Aula 18

Universidade de São Paulo
Instituto de Física
Física Moderna II - FNC376
Profa. Márcia de Almeida Rizzutto
1o. Semestre de 2008
FNC0376 - Fisica Moderna 2
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1
Boltzmann como boa aproximação das distribuições quânticas
Um dos principais objetivos da física estatística é determinar de que
forma uma quantidade fixa de energia se distribui entre as partículas que
compõem o sistema
Boltzmann inicialmente propôs uma função distribuição:
permite calcular o no provável de partículas que ocuparão os estados de
energia disponíveis de um sistema clássico (no muito grande de partículas
idênticas em equilíbrio térmico)
Bose-Einstein e Fermi-Dirac: igualmente mas para um sistema quântico com
partículas idênticas indistinguíveis.
ε −ε
O Fator de Boltzmann:
n(ε ) g (ε ) − 2 1
2
n(ε 1 )
=
2
g (ε 1 )
e
kT
Nos fornece o no relativo de partículas por estado quântico em estados de
energias diferentes, é possível entender melhor o funcionamento dos LASERS
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Amplificação de Luz pela Emissão Estimulada de Radiação
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Mas o que é? 2
Temos diferentes processos de transições entre estados atômicos devido a
interação com os campos eletromagnético:
O átomo no estado de energia superior ε2
decai para o nível mais baixo e emite um
fóton de v = (ε2 – ε1)/h. Este processo é
aleatório não sabemos quando pode ocorrer.
Vida média típica de um estado excitado atômico é 10 ns. Alguns estados,
por conta do momento angular elevado, podem ter vidas médias da ordem
de ms, sendo chamados de metaestáveis.
Neste caso um fóton incidente de freqüência
v (do campo eletromagnético aplicado) estimula
o átomo a fazer uma transição da energia
inferior para a superior e o fóton é absorvido
pelo átomo
Na emissão estimulada, um fóton incidente
de freqüência v estimula o átomo a fazer
uma transição do estado de energia mais
alta para o de menor energia, o átomo
retorna ao estado de menor energia e dois
fótons de mesma v emergem
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3
Processos de interação da radiação com o átomo.
E como estes 3 processos estão relacionados quantitativamente?
Suponhamos com n1 átomos no estado de energia ε1
n2 átomos no estado ε2, com ε2 > ε1, em equilíbrio
térmico com radiação eletromagnética de densidade de energia espectral
ρ(v), a uma temperatura T.
A probabilidade (por átomo e por unidade de tempo) de que um átomo no
estado 1 faça uma transição para o 2 (absorção), deve ser proporcional a
ρ(v) na freqüência v = (ε2 – ε1)/h.
A taxa de emissão estimulada também é proporcional a ρ(v) em v = (ε2 –
ε1)/h.
Mas a emissão espontânea não depende de ρ(v) pois é um processo
aleatório e não sabemos quando irá acontecer
As taxas de transição também dependem das características dos estados
1
2
A probabilidade, por unidade de tempo, de haver uma transição do estado 1
para o 2, (caso da absorção) pode ser escrita como: R1→ 2 = B12 ρ (v)
onde B12 é um coeficiente que inclui a dependência das funções de onda dos
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estados 1 e 2.
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2
1
Já a probabilidade de que um átomo no estado 2 faça uma transição para o 1
é uma soma de 2 termos: a probabilidade de emissão espontânea, A21, e a de
emissão estimulada, B21ρ(v). Assim: R2→1 = A21 + B21 ρ (v) .
Como o sistema está em equilíbrio térmico, as taxas de 1 → 2 e de 2 → 1
devem ser iguais: n1 R1→2 = n2 R2→1 . Substituindo:
A21 B21
n1 B12 ρ (v) = n2 [A21 + B21 ρ (v)] ⇒ ρ (v) =
n1 B12
−1
n2 B21
Vamos usar o fator de Boltzmann, com hv = ε2 – ε1,
para avaliar a razão n1/n2, considerando g(ε2) = g(ε1):
n1
=e
n2
ε 2 −ε 1
kT
=e
hv
kT
Substituindo em ρ(v):
ρ (v ) =
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A21 B21
B12 hv kT
e
−1
B21
5
Considerando o equilíbrio termodinâmico entre o sistema atômico e a
radiação eletromagnética (radiação da cavidade) Einstein deduziu as
relações entre os três coeficientes A21, B21 e B12.
8πv 2
hv
8πhv 3
1
ρT (v) = 3 hv kT
=
c e
−1
c 3 e hv kT − 1
Vimos:
ρ (v ) =
Portanto:
A21 B21
B12 hv kT
e
−1
B21
B12
=1
B21
Planck
leva ao resultado de que B12 = B21
que são os coeficientes de
absorção e emissão estimulada.
Se um átomo se encontra no estado
A21 A 8πhv
excitado 2, ele pode decair para o
= =
estado de menor energia 1,
B21 B
c3
espontaneamente ou estimuladamente.
A razão entre as duas probabilidades
A razão entre o coeficiente de
depende da disponibilidade de fótons
emissão espontânea (A21) e o
coeficiente de emissão estimulada via ρ(ν12)
(B21) varia com ν3
3
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Como
B12
=1
B21
e
ρ (v ) =
A21 B21
No equilíbrio térmico esta razão é:
B12 hv kT
e
−1
B21
A21
= e hv kT − 1
B21 ρ (v)
⇒para átomos em equilíbrio térmico, emissão espontânea é mais provável
que a estimulada, se hv >> kT, que é a condição usual em átomos e
moléculas.
⇒A emissão estimulada pode ser importante se hv ≈ kT, ou ser
predominante se hv << kT.
espontânea estimulada
A  n2 n2 hv kT
taxa de emissão n2 A + n2 Bρ (v) 
=
= 1 +
= e

