se que se desenvolve este determinante usando o teoremade Laplace aplicado à 1a linha.
Aplicações do produto externo
1. Colinearidade de dois vectores. Se dois vectores não são nulos e o seu
produto externo é nulo, então são colineares. Tem-se
a2 b3 − a3 b2 = 0, a3 b1 − a1 b3 = 0, a1 b2 − a2 b1 = 0
ou
a1
a2
a3
=
=
b1
b2
b3
ou ainda
ai = λbi , i = 1, 2, 3.
Assim, dois vectores colineares têm as suas coordenadas homónimas proporcionais.
2. Ângulo de dois vectores. A partir da definição de módulo do produto externo, tem-se
|~a ∧ ~b|
sin θ =
|~a||~b|
3. Área de um triângulo. Se os dois vectores ~a e ~b forem lados de um triângulo,
a área A deste pode ser calculada por
1
A = |~a ∧ ~b|
2
2
Produto Misto de três vectores
O produto misto de três vectores ~a, ~b e ~c não nulos é o produto interno de um
dos vectores pelo produto externo dos outros dois, isto é
~a × ~b|~c.
Se ~a = 0 ou ~b = 0 ou ~c = 0, por definição, o produto misto dos três vectores
é nulo.
Propriedades do Produto Misto
1. ~b × ~a|~c = −~a × ~b|~c
2. ~a × ~b|~c = ~b × ~c|~a = ~c × ~a|~b
3. ~a|~b × ~c = ~a × ~b|~c
4. O produto misto é nulo quando um dos vectores o for ou quando dois vectores forem colineares ou ainda quando os três vectores forem complanares.
5. Numa base ortonormada, sendo ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 e ~b = b1~e1 + b2~e2 +
b3~e3 e ~c = c1~e1 + c2~e2 + c3~e3
~a ∧ ~b|~c = (a2 b3 − a3 b2 )c1 + (a3 b1 − a1 b3 )c2 + (a1 b2 − a2 b1 )c3 =
a1 a2 a3 = b1 b2 b3 .
c1 c2 c3 3