Teorema de Bolzano 1

Matemática A
Teorema de Bolzano
12º Ano
BOLZANO
f uma função real de variável real
 contínua no intervalo  a , b
Se f  a  k  f  b
então c  a, b : f c   k
Seja f uma função real de variável real
 contínua no intervalo  a , b
 f  a . f  b  0
então c  a, b : f c   0
Seja
TEOREMA
COROLÁRIO
1. Mostra, aplicando o Teorema de Bolzano, que a equação:
a) x 4  2x  1  0 tem pelo menos uma raiz no intervalo  1, 0 .
b) x 4  2 x  1  3 tem pelo menos uma raiz no intervalo 1, 2 .
c) g ( x)  14 tem pelo menos uma solução no intervalo 2,5;3 sendo g a função definida em
ℝ por g ( x)  e x  x  1.
2. Mostra que o polinómio x3  4 x2  7 x  1 tem pelo menos um zero no intervalo 0,1 .
3. Considera a função h , real de variável real, definida por h  x   3x  x 2 . Prova que:
a) O gráfico de h intersecta o eixo das abcissas num ponto de abcissa pertencente ao intervalo
1, 0 .
b) A equação h  x   3 tem uma solução pertencente ao intervalo 1, 2 ?
4. Seja f uma função real de variável real, de domínio [a,b]  ℝ. Se f  a  e f  b  têm sinais
contrários, existirá obrigatoriamente um zero de f em a, b ? Justifica.
5. Sendo f contínua em 1,9 tal que: f 1  5 
f  9   0 , indica, justificando, o valor
lógico das afirmações:
a) g tem pelo menos um zero em 1,9 , sendo g  x   f  x   3 .
b) h tem pelo menos um zero em 1,9 , sendo h  x   f  x   3 .
c) t tem pelo menos um zero em  2, 6 , sendo t  x   f  x  3 .
6. Se f é contínua em 5,8 , f  5  1 e
f 8  3 , indica o valor lógico das seguintes
afirmações?
a) Todos os valores de f estão no intervalo 1,3 .
b) Existe um valor de c do intervalo 5,8 tal que: f  c   1, 4 .
Matemática A
Teorema de Bolzano
12º Ano
7. Para cada valor de k , real, a expressão f  x   x3  8x  k define uma função.
Determina k de modo que a função f  x   0 tenha, pelo menos, uma raiz real em 0,1 .
8. Considera uma função f , contínua num intervalo a , b , tal que f  c   f  d   0 com
a  c  d  b e f  a  . f  b   0 . Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) A equação f  x   0 tem uma solução em a, c .
(B)
f  x   0 em c, d  .
(C) A
equação f  x   0 pode ter infinitas soluções em a, b .
(D) A
equação f  x   0 tem no mínimo 4 soluções em a, b .
9. Seja f uma função contínua e injectiva tal que f
0,1  2,5 ,
então a equação
f  x   3  0 no intervalo  0,1 :
(A) Admite uma
só solução.
(C) Não admite soluções.
(B) Admite mais do que uma solução.
(D) Pode ter ou não solução.
10. Seja f uma função contínua em a , b tal que f  a   3 e f  b   1 , então é verdadeira a
afirmação:
(A) f não tem zeros em a , b .
(B) f tem zeros em a , b
(C) f pode ter ou não ter zeros em a , b .
(D) se f tiver zeros em a , b , tem um único zero.
3  x 2 , x  0

11. Considera a função de variável real j  x    3x  1
.
,
x

0

 x 1
a) Justifica que j  1  j 1  0 .
b) Pode aplicar-se o Teorema de Bolzano à função j no intervalo  1,1 ? Justifica.
c) A função anula-se? Justifica.
12. Considera a família de funções:
a 2 x 2 , x  2
f  x  
, aℝ
(1  a) x, x  2
Pretende-se aplicar o Teorema de Bolzano no intervalo  0,3 . Qual terá de ser o valor de a de
modo a que tal seja possível?