Aula 14

O He Líquido
Caso de 1 mol de He em CNTP:
e −α =
(2
h 3c 3 N
2
)
3/ 2
3
(
1,24 keV.nm ) ⋅ 6 ⋅10 23
=
(2 ⋅ 4 GeV ⋅ 0,025 eV )3 / 2 ⋅ 22,4 ⋅103 cm3
=
mc kT V
3
(
0,051
0,051
1,24 eV.m ) ⋅ 6 ⋅105
−6
10
=
≈
<< 1
=
=
3/ 2
3/ 2
4
3
6
1,5 ⋅10
(2 ⋅ 4 eV ⋅ 25 eV ) ⋅ 22,4 m ⋅10 (628)
Portanto a descrição do He em CNPT é OK com a distribuição de Boltzmann.
Mas vejamos o que acontece com o He líquido, a 4,2 K, cuja densidade é de
0,124 g/cm3:
23
N 6 ⋅10
=
⋅ 0,124 g/cm 3 ⋅ (10 2 cm/m)3 = 1,9 ⋅10 28 m −3
V 4 g/mol
3
28
(
)
⋅
⋅
1
,
24
keV.nm
1
,
9
10
e −α =
=
3/ 2
(2 ⋅ 4 GeV ⋅ 0,025 eV )
3
(
1,24 eV.m ) ⋅1,9 ⋅1010 3,6 ⋅1010
=
=
3/ 2
1,5 ⋅10 4
(2 ⋅ 4 eV ⋅ 25 eV )
≈ 106 >> 1
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1
F. London (1938): tratar o He líquido como um gás ideal que obedece a
distribuição de Bose-Einstein. Em 1924, Kamerlingh-Onnes e Boks haviam
medido a densidade do He em função de T e observado uma anomalia:
Keesom e Wolfke (1928): transição de
fase em 2,17 K (He1
He2). O He2 seria
composto por 2 fluidos: uma fração
normal, com as mesmas características do
He1 e uma fração superfluida. Na fase
superfluida, todos os átomos de He
estariam no mesmo estado quântico.
Quanto menor a T, maior a fração do
estado superfluido.
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2
A transição de fase He1
He2 é clara na
curva do calor específico em função da
temperatura. O ponto de transição é
conhecido como ponto λ:
106
O He líquido ferve na fase He1 e
deixa de fazê-lo na fase He2, pois a
0.
viscosidade
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3
Transição de He1 para He2
He2
He1
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4
Vimos que o número de partículas é dado por:
2 (2m ) V
N = ∫ n( E )dE = ∫ g ( E ) f Bose ( E )dE =
3
h
0
0
∞
∞
2 (2mkT ) V
=
h3
3/ 2
3/ 2
∞
E 1/ 2
∫0 eα e E kT − 1 dE =
∞
x1/ 2
∫0 eα e x − 1 dx
com x = E/kT
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O problema com a nossa contagem de número de estados, é que usamos
uma distribuição contínua de energias. Quando E é grande, isso não é um
problema, pois a densidade de estados é muito grande. Mas, quando E
0,
temos problemas, pois, g(E) ∝ E1/2 ⇒ g(E) = 0 se E = 0.
Isso não é um problema para um gás de férmions, onde cada estado só pode
ser ocupado por 2 férmions de spins opostos. Ou seja, estaríamos ignorando
2 partículas em 1 mol. Mas, no caso de bósons, principalmente quando T é
baixa, a probabilidade de haver muitos bósons no estado de energia mais
baixa é muito grande e aí nossa contagem erra feio. Ou seja, nossa condição
de normalização deixa de valer abaixo de uma temperatura crítica, TC. Vamos
então assumir a normalização como:
2 (2mkT ) V
N = n0 +
h3
3/ 2
∞
x1/ 2
3/ 2
(
)
dx
=
n
+
AV
kT
G (α )
0
∫0 eα e x − 1
∞
x1/ 2
Com: G (α ) = ∫ α x
dx
e e −1
0
Aí podemos discutir 2 limites:
1) Para α muito grande: G (α ) →
2
e −α ; e 2) para α = 0: G (0) →
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2
2,612
6
Quando α ~ 1/N (eα ≈ 1) já é suficientemente pequeno para que possamos
usar o resultado de G(0) e determinar o número de partículas no estado
fundamental:
n0 = N − AV (kT ) G (0) = N − AV (kT )
3/ 2
 T
Ou: n0 = N 1 − 
  TC
T
n0
= 1 − 
N
 TC



