Aula 15

Boltzmann como boa aproximação das distribuições quânticas
Quando o no médio de partículas por estado quântico é muito menor do
que 1, as distribuições quânticas se confundem com a clássica
n(ε 2 ) g (ε 2 )
=
e
Fator de Boltzmann:
n(ε 1 ) g (ε 1 )
−
ε 2 −ε 1
kT
Que fornece o no relativo de
partículas por estado quântico
a duas energias diferentes
Podemos usá-lo para determinar a razão de ocupação de estados em um
sistema quântico, quando ε >> kT acima do estado fundamental.
Exemplo: colisões térmicas de átomos em um gás à temperatura T os
estados excitados são pouco populados ⇒ podemos usar o fator de
Boltzmann para determinar as populações relativas e determinar as
correspondentes intensidades de transição.
Ou vice-versa, como discutimos no caso da determinação de temperatura de
estrelas a partir da observação de espectros.
Vamos usar o fator de Boltzmann para estudar o funcionamento do LASER.
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Amplificação de Luz pela Emissão Estimulada de Radiação
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Exercício
O primeiro estado excitado do H, E2, está a 10,2 eV acima do estado
fundamental E1. Qual é a razão entre o no de átomos no primeiro
estado excitado e o no de átomos no estado fundamental
a) a temperatura ambiente T=300 K?
b) à temperatura da superfície do sol T=5.800K?
O no de átomos em um estado de energia E é dado por:
n( E ) = Ag ( E )e
− E / kT
A razão entre o no de átomos no 10 estado excitado
− E 2 / kT
n
Ag
e
g 2 −( E2 − E1 ) / kT
o
2
2
e o n de átomos no estado fundamental:
=
=
e
− E1 / kT
n1
Ag1e
g1
no estado fundamental g1 a degeneração levando em conta o spin é: 2
no estado excitado g2 a degeneração levando em conta l=0 é: 2 e l=1 é 6
ambos com dois estados de spin, tem um total de 8.
Então g2/g1=8/2=4 e
n
2
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n1
= 4e −( E2 − E1 ) / kT
2
Vejamos as energias
a) T=300K kT~0.026eV
b) T=5800K kT~0.5eV
n2
= 4e −(10, 2) / 0.026 = 4e −392 ≈ 10 −171 ≈ 0
n1
n2
= 4e −(10, 2 ) / 0,5 = 4e 20, 4 ≈ e −19 ≈ 10 −8
n1
Conclusão
a) T=300K devido a grande diferença de energia entre os dois
estados em comparação com a energia térmica kT, existem
poucos átomos de H no 1º estado excitado. Explica porque o H
na Tamb não emite nenhum tipo de radiação
b) T=5800K na superfície do sol, ~1015 átomos em cada mol de
H atômico se encontra no estado excitado
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Processos para transição entre 2 estados atômicos na presença de um campo
eletromagnético:
fóton de v = (ε2 – ε1)/h
Vida média típica de um estado excitado
atômico é 10 ns. Alguns estados, por
conta do momento angular elevado,
podem ter vidas médias da ordem de
ms, sendo chamados de metaestáveis.
Processos de interação da radiação com
o átomo. E como estes 3 processos
estão relacionados quantitativamente?
Suponhamos 1 conjunto de átomos, com n1 átomos no estado ε1 e n2 no
estado ε2, com ε2 > ε1, em equilíbrio térmico com radiação eletromagnética de
densidade de energia espectral ρ(v), a uma temperatura T.
A probabilidade (por átomo e por unidade de tempo) de que um átomo no
estado 1 faça uma transição para o 2 (absorção), deve ser proporcional a ρ(v)
em v = (ε2 – ε1)/h. A taxa de emissão estimulada também é proporcional a ρ(v)
em v = (ε2 – ε1)/h. Mas a emissão espontânea não. As taxas de transição
também dependem das características dos estados, por causa dos elementos
4
de matriz de dipolo elétrico, FNC
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A probabilidade, por unidade de tempo, de haver uma transição do estado 1
para o 2, pode ser escrita como: R1→ 2 = B12 ρ (v) , onde B12 é um coeficiente
que inclui a dependência das funções de onda dos estados 1 e 2.
Já a probabilidade de que um átomo no estado 2 faça uma transição para o 1
é uma soma de 2 termos: a probabilidade de emissão espontânea, A21, e a de
emissão estimulada, B21ρ(v). Assim: R2→1 = A21 + B21 ρ (v) .
