1 Grupo de Trabalho: Educação Matemática, Novas Tecnologias e

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Grupo de Trabalho: Educação Matemática, Novas Tecnologias e Ensino a Distância
POTENCIALIDADES DE UM SOFTWARE GRÁFICO NA COORDENAÇÃO DAS
REPRESENTAÇÕES MÚLTIPLAS DE FUNÇÕES
Francisco Carlos Benedetti1
GPIMEM2 – UNESP Rio Claro/SP
[email protected]
Este artigo foi produzido a partir de pesquisa de mestrado apresentada no ano
corrente, a qual investiga as potencialidades de um software gráfico na coordenação das
representações múltiplas de funções, por dois pares de estudantes de primeira série do
Ensino Médio, os quais iniciavam o estudo desse assunto em suas aulas regulares. São
descritas cenas de uma das duplas participantes da pesquisa, mais especificamente, excertos
de três episódios. Nestes, os estudantes lidaram com funções da forma y=a.xn, a∈ℜ e n∈Ν,
além de funções racionais de expressões analíticas y=1/x e y=1/(x2+1), coordenando as
representações das mesmas, especialmente a gráfica, a algébrica e a tabular; suas ações
foram condicionadas pelo design do software. As análises, focadas sobre a experimentação
dos estudantes, foram realizadas sob o ponto de vista teórico que entende o pensamento
como a realização de um coletivo, o qual inclui seres humanos e tecnologias intelectuais.
1. Apresentando a pesquisa
Ao longo dos anos trabalhando como professor de Matemática no Ensino Médio
verifiquei, em diversas ocasiões, dificuldades no ensino e na aprendizagem de funções,
tanto em meu ambiente de atuação como também num contexto mais geral. A partir desse
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Mestre em Educação Matemática pela Unesp de Rio Claro e professor da Faculdade Prudente de Moraes,
em Itu (SP).
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Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática. É coordenado pelo Prof. Dr.
Marcelo de Carvalho Borba, e pertence ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática (PGEM) da
UNESP/Rio Claro. Home Page: www.rc.unesp.br/igce/pgem/gpimem.html.
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quadro, passei a transformar, gradualmente, minha prática pedagógica, de maneira
simultânea à minha transformação de professor em professor-pesquisador, o que se deu de
maneira simultânea à utilização de softwares gráficos em minhas aulas.
Paralelamente a esses fatos, constatei, em meio às buscas por aplicativos que
pudessem enriquecer essas aulas, uma progressiva disponibilidade de softwares gráficos,
vários deles inclusive gratuitos e disponíveis pela Internet. Diante disso, vislumbrou-me a
possibilidade de os mesmos, com o passar dos anos, poderem se tornar acessíveis a um
número de salas de aula cada vez maior.
Tais considerações me levaram a desenvolver uma investigação enfocando
conceitos ligados ao tema “funções” e suas diversas representações, entendendo que esse
assunto é presente, no mínimo, desde a 8ª série do Ensino Fundamental, perpassando todo o
Ensino Médio e permanecendo em diversos cursos de nível superior.
Em pesquisa desenvolvida junto ao GPIMEM e apresentada no ano corrente,
descrevi um estudo sobre as maneiras como estudantes de primeiro ano do Ensino Médio,
em início do tratamento com funções, lidaram com conceitos associados a esse tema, junto
a um software gráfico e a outras mídias, transitando pelas representações múltiplas de
funções, em especial, gráficos, tabelas e expressão analítica.
Tal estudo baseou-se, primordialmente, na idéia de “coletivos pensantes”, de Pierre
Lévy (1993, 1999), expressão ocasionalmente utilizada pelo autor para caracterizar a noção
do conhecimento como algo produzido por um coletivo, o qual se constitui por seres
humanos e tecnologias intelectuais, como a oralidade, a escrita e a informática.
Neste artigo, realço um dos temas utilizados na pesquisa para desenvolver a análise
dos dados obtidos, a saber, a forma como comandos do software Graphmatica3
constituíram o pensamento de pares de estudantes, em atividades nas quais trabalharam
com funções que ainda desconheciam.