3/ 2



3/ 2
3/ 2
2,612
2

1
2N
 ; e TC = 
k  2,612 AV




2 2
2 hc
No caso do He, TC: TC =
kmc 2
2/3
2 h  ρ 
=


km  2,612 
2
 1,9 ⋅10 m

2,612

28
(
−3



2/3
2/3
⇒
)
2 (200 MeV.fm) 2
27
−3 2 / 3
7,27 ⋅10 m
⇒ TC =
=
-5
−1
4 GeV ⋅ 8,6 ⋅10 eV.K
2 ⋅ 3,75
Comentar 3He, TC = 2,7 mK
=
K = 2,74 K
8,6
Abaixo dessa temperatura (na verdade 2,17 K), a
fração de átomos no estado fundamental (com
propriedades de superfluido) aumenta.
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x 105
Mermin & Lee, Sci. Amer. 235(1976)59
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Boltzmann como boa aproximação das distribuições quânticas
n(ε 2 ) g (ε 2 ) −
Fator de Boltzmann:
e
=
n(ε 1 ) g (ε 1 )
ε 2 −ε 1
kT
Podemos usá-lo para determinar a razão de ocupação de estados em um
sistema quântico, quando ε >> kT. Exemplo: colisões térmicas de átomos em
um gás à temperatura T.
Estados excitados são pouco populados ⇒ podemos usar o fator de
Boltzmann para determinar as populações relativas e determinar as
correspondentes intensidades de transição.
Ou vice-versa, como discutimos no caso da determinação de temperatura de
estrelas a partir da observação de espectros.
Vamos usar o fator de Boltzmann para estudar o funcionamento do LASER.
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Amplificação de Luz pela Emissão Estimulada de Radiação
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Processos para transição entre 2 estados atômicos:
fóton de v = (ε2 – ε1)/h
fóton virtual de v = (ε2 – ε1)/h
Vida média típica de um estado excitado
atômico é 10 ns. Alguns estados, por
conta do momento angular elevado,
podem ter vidas médias da ordem de
ms, sendo chamados de metaestáveis.
Suponhamos 1 conjunto de átomos, com n1 átomos no estado ε1 e n2 no
estado ε2, com ε2 > ε1, em equilíbrio térmico com radiação eletromagnética de
densidade de energia espectral ρ(v), a uma temperatura T.
A probabilidade (por átomo e por unidade de tempo) de que um átomo no
estado 1 faça uma transição para o 2 (absorção), deve ser proporcional a ρ(v)
em v = (ε2 – ε1)/h. A taxa de emissão estimulada também é proporcional a ρ(v)
em v = (ε2 – ε1)/h. Mas a emissão espontânea não. As taxas de transição
também dependem das características dos estados, por causa dos elementos
de matriz de dipolo elétrico, etc.
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10
A probabilidade, por unidade de tempo, de haver uma transição do estado 1
para o 2, pode ser escrita como: R1→2 = B12 ρ (v ) , onde B12 é um coeficiente
que inclui a dependência das funções de onda dos estados 1 e 2.
Já a probabilidade de que um átomo no estado 2 faça uma transição para o 1
é uma soma de 2 termos: a probabilidade de emissão espontânea, A21, e a de
emissão estimulada, B21ρ(v). Assim: R2→1 = A21 + B21 ρ (v ) .
Como o sistema está em equilíbrio térmico, as taxas de 1
2 e de 2
1
devem ser iguais: n1 R1→2 = n2 R2→1 . Substituindo:
n1 B12 ρ (v) = n2 [A21 + B21 ρ (v)] ⇒ ρ (v) =
A21 B21
n1 B12
−1
n2 B21
Vamos usar o fator de Boltzmann, com hv = ε2 – ε1, para avaliar a razão n1/n2,
considerando g(ε2) = g(ε1):
n1
=e
n2
ε 2 −ε 1
kT
=e
hv
kT
Substituindo em ρ(v): ρ (v ) =
A21 B21
B12 hv kT
e
−1
B21
Mas essa expressão deve ser consistente com a obtida por Planck para a
radiação de corpo negro:
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hv
8 v2
8 hv 3
1
=
T (v ) =
hv kT
3
c e
−1
c 3 e hv kT − 1
ρ (v ) =
Planck
A21 B21
B12 hv kT
e
−1
B21
B12
A21 A 8 hv 3
Portanto:
=1 e
= =
B21
B21 B
c3
Esses são os coeficientes A e B de Einstein, que publicou trabalho sobre esse
assunto em 1917. Só temos a razão entre eles, mas A pode ser calculado
(MQ, como vimos em Moderna 1).
O resultado de que B12 = B21 é muito interessante, pois mostra que os
processos de emissão e absorção (estimulados) só dependem das
características físicas do átomo.
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