n1 Bρ (v)
taxa de absorção
 Bρ (v)  n1 n1
Quando hv << kT, temos:
taxa de emissão n2 hv kT n2  hv  n2
= e
≅ 1 +
≈
taxa de absorção n1
n1  kT  n1
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Razão entre o no de
átomos no estado 2
pelo no de átomos no
estado 1 7
Se o sistema está em equilíbrio térmico ⇒ Boltzmann esperamos n2 << n1.
Mas fora qualquer razão é possível. Se invertermos a população, fazendo n2 >
n1, teremos emissão > absorção, a radiação de freqüência v = (ε2 – ε1)/h
aplicada terá sua intensidade amplificada (sai mais radiação do que entra).
Só que esse processo fará a população do estado superior ir diminuindo até o
equilíbrio. Para manter o processo é necessário manter a população invertida,
por meio da injeção de energia no sistema. E os sistemas que realizam isto
são: LASERS
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Existem vários tipos de laser, mas todos têm algumas características comuns:
1) Uma fonte de energia (pulsada ou contínua) capaz de produzir inversão de
população entre níveis atômicos. No caso do laser de He-Ne essa fonte é
uma descarga elétrica, que transfere energia aos átomos por meio de
colisões atômicas. No caso de lasers que usam cristais, é usada iluminação
intensa e de espectro largo, processo conhecido como bombeamento ótico.
2) Um material cujos átomos tenham pelo menos 3 níveis de energia: o estado
fundamental; um estado intermediário com meia-vida, ts, relativamente
longa (metaestável); e um terceiro estado, de energia mais alta, para
bombeamento.
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Notem que um sistema de 2 níveis não é sujeito a inversão de população,
pois, com bombeamento ótico intenso, poder-se-ia, no máximo, atingir uma
situação em que as populações dos 2 níveis fossem iguais. Bombeamento
mais intenso apenas aumentaria a taxa de transições tanto de 1 → 2 quanto
de 2 → 1, pois as probabilidades de transição são iguais, como vimos. Para
que possa haver inversão de população, a absorção de energia deve ser feita
por uma transição diferente daquela que sofrerá a emissão estimulada. Daí a
necessidade de 3 níveis, pelo menos.
3) Um método que contenha os fótons emitidos inicialmente no meio, de forma
que eles possam estimular transições em outros átomos. Isso, em geral, é
feito por meio de espelhos nas extremidades do sistema, de forma que os
fótons atravessem o meio muitas vezes. Dessa forma, o laser pode ser
entendido como um ressoador ótico. A oscilação consiste de uma onda
plana refletida entre os espelhos das extremidades. Essas ondas que
caminham em direções opostas formam uma onda estacionária com nós
nos espelhos. Para que luz de alta intensidade seja extraída, um dos
espelhos é semi-transparente.
A realização física desse processo é representada na figura abaixo e requer a
escolha de um elemento com níveis de energia com as propriedades
adequadas.
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Laser de rubi (Al2O3 + Cr)
~10-8seg
Transição rápida sem emissão de
≈
~10-3seg
Esquema
de níveis de
energia do
Cr
Diferença de energia E3-E1
Em equilíbrio térmico a população dos estados é: n3<n2<n1
Bombeamento ótico (iluminação intensa) com 5500A estimula-se a absorção dos
fótons pelo átomo no estado fundamental, aumenta a população do nível de
energia E3 e despopula o nível E1.
Emissão espontânea, traz os átomos de E3 para E2, reforça a população deste
estado com tempo de vida longo
Resulta: n2 > n1 inversão de população
n1 de 6943A estimula novas transições, emissão
A emissão do fóton, n2
estimulada >> absorção estimulada, 6943A será reforçado, feixe coerente
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intenso
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Na prática o laser é um bastão cilíndrico com extremidades oticamente planas
paralelas e refletoras (uma delas parcialmente refletora)
Os fótons emitidos que não se deslocam ao longo do eixo, escapam pelos
lados antes de estimular emissões.
Os fótons que se movem exatamente ao longo do eixo são refletidos várias
vezes e são capazes de estimular emissões repetidamente. O no de fótons
cresce rapidamente.
Lâmpada de bombeamento
ótico
Esta descrição se assemelha a n bósons que se
encontram um estado quântico e existe um probabilidade
grande de que outro se junte a eles com um fator de
enriquecimento de (1+n). Fótons são bósons. É possível
desenvolver a teoria básica do laser pela aplicação da
distribuição de Bose aos estados quânticos dos fótons
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Produção de um feixe
unidirecional de
grande intensidade e
de comprimento de
onda altamente
definido
11
Problemas:
1) quando 1 átomo emite um fóton, decaindo para o estado fundamental, o
que acontece em seguida?
Se tudo correr bem, o bombeamento ótico vai levá-lo de volta para o estado
excitado e o processo continua.
Mas isso pode demorar um pouco para ocorrer. Nesse caso, esse átomo
pode absorver um fóton do laser, de forma a voltar para o estado ε2.
Isso diminui a intensidade do laser, prejudicando o processo.
2) Condição de início de oscilação (ou condição de laser). A emissão laser
pode ser sustentada se o aumento do número de fótons, por passagem no
laser, for maior que a redução provocada por perdas (emissão do laser,
absorção no meio, espalhamento por impurezas, etc.)
Vamos juntar todos os processos de perda em uma única constante de
tempo (tp).
−t t p
I
=
I
e
A intensidade luminosa I pode ser escrita como:
0
E taxa de perda de intensidade
I0 t / t p
I
 dI 
e
=
−
=
−
 