2. Referências metodológicas e teóricas
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Software gráfico que disponibiliza simultaneamente gráfico, tabela e expressão analítica de uma função de
uma variável, a partir desta última representação. Mais detalhes: http://www8.pair.com/ksoft/
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Três pares de estudantes de primeiro ano do Ensino Médio, em fase inicial do
estudo de funções em suas aulas regulares, participaram da pesquisa lidando com
representações múltiplas de funções que tradicionalmente não são trabalhadas em sala de
aula, tanto em termos de conteúdo curricular, quanto em atividades constantes em diversos
livros didáticos.
Características de funções de expressões analíticas como y = 1 / x , y = x e y = x 3
foram trabalhadas por esses estudantes no computador e, em diversas situações, conforme
se analisará, através do software gráfico articulado às outras mídias disponíveis.
Vários trabalhos abordam o papel que a mídia informática desempenha no estudo de
funções por estudantes de diversos níveis. O que se neles se destaca é o fato de que
habilidades com questões ligadas às funções são desenvolvidas na medida em que suas
diferentes representações integram seus processos de ensino e aprendizagem. Tais
conclusões são compartilhadas por Borba (1993, 1995, 1999) e Borba e Confrey (1996), ao
investigarem como estudantes lidaram com as características do software Function Probe
para estudar certas famílias de funções; Schwarz e Dreyfus (1995) e Schwarz e
Hershkowitz (1999) desenvolveram construtos teóricos abordando as vantagens de se
utilizar a mídia informática para propiciar a interligação entre as representações; outros
trabalhos (SOUZA, 1996; BRENNER et al, 1997; CASTRO et al, 2000; GOMESFERREIRA, 1998; O’CALLAGHAN, 1998) chegaram a conclusões semelhantes, em
relação ao trabalho com as representações, através de pesquisas envolvendo softwares
gráficos ou calculadoras gráficas.
Entendo que esta pesquisa traz novas contribuições à Educação Matemática, no
sentido de proporcionar novas reflexões a professores, pesquisadores e professorespesquisadores. Tais reflexões podem ser feitas a partir de diversos exemplos analisados,
referindo-se a como estudantes lidaram com aspectos de funções que não conheciam, já
que, até então, haviam estudado preponderantemente funções afins e quadráticas, na 8ª
série do Ensino Fundamental.
Focar-se nesse “como”, aliás, é uma das principais características da pesquisa
qualitativa, cujos objetivos não se baseiam na mera obtenção de resultados finais, ou na
prioridade em conclusões a respeito de o(s) aluno(s) ter(em) ou não aprendido determinado
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conceito. Analisar com profundidade o processo como se desenvolve certo fenômeno, neste
caso, em atividades pedagógicas, é uma das principais características das investigações
qualitativas, como indicam, de maneiras semelhantes, Goldenberg (1998), Denzin e Lincoln
(2000), Bogdan e Biklen (1994) e Alves-Mazzotti e Gewandsznajder (1999).
A caracterização desta pesquisa como qualitativa também se verifica pela estratégia
metodológica escolhida, denominada experimentos de ensino. Brevemente, pode-se
entender tal estratégia como seqüências de encontros em que um ou alguns estudantes e
investigador realizam atividades de pesquisa e de aprendizagem. O segundo, no caso,
assume um papel semelhante ao de professor, atuando como tal e interagindo com os
estudantes (COBB, 2000).
Normalmente, nesses encontros, as atividades incluem instrumentos de registro,
como câmeras de vídeo, gravador e caderno de campo, além de métodos de pesquisa, como
observação participante, entrevista e fichas de trabalho. Steffe e Thompson (2000) afirmam
que os experimentos não se caracterizam por procedimentos padronizados, uma vez que o
pesquisador deve criar estratégias que visem explorar a Matemática dos estudantes, através
de uma seqüência de atividades construídas a partir de hipóteses em situações de ensino e
de aprendizagem.
