MOVIMENTO OSCILATÓRIO

MOVIMENTO OSCILATÓRIO
1.0 Noções da Teoria da Elasticidade
A tensão é o quociente da força sobre a área aplicada (N/m²):
As tensões normais são tensões cuja força é perpendicular à área. São as tensões de
compressão e alongamento.
A tensão de compressão ou pressão tende a reduzir o comprimento do corpo.
O Módulo de Young ou de elasticidade é uma característica do corpo que mede o quanto ele é
deformável por forças normais à área aplicada (N/m²):
Isolando F, encontramos a Lei de Hooke:
A constante de força da mola k é inversamente proporcional ao comprimento do corpo.
O Módulo de Rigidez ou Cisalhamento é uma característica do corpo que mede o quanto ele é
deformável por forças paralelas à área aplicada:
2.0 Movimento de uma Partícula Ligada a uma Mola
Modelo de partícula: Corpo de massa m unido a uma mola ideal horizontal, sobre uma
superfície sem atrito.
Se a mola não está esticada, o corpo estará em repouso em sua posição de equilíbrio, ou seja,
x = 0.
Quando uma partícula nestas condições é deslocada para uma posição x, a mola exerce uma
força sobre ela dada pela lei de Hooke, tal força que é chamada de força restauradora linear,
pois ela é proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio e dirigida sempre para esta,
oposta ao deslocamento.
Quando uma partícula está sobre efeito de uma força restauradora linear, ela realiza um
movimento harmônico simples.
Um sistema realizando um movimento harmônico simples é chamado de oscilador harmônico
simples.
2.1 Aceleração Variável
Aplicando a Segunda Lei de Newton na Lei de Hooke, temos:
A aceleração é proporcional ao deslocamento da partícula da posição de equilíbrio e aponta
na direção oposta à da partícula.
Conclusões:
Quando a partícula passa pela posição de equilíbrio x = 0, a aceleração é nula e a
velocidade é máxima.
Quando a partícula alcança a posição de equilíbrio máxima, a aceleração é máxima e a
velocidade é nula.
3.0 Movimento Harmônico Simples (MHS)
Por definição, temos:
Substituindo a razão k/m por ² temos:
( )
(
)
A amplitude do movimento (A) é o valor máximo da posição da partícula tanto na direção
positiva quanto na negativa; é determinado pela posição e velocidade da partícula em t = 0.
A constante ou ângulo de fase ( ) é determinado pela posição e velocidade da partícula em
t = 0.
A frequência angular ( ) é uma constante (rad/s):
√
A grandeza (
) é chamada de fase do movimento; quando a posição atinge 2π radianos,
a partícula completa um ciclo completo do seu movimento (T), ou seja:
(
)
( )
[ (
)
]
[ (
)
]
[ (
)
]
(
)
(
(
)
)
A frequência do movimento é o inverso do período, representando o número de oscilações
que a partícula realiza por unidade de tempo (Hz):
Desta equação, temos que:
Expressando a frequência e o período em termos das características m e k, percebe-se que
estes apenas dependem da massa da partícula e da constante de força da mola, temos:
√
√
A velocidade e a aceleração são obtidas por:
(
)
(
)
Como as funções seno e cosseno oscilam entre +1 e -1, os valores máximos da velocidade e da
aceleração são:
√
3.1 Velocidade em Função da Posição
Considere as 3 equações abaixo:
(
(
(
)
(
)
)
(
)
)
(
)
( )
( )
(
)
Aplicando (I) e (II) em (III), temos:
√
3.2 Energia no MHS
Como não há atrito no sistema, podemos considerar que a energia mecânica do sistema se
conserva.
Energia cinética de um oscilador harmônico simples:
(
)
Energia potencial elástica de um oscilador harmônico simples:
(
)
Energia total de um oscilador harmônico simples:
(
(
[
(
)
(
)
)
(
(
)
)
)]
5.0 Aplicações do MHS
5.1 Pêndulo Simples
Sistema mecânico que exibe movimento periódico, e consiste em um corpo pontual de massa
m suspenso por um fio (ou haste) leve de comprimento L, cuja extremidade superior é fixa.
O corpo deve ter dimensões desprezíveis em relação ao comprimento do fio.
∑
Como s = Lθ, temos:
Aproximação do ângulo pequeno: Se 0 < θ < 10°, então senθ ≈ θ.
O período e a frequência de um pêndulo simples oscilando em ângulos pequenos depende
apenas do comprimento do fio e da aceleração da queda livre.
5.2 Pêndulo de Torção
No pêndulo de torção, o corpo suspenso é retirado de sua posição de equilíbrio ao ser girado
em torno do eixo definido pelo fio. Esta ação deforma o material do fio, que tende a voltar à
sua posição original, do mesmo modo que a mola distendida no sistema massa-mola.
Assim ele exerce no corpo um torque restaurador τ, que é proporcional ao ângulo de
rotação ϕ e ao módulo de torção κ (depende das características do fio). Este é o único torque
atuando sobre o corpo.
Pela segunda lei de Newton, aplicada ao caso de um corpo rígido que sofre a ação de um
torque, temos:
Sendo I o momento de inércia do objeto.
5.3 Pêndulo Físico
Consiste em um corpo pendurado que oscila em torno de um eixo fixo que não passa pelo
centro de massa.
∑
Para ângulos pequenos, o senθ ≈ θ:
Sendo d a distância do centro de massa do corpo até o eixo de rotação.
6.0 Oscilações Amortecidas
Considere um corpo de massa m unido a uma mola ideal horizontal, sobre uma superfície com
atrito. A força resultante é dada por:
∑
Sendo b a constante do meio ou de amortecimento (unidade: kg/s)
Dividindo tudo por m, temos:
Esta equação diferencial apresenta 3 soluções, a depender dos valores de m, b e
apenas 1 tem caráter oscilatório.
Por deduções matemáticas, temos que:
( )
(
)
( )
, dos quais
7.0 Oscilações Forçadas
Considere um corpo nas mesmas condições que dito anteriormente em oscilações
amortecidas, porém, agora existe uma força externa aplicada à massa m, ou seja:
A força externa é dada por:
(
)
O movimento então é composto por 2 partes: o movimento transitório, para pequenos
valores de tempo, em que o sistema tenta encontrar o estado final de equilíbrio, e o
movimento permanente, para t → ∞, que corresponde ao estado final de equilíbrio do
sistema.
x(t) = xTRAN(t) + xPERM(t)
( )
Para grandes valores de tempo, apenas a solução xPERM(t) será verificada.
( )
( )
(
)
( )
√(
Ressonância: Quando
)
(
, a amplitude será máxima.
)