Como o sistema está em equilíbrio térmico, as taxas de 1 → 2 e de 2 → 1
devem ser iguais: n1 R1→2 = n2 R2→1 . Substituindo:
A21 B21
n1 B12 ρ (v) = n2 [A21 + B21 ρ (v)] ⇒ ρ (v) =
n1 B12
−1
n2 B21
Vamos usar o fator de Boltzmann, com hv = ε2 – ε1, para avaliar a razão n1/n2,
considerando g(ε2) = g(ε1):
n1
=e
n2
ε 2 −ε 1
kT
=e
hv
kT
Substituindo em ρ(v): ρ (v) =
A21 B21
B12 hv kT
e
−1
B21
Mas essa expressão deve ser consistente com a obtida por Planck para a
radiação de corpo negro:
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8πv 2
hv
8πhv 3
1
ρT (v) = 3 hv kT
=
c e
−1
c 3 e hv kT − 1
Vimos:
ρ (v ) =
A21 B21
B12 hv kT
e
−1
B21
Planck
Portanto:
B12
=1
B21
e
A21 A 8πhv 3
= =
B21 B
c3
Esses são os coeficientes A e B de Einstein, que publicou trabalho sobre esse
assunto em 1917. Só temos a razão entre eles, mas A pode ser calculado
(MQ, como vimos em Moderna 1).
O resultado de que B12 = B21 é muito interessante, pois mostra que os
processos de emissão e absorção (estimulados) são iguais e só dependem
das características físicas do átomo.
A razão entre o coeficiente de emissão
No entanto:
espontânea (A21) e o coeficiente de
emissão estimulada (B21) varia com ν3
quanto maior a diferença de energia entre 2 níveis, mais provável fica a
emissão espontânea em relação à estimulada.
A21 A 8πhv 3
= =
B21 B
c3
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Como
B12
=1 e
B21
A21 A
=
B21 B
temos também que:
e
ρ (v ) =
A21 B21
B12 hv kT
e
−1
B21
A21
= e hv kT − 1
B21 ρ (v)
⇒ para átomos em equilíbrio térmico, emissão espontânea >> estimulada,
se hv >> kT, que é a condição usual em átomos e moléculas. A emissão
estimulada pode ser importante se hv ≈ kT, ou se hv << kT.
espontânea estimulada
taxa de emissão n2 A + n2 Bρ (v) 
A  n2 n2 hv kT
= e
=
= 1 +

taxa de absorção
n1 Bρ (v)
 Bρ (v)  n1 n1
Quando hv << kT, temos:
taxa de emissão n2 hv kT n2  hv  n2
= e
≅ 1 +
≈
taxa de absorção n1
n1  kT  n1
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Se o sistema está em equilíbrio térmico ⇒ Boltzmann ⇒ n2 << n1. Mas fora do
equilíbrio vale tudo. Se invertermos a população, fazendo n2 > n1, teremos
emissão > absorção, fazendo com que a radiação na freqüência v = (ε2 – ε1)/h,
seja amplificada.
Só que esse processo faz a população mudar. Para manter o processo é
necessário manter a população invertida, por meio da injeção de energia no
sistema.
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Existem vários tipos de laser, mas todos têm algumas características comuns:
1) Uma fonte de energia (pulsada ou contínua) capaz de produzir inversão de
população entre níveis atômicos. No caso do laser de He-Ne essa fonte é
uma descarga elétrica, que transfere energia aos átomos por meio de
colisões atômicas. No caso de lasers que usam cristais, é usada iluminação
intensa e de espectro largo, processo conhecido como bombeamento ótico.
2) Um material cujos átomos tenham pelo menos 3 níveis de energia: o estado
fundamental; um estado intermediário com meia-vida, ts, relativamente
longa (metaestável); e um terceiro estado, de energia mais alta, para
bombeamento.
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Notem que um sistema de 2 níveis não é sujeito a inversão de população,
pois, com bombeamento ótico intenso, poder-se-ia, no máximo, atingir uma
situação em que as populações dos 2 níveis fossem iguais. Bombeamento
mais intenso apenas aumentaria a taxa de transições tanto de 1 → 2 quanto
de 2 → 1, pois as probabilidades de transição são iguais, como vimos. Para
que possa haver inversão de população, a absorção de energia deve ser feita
por uma transição diferente daquela que sofrerá a emissão estimulada. Daí a
necessidade de 3 níveis, pelo menos.