Nesse contexto, a estratégia se caracteriza pelas ações articuladas entre ensino,
aprendizagem e atividades de pesquisa, buscando-se a compreensão de transformações
pelas quais atravessa a Matemática dos estudantes em períodos determinados, valorizandose a experimentação como uma de suas características, em detrimento da simples
classificação de respostas dos alunos em “certas” ou “erradas”. Dessa forma, tais
considerações metodológicas são coerentes com o ponto de vista teórico com o qual foram
desenvolvidas e analisadas as atividades deste estudo, nas quais estudantes transitaram
pelas representações de funções.
Baseando-me na relevância das interações em processos de ensino e aprendizagem,
utilizei a idéia, proposta por Lévy (1993, 1999), das mídias como condicionantes do
pensamento humano. O autor desenvolve a noção do pensamento e do conhecimento como
uma produção coletiva, postulando, em linhas gerais, que aquilo que se conhece assim é
possível devido à atuação de tecnologias intelectuais diversas, junto aos seres humanos.
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“[...] O pensamento se dá em uma rede na qual neurônios, módulos cognitivos, humanos,
instituições de ensino, línguas, sistemas de escrita, livros e computadores se interconectam,
transformam e traduzem as representações” (LÉVY, 1993, p. 135). Ou seja, Lévy entende
que o pensamento é realizado por um coletivo de homens-coisas, de forma que não é
possível fragmentar este pensamento em partes, cuja origem estaria no homem ou na mídia;
o pensamento ocorre mediante ambos, tornando-se muito difícil imaginá-los
separadamente.
Essa perspectiva indica que o pensamento manifestado pelo ser humano não se
realiza mediante uma característica exclusivamente individual, cerebral e independente
daquilo que acontece ao seu redor, mas sim com alguém ou alguma coisa. Enquanto
escrevo este texto, escrevo-o com os autores indicados e suas idéias, escrevo-o com meu
microcomputador e com minhas notas de campo. Creio que o verbo pensar, nesses termos,
deve ser usado também no sentido de pensar com, além do sentido de pensar em. “A
consciência é individual, mas o pensamento é coletivo” (LÉVY, 1993, p. 170).
O trabalho de Lévy (1993, 1999) enfoca aspectos filosóficos e sociológicos do
contexto computacional, os quais se estendem a outros campos, como o educacional. Nesse
sentido, Lévy acredita que “[...] a multimídia interativa, graças à sua dimensão reticular ou
não linear, favorece uma atitude exploratória, ou mesmo lúdica, face ao material a ser
assimilado. É, portanto, um instrumento bem adaptado a uma pedagogia ativa” (1993, p.
40).
Seguindo esse autor, considero que o computador não se restringe a um mero
extensor do conhecimento humano, mas a mídia informática é, mais especificamente no
caso das atividades de pesquisa aqui desenvolvidas, um dos constituintes de coletivos
pensantes, ou seja, grupos que englobam alunos, professor e tecnologias intelectuais,
alimentados por um dinâmico processo de ensino e aprendizagem.
Borba (BORBA, 1999, 2002; BORBA, PENTEADO, 2001) explora esse ponto de
vista trazendo-o ao campo da Educação Matemática, ao desenvolver a metáfora “sereshumanos-com-mídias”, entendendo que o conhecimento matemático, por conseguinte,
também é condicionado pelas mídias disponíveis.
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Em relação às funções, Borba (1999) observa que o predominante enfoque algébrico
no ensino de funções provavelmente se deve à preponderância do uso da mídia escrita,
representada, entre outros, pelo livro didático. Zuffi (1999), em sua pesquisa sobre a
linguagem de professores de Ensino Médio, observou a influência do livro didático na
prática pedagógica daqueles. Os professores que participaram dessa investigação
demonstraram, tanto em sala de aula quanto em entrevistas, que os exemplos de funções
com os quais lidavam não apenas se limitaram a alguns tradicionalmente ensinados, como
funções afins, quadráticas e outras constantes nos livros, como também pouco ou nada
exploraram noções associadas a esse tema que realçassem suas idéias mais dinâmicas,
como monotonicidade e noções de variação e dependência.