tp
tp
 dt  perda
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12
O ganho em intensidade da cavidade está relacionada a diferença entre os
fótons criados por emissão estimulada (nível 2 → 1) e os fótons perdidos por
absorção (do nível 1 → 2).
Esta taxa depende de três termos:
a) Diferença entres as populações n2-n1
J x m/s x (no átomos)/m3 = W/m2
b) Intensidade luminosa por fóton
c) Probabilidade de emissão estimulada
 dI 
= (n2 − n1 )hvcRi
 
 dt  ganho
a taxa de transição induzida é proporcional
ao coeficiente B de Einstein: Ri = ρ(v,T)B.
A 8πhv 3
ρ ( v, T ) c 3
ρ (v, T )c 3 onde ts = A-1 é a
A=
=
⇒ Ri =
3
3
B
c
8πhv
8πhv 3t s meia-vida para
Para que exista o efeito laser é preciso que:
I
 dI 
 dI 
≥ 
⇒ (n2 − n1 )hvcRi ≥
 
tp
 dt  ganho  dt  perda
I
I 8πhv 3 t s I 8πv 2 t s
=
=
n2 − n1 ≥
3
hvcRi t p hvct p FNC0376
ρc - FisicaρModerna
c 4t p 2
18 começar
A igualdade representa a condição para oAula
efeito
emissão espontânea.
lembrando que I = cρ
8πv 2 t s
n2 − n1 = 3
= ∆N c
c tp
Densidade de inversão
13
de população
Esta relação permite calcular a inversão
de população necessária para conseguir
o efeito laser para uma dada freqüência e
um dado tempo de vida para emissão
espontânea(ts)
Essa expressão nos permite determinar a potência necessária para iniciar
o funcionamento do laser.
8πv 2 t s
n2 − n1 = 3
= ∆N c
c tp
 hv  8πv 2 t s
P ≈ ∆N c   = 3
c tp
 ts 
 hv  8πhv 3
  = 3
 ts  c t p
Mas, antes, devemos analisar os ...
Lasers de 4 níveis
Nesse caso, como E1 – E0 >> kT, o
nível E1 é praticamente despopulado,
ou seja, n1 ~ 0 ⇒ que a inversão de
população é muito fácil de ser atingida.
Assim: ∆nc ~ n2
O nível n1 não e o estado metaestável que emite
a radiação laser. E também o estado EFNC0376
2 não
- Fisica Moderna 2
facilmente populado com agitação térmica Aula 18
14
Notem que, no caso do laser de 3 níveis, o decaimento se faz entre o
nível 1 e o estado fundamental (E0), que é muito populado. Nesse
caso: n0 ~ n >> ∆nc
Para que se consiga inversão de população, aproximadamente
N/2 átomos têm que ir para o nível 2. Portanto:
P4 ∆nc 4
n
≈
≈ 2 ≈2
P3 ∆nc 3 n2 / 2
Assim, os lasers de 4 níveis são
mais eficientes que os de 3 níveis.
Laser de He-Ne
Por causa da forma como é
produzida, a luz do laser
apresenta algumas
propriedades muito
importantes: coerência,
monocromaticidade, baixa
divergência e alta densidade
de energia (energia por
unidade de área do feixe). FNC0376 - Fisica Moderna 2
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Laser de He-Ne
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