3) Um método que contenha os fótons emitidos inicialmente no meio, de forma
que eles possam estimular transições em outros átomos. Isso, em geral, é
feito por meio de espelhos nas extremidades do sistema, de forma que os
fótons atravessem o meio muitas vezes. Dessa forma, o laser pode ser
entendido como um ressoador ótico. a oscilação consiste de uma onda
plana refletida entre os espelhos das extremidades. Essas ondas que
caminham em direções opostas formam uma onda estacionária com nós
nos espelhos. Para que luz de alta intensidade seja extraída, um dos
espelhos é semi-transparente.
A realização física desse processo é representada na figura abaixo e requer a
escolha de um elemento com níveis de energia com as propriedades
adequadas.
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~10-8seg
Transição rápida sem emissão de
≈
~10-3seg
Diferença de energia E3-E1
Em equilíbrio térmico a população dos estados é: n3<n2<n1
Bombeamento ótico (iluminação intensa) com 5500A estimula-se a absorção dos
fótons pelo átomo no estado fundamental, aumenta a população do nível de
energia E3 e despopula o nível E1.
Emissão espontânea, traz os átomos de E3 para E2, reforça a população deste
estado com tempo de vida longo
Resulta: n2 > n1 inversão de população
A emissão do fóton, n2
n1 de 6943A estimula novas transições, emissão
estimulada >> absorção estimulada, 6943A será reforçado, feixe coerente
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intenso
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Na prática o laser é um bastão cilíndrico com extremidades oticamente planas
paralelas e refletoras (uma delas parcialmente refletora)
Os fótons emitidos que não se deslocam ao longo do eixo, escapam pelos
lados antes de estimular emissões.
Os fótons que se movem exatamente ao longo do eixo são refletidos várias
vezes e são capazes de estimular emissões repetidamente. O no de fótons
cresce rapidamente.
Lâmpada de bombeamento
ótico
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Problemas: 1) quando 1 átomo emite um fóton, decaindo para o estado
fundamental, o que acontece em seguida?
Se tudo correr bem, o bombeamento ótico vai levá-lo de volta para o estado
excitado e o processo continua.
Mas isso pode demorar um pouco para ocorrer. Nesse caso, esse átomo
pode absorver um fóton do laser, de forma a voltar para o estado ε2.
Isso diminui a intensidade do laser, prejudicando o processo.
2) Condição de início de oscilação (ou condição de laser). A emissão laser
pode ser sustentada se o aumento do número de fótons, por passagem no
laser, for maior que a redução provocada por perdas (emissão do laser,
absorção no meio, espalhamento por impurezas, etc.)
Vamos juntar todos os processos de perda em uma única constante de tempo:
I = I 0e
−t t p
I
 dI 
⇒ 
=−
tp
 dt  perda
Antes de calcularmos os ganhos, lembremos da taxa de transição induzida,
que é proporcional ao coeficiente B de Einstein: Ri = ρ(v,T)B.
ρ ( v, T ) c 3
ρ (v, T )c 3
A 8πhv 3
A=
=
⇒ Ri =
3
3
8πhv
8πhv 3t s
B
c
onde ts = A-1 é a meia-vida para emissão espontânea.
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O ganho em intensidade da cavidade, devido a transições estimuladas, vai
ser dado pela diferença entre a emissão estimulada do nível 2 → 1 e a
absorção do 1 → 2.
o
3
2
 dI 
= (n2 − n1 )hvcRi
 
 dt  ganho
J x m/s x (n átomos)/m = W/m
onde hvc é o que cada fóton contribui para a intensidade, Ri a taxa de
transição induzida e n2 (n1) a densidade de população do nível 2 (1). Para que
haja funcionamento sustentado do laser:
I
 dI 
 dI 
≥ 
⇒ (n2 − n1 )hvcRi ≥
 
tp
 dt  ganho  dt  perda
Substituindo Ri e lembrando que I = cρ, temos:
8πv 2t s ∆N c
densidade de
n2 − n1 = 3
=
população crítica
c tp
V
Essa expressão nos permite determinar a potência necessária para iniciar o
funcionamento do laser. Mas, antes, devemos analisar os ...
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