Não procuro, com isso, combater o uso do livro didático, mas entendo que
aproveitar as potencialidades que a mídia informática oferece pode ampliar a construção de
significados associados às funções, uma vez que os softwares gráficos possuem
características que favorecem a exploração de conceitos muitas vezes limitados pela mídia
escrita. De acordo com a metáfora seres-humanos-com-mídias de Borba (BORBA, 1999,
2002; BORBA, PENTEADO, 2001), o pensamento dos estudantes pode, dessa forma, se
constituir através de aspectos também da mídia informática, além daqueles
tradicionalmente construídos junto à mídia escrita.
No caso desta pesquisa, o debate concentra-se mais na atuação do Graphmatica
durante as atividades, já que o computador é a mídia mais “recente” em atividades
pedagógicas, particularmente no estudo de funções. Retornarei a estas questões teóricas
mais adiante, para discutir como tais idéias se fizeram presentes no contexto desta
investigação. No próximo item, apresento ao leitor cenas de três dos onze episódios
construídos a partir dos experimentos de ensino realizados por ocasião da pesquisa.
3. Cenas dos experimentos de ensino
Como já mencionado, a pesquisa investigou como estudantes em início do
tratamento com funções, no Ensino Médio, trabalharam com as representações algébricas,
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gráficas e numéricas de funções, num ambiente com mídias orais, escritas e informáticas,
dentre outras que pudessem ser consideradas.
Dessa forma, as dinâmicas de coletivos pensantes analisadas se referem a atividades
em que se engajaram grupos com pares de estudantes e o pesquisador (no caso, o autor
deste artigo, desempenhando também o papel de professor), lidando com as representações
de funções junto ao software Graphmatica, à mídia lápis-e-papel e a uma calculadora
simples. Os grupos iniciaram suas investigações utilizando-se de roteiros escritos,
conhecidos como fichas de trabalho, as quais apresentavam funções diversas: tanto aquelas
com que os estudantes já haviam trabalhado (polinomiais de graus 1 e 2), como também
algumas inéditas a eles (como funções racionais ou polinomiais de outros graus).
Cinco episódios foram descritos e analisados com a dupla Vivian e Fernanda, alunas
que, segundo sua professora, tiveram desempenho notável em Matemática durante a 8a
série. Seis episódios foram construídos ao serem reunidas cenas em que André e Gianluca
lidaram com funções diversas, num total de 5 encontros.
A seguir, separados em dois itens, apresento o resumo de três desses episódios,
construídos junto a André e Gianluca, os quais não possuíam, à época dos experimentos,
um desempenho em Matemática considerado satisfatório pelos critérios da escola. Após a
descrição, farei uma análise dos mesmos, à luz das idéias expostas no item anterior. Para
facilitar a descrição dos episódios, freqüentemente me refiro ao professor que atuou nos
experimentos na terceira pessoa, a fim de diferenciar seu papel em relação ao autor deste
texto, indicado nas transcrições com a inicial “F”; a inicial “A” indica falas de André,
enquanto “G” indica falas de Gianluca.
3.1 O “teorema” AG-GA
Analisando as similaridades e diferenças entre os gráficos gerados a partir das
expressões analíticas y=x_ e y=x_ (figura 1), Gianluca e André haviam observado que se
interceptavam no mesmo ponto (1,1); perguntei então se havia uma maneira algébrica de se
verificar esse fato, esperando que substituíssem x por 1 e fizessem os cálculos y=1_ e y=1_.
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Figura 1: Gráficos obtidos a partir das expressões
analíticas y=x_ e y=x_
Apenas como informação adicional ao leitor, um estudante, em outro experimento
realizado com uma dupla de alunos dessa mesma turma, aplicou uma seqüência de zoom
nas proximidades do ponto (1,1) como meio de concluir, visualmente, que este pertence aos
gráficos dessas funções.
Gianluca, utilizando a letra a comumente atribuída ao primeiro coeficiente de um
polinômio em sua forma completa, como y=ax+b e y=ax2+bx+c, afirmou que, se o
coeficiente a valesse 2, no caso especial em que os outros coeficientes valem zero, então os
gráficos “passariam” pelo ponto (2,2). Já com o Graphmatica, através dos gráficos de
y=2x_ e y=2x_, os alunos verificaram que é o ponto (1,2) e não (2,2) que pertence aos
gráficos dessas funções, desapontando-os por um instante. Os estudantes, a partir dessa
questão, iniciaram um processo para deduzir um comportamento geral para funções do tipo
y=a.xn.
Presumiram, em seguida, que gráficos de funções reais da forma y=a.xn, a∈ℜ e
n∈Ν, contêm o ponto (1,a), qualquer que seja o valor real de a; o debate sobre esta
conjectura foi alternado com discussões envolvendo formas completas de expressões
analíticas de funções polinomiais de 1°, 2° e 3° graus. Insisti, evidenciando meu “viés
algébrico”, na busca de um modo que mostrasse algebricamente que a hipótese de André e
Gianluca, a qual acabaria se transformando em “teorema”, era verdadeira.
André construiu, no papel, tabela e gráfico obtidos a partir da expressão analítica
y=2x2 para, em seguida, compará-los com tabela e gráfico oferecidos pelo software,
chegando inclusive a constatar alguns erros de cálculo que havia feito.
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A experimentação dos estudantes junto ao software caracterizou-se, neste episódio,
pelo esboço de vários gráficos, alguns com e outros sem a intervenção do professor. O
processo então incluiu gráficos obtidos através de y=x2, y=x3, y=2x2, y=2x3, y=3x2, y=3x3,
y=4x2, y=4x3, y=x65 e outros; Gianluca utilizou ainda expressões como y=4x2+3x-12 e
y=4x2+x para ressaltar que a conjectura com a qual estavam trabalhando se referia apenas a
expressões da forma y=axn, com os outros coeficientes valendo zero. Após esse processo,
que incluiu o cálculo requerido pelo professor, os estudantes constataram que gráficos de
funções de expressão algébrica y=axn possuem o ponto (1,a) em comum.
Tal dedução deu-se graficamente, em princípio, através dos vários exemplos de
funções já citados, e a expressão analítica foi utilizada, com bastante influência por parte do
professor, para que deduzissem esse mesmo fenômeno na representação algébrica.
A mídia escrita, vale dizer, priva-nos de muitos detalhes desta interação. As
imagens, os sons, os gestos e as expressões usadas por esse coletivo enriquecem
demasiadamente o episódio, não sendo possível apresentar tais itens neste artigo.
A conjectura AG-GA, iniciais dos estudantes, recebeu ironicamente o status de
“teorema”, refletindo de modo descontraído a forma com a qual o grupo encarou o desafio
algébrico proposto por mim, a partir de uma hipótese de Gianluca, construída por meio de
esboços gráficos no Graphmatica. A seguir, apresentarei outro aspecto da experimentação
realizada pelos estudantes, através do estudo de duas funções racionais.
3.2 Funções racionais
Figura 2: gráfico obtido a partir de y=1/x
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Figura 3: gráfico obtido a partir de y=1/(x2+1)
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Neste item não será discutido o conteúdo de um episódio todo, mas aspectos
trabalhados pelo grupo ao lidarem com a função racional prototípica, dada por y=1/x, e
com a função de expressão analítica y=1/(x2+1), representadas graficamente nas figuras 2 e
3, respectivamente.
Todas as expressões analíticas apresentadas ao longo dos experimentos assim o
foram de maneira usual, ou seja, sem especificar domínio e contradomínio; tampouco se
discutiu sobre funções que possuem uma representação inviabilizada ou pouco expressiva.
Dessa forma, perguntei aos estudantes, em cada uma das funções que se apresentava nas
fichas de trabalho, qual era o domínio das mesmas, procurando observar em quais
representações suas respostas seriam baseadas.
No episódio em que a função racional da figura 2 foi trabalhada, tal questão
proporcionou um intenso debate entre estudantes e professor, junto com as mídias diversas,
sobre os significados gráfico e algébrico de domínio, bem como sobre as representações
diversas de função. No caso da função mencionada, André observou a tabela que o
Graphmatica lhe oferecia e disse que “o domínio será 7.0, 6.0, 5.0, pontinhos, -7.0”, numa
alusão aos valores inteiros do intervalo − 7 ≤ x ≤ 7 disponibilizados pela tabela.
Após longa discussão que envolveu a idéia de continuidade, os estudantes
afirmaram que o domínio de tal função se referia a todo o conjunto dos números reais.
Apesar de discussões anteriores em relação ao fenômeno “encosta ou não encosta” e da
mensagem de erro que a tabela oferecia para x=0, os estudantes mantiveram sua posição: “o
domínio é ∑ !”. Diante do impasse, o professor interferiu algebricamente:
F: Galera, eu posso pôr o zero naquela fórmula? No lugar do x?
G: Zero? Pode.
A: Ele é um número...
F: O zero é um número.
[...]
F: E 1 sobre 0? Quanto dá um sobre zero, então?
G: Zero. Um dividido por nada, dá nada.
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A: Não, mas olha aqui na tabelinha: zero no x e no y deu erro.
G: Acho que não podia colocar o zero...
A: Vamos ver. Bom, um sobre zero dá zero, né?
G: É.
A: Então, se x vai dar zero, y vai dar quanto? O y vai dar zero também, então vai dar dois
zeros: zero e zero. Então teria que ter um ponto aqui no meio [mostra o ponto (0,0) no
gráfico do software].
Seguiu-se a discussão sobre a divisão de zero e por zero, com uma participação
imprescindível do professor, não só para expor exemplos diversos de divisão e realizar
várias perguntas, mas também para chamar a atenção dos estudantes à mensagem de erro
que a calculadora lhes apresentara ao dividirem 1 por 0.
Em outro episódio, ao lidarem com a função representada na figura 3, a calculadora
foi utilizada pelos estudantes, simultaneamente às imagens oferecidas pelo software
gráfico. Após usar sucessivamente os comandos de zoom e as barras de rolagem do
Graphmatica, os estudantes procuraram deduzir, de modo semelhante ao realizado com a
função de expressão y=1/x , se o gráfico obtido por y=1/(x2+1) “encostaria” ou não no eixo
x. A figura 4, juntamente com mais um trecho das transcrições realizadas, procura ilustrar a
cena em que é possível se verificar o trânsito dos alunos pelas representações de funções:
F: [...] Quando eu pego valores de x cada vez maiores, para que valor se aproxima y?
G: [manipulando o ponteiro do mouse sobre o gráfico] Maiores, né? Maiores que... [deixa
a frase inacabada, provavelmente por estar prestando mais atenção ao comportamento do
gráfico]
F: [observando os valores que o gráfico disponibilizava] Se você pegar o 176,2 [que estava
disponibilizado também na tabela] para valor de x, o y é um valor... alto?
G: Posso fazer?
F: Tem a tabela... [Gianluca aceita a sugestão (figura 4)]
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Figura 4: A interface do Graphmatica, com as representações gráfica,
algébrica e tabular da função racional mencionada, após várias aplicações
de zoom e das barras de rolagem.
Discutiram, assim, o significado de 322 X 10^-5, chegando a um consenso de que se
tratava de um número “muito pequeno”, o que ajudou Gianluca a concluir que o valor
tenderia a zero.
F: [...] chegar mais perto do eixo x significa que...
A: Mas não cola! [gestos]
F: Mas não cola. Por que não cola?
G: Porque o nosso x não é zero.
F: Mas vocês acabaram de me dizer que o x pode valer zero...
A: Ah não. É o y que não pode valer zero.
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O professor, aproveitando a imagem com que Gianluca estava trabalhando, na qual
o gráfico parecia estar superposto ao eixo x, perguntou:
F: Que ponto é esse?
G: [corretamente] É o ponto (250,0).
F: Ele está no gráfico?
AG: Está.
F: Então, quer dizer que, se eu puser 250 na fórmula e fizer a conta, então o y vai dar zero.
A: Vamos ver [faz na calculadora] [...] 0,0000159, e não dá zero. Então, não encosta!
Dessa forma, após usarem várias vezes os comandos zoom e as barras de rolagem,
observando valores na tabela e utilizando a calculadora para efetuar as operações com a
expressão analítica da função, os estudantes concluíram que tal gráfico não teria ponto em
comum com o eixo x.
Assim, realizada a apresentação de alguns dos dados da pesquisa, desenvolvo, no
próximo item, uma apreciação desses dados sob o ponto de vista teórico resumidamente
descrito no item 2, ou seja, analisando as maneiras como estudantes, professor-pesquisador,
mídias e funções constituíram-se em coletivos pensantes, engajados em processos de ensino
e aprendizagem.
4. Uma análise das cenas apresentadas
No primeiro episódio apresentado perguntei aos estudantes “quais as similaridades e
diferenças entre os dois gráficos?”, com a finalidade de iniciar a ficha de trabalho e rever os
conceitos de domínio e imagem de funções. O foco de tal atividade centrava-se nas
questões seguintes, mas um questionamento realizado pelos alunos levou o grupo a uma
discussão com itens matemáticos que não foram por mim previstos. Pode-se dizer que tal
pergunta possui um caráter estático, já que podia ser respondida sem “muitas interações”
com o Graphmatica, como o uso do zoom ou da barra de rolagem. Talvez fosse suficiente a
digitação dos dois gráficos citados, seguida de observações visuais ou algébricas.
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Entendendo “plasticidade” como característica daquilo que pode ser moldado ou
modificado, que pode assumir diferentes formas, observo que a plasticidade do pensamento
coletivo, condicionada, entre outras coisas, pela plasticidade do software, fez com que
outros gráficos fossem esboçados e outra questão tomasse um lugar central nas discussões.
Nota-se, nesse episódio, a característica multidirecional do pensamento em rede, noção que
Lévy (1993) desenvolve ao longo de sua descrição sobre a forma como as mídias orais,
escritas e informáticas constituem o pensamento de grupos diversos, caracterizando-se
assim a noção de inteligência coletiva.
Para facilitar a retomada da perspectiva teórica aqui utilizada, apresentarei um
trecho de Tecnologias da Inteligência (LÉVY, 1993), acrescido de grifos meus em negrito,
mantendo, ao mesmo tempo, os grifos em itálico originais do autor:
Um modelo digital não é lido ou interpretado como um texto clássico, ele
geralmente é explorado de forma interativa. Contrariamente à maioria das
descrições funcionais sobre papel ou aos modelos reduzidos analógicos, o
modelo informático é essencialmente plástico, dinâmico, dotado de uma certa
autonomia de ação e reação (p.121).
As expressões destacadas encerram idéias extremamente importantes na análise da
atuação do software durante os experimentos de ensino. A exploração interativa realizada
pelos estudantes junto ao Graphmatica pôde ser observada em vários aspectos, sendo neste
item detalhada, em especial, a forma como certas características do mesmo foram
importantes nas ações dos grupos.
Entendo que a exploração de Lévy (1993) relaciona-se, nesta pesquisa, à noção de
experimentação, o que pedagogicamente se atrela a tentativas e erros, construção de
conjecturas, confirmação ou refutação das mesmas, levantamento de hipóteses, dentre
outras considerações que podem emergir de atividades exploratórias, no caso, junto a um
software gráfico.
Em seu aspecto dinâmico, o Graphmatica evidencia-se em sua capacidade de
representar graficamente inúmeras funções de maneira prática, já que basta digitar uma
expressão analítica para a obtenção de gráfico e tabela correspondentes. Essa característica
do software permitiu que Gianluca, no primeiro episódio descrito, obtivesse vários gráficos:
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y=x_, y=x_, y=2x_, y=2x_, y=3x_, y=3x_, y=4x_, y=4x_ e y=x65 foram expressões
utilizadas para comprovar a validade da conjectura que chamaram de “teorema AG-GA”,
pelo qual deduziram que gráficos de funções de expressão analítica da forma y=a.xn, a∈ℜ e
n∈Ν, possuem o ponto referente ao par ordenado (1,a). Tal conclusão coordenou aspectos
algébricos (valores do coeficiente a das expressões analíticas) com aspectos gráficos
(coordenadas do eixo y correspondentes àquele coeficiente), enquanto que as expressões
y=4x_+3x-12 e y=4x_+x foram digitadas para reforçar essa validade, no sentido de que, se
não fossem tomados parâmetros b = c = 0, numa expressão da forma y=ax_+bx+c, por
exemplo, a conjectura possivelmente não seria verificada.
Há mais exemplos dessa dinâmica aqui não sendo possível descrever com mais
detalhes; embora não citado no início do item 3.2, André, anteriormente ao diálogo
apresentado, variou o numerador da função racional prototípica, a fim de observar se os
gráficos obtidos por y=1/x, y=2/x, y=3/x e y=-3/x “tocariam” ou não o eixo x. Na seqüência
do debate, garantiu que o gráfico de y=1/x não tinha ponto em comum com o eixo das
abscissas. É bastante provável que essa seqüência de gráficos, não percebida pelo professor
no momento em que André a realizara, tenha condicionado sua resposta, já que, ao explicar
para Gianluca o porquê dessa conclusão, trouxe mais um exemplo: y=365/x.
Diante do exposto, puderam ser observadas situações nas quais a característica do
software em disponibilizar dinamicamente vários gráficos propiciou a coordenação, pelos
estudantes, entre as representações algébricas e gráficas de funções, como a associação
entre o fenômeno gráfico “encosta ou não encosta” e a impossibilidade de uma das
variáveis assumir o valor zero.
Ainda em relação às capacidades do software, a experimentação também foi
verificada por meio de outro aspecto dessa mídia: ao se trabalhar com uma mesma função,
os comandos de zoom e as barras de rolagem permitiram que os estudantes “navegassem”
por suas características, principalmente em sua representação gráfica.
As barras de rolagem foram, pois, fundamentais para que os estudantes
investigassem as características gráficas e tabulares das funções racionais descritas no item
anterior. Como o leitor poderá perceber através da figura 4, o uso desse comando, o qual
permite serem variados os valores de x visualizados no gráfico, implica automática
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mudança na disposição de valores na tabela, tornando-a, também, à sua maneira, dinâmica.
Ou seja, os valores de x constantes na tabela permanecem condizentes com os valores
visualizáveis no gráfico.
Com a barra de rolagem horizontal, Gianluca buscava descobrir se o gráfico obtido
por y=1/(x2+1) “tocaria” ou não o eixo x. Esse aluno parecia assim esperar que, no
“momento certo”, ambos, gráfico e eixo x, coincidissem. No entanto, a forma como André
justificava que tal curva não teria ponto em comum com o eixo x era diferente em relação
ao trabalho com as funções racionais prototípicas: enquanto no primeiro encontro dos
estudantes André utilizou expressões como y=1/x, y=2/x y=3/x y=-3/x , construindo suas
conclusões a partir do esboço de vários gráficos, no trabalho com a função de expressão
analítica y=1/(x2+1), em outro encontro, suas conclusões foram desenvolvidas a partir das
várias imagens que conseguira usando o zoom in e as barras de rolagem.
Apesar de não ter sido desenvolvido, nas cenas aqui citadas, um trabalho mais
intensivo com as características das expressões algébricas apresentadas, é possível notar a
interligação entre as representações, o que é, aliás, verificado como uma realização
condicionada pelas mídias. Além da dinâmica dos softwares em representar inúmeras
funções (o que possibilitou a construção do “teorema” AG-GA), também se destaca o fato
de gráfico, tabela e expressão analítica terem sido coordenados pelos estudantes ao lidarem
com o problema “x=0” na função racional prototípica: “Zero. Um dividido por nada, dá
nada”; “Bom, um sobre zero dá zero, né?” (expressão analítica); “Não, mas olha aqui na
tabelinha: zero no x e no y deu erro (tabela); “Então, se x vai dar zero, y vai dar quanto? O
y vai dar zero também, então vai dar dois zeros: zero e zero. Então teria que ter um ponto
aqui no meio” (gráfico).
Verifica-se, na seqüência desses diálogos, não apenas uma interligação entre as
representações, mas também entre mídias: André utilizou a barra de rolagem até visualizar
o gráfico aparentemente coincidente com o eixo x, observando o par ordenado (1148;
0.0009) no ponto correspondente do gráfico e nos respectivos valores da tabela. Após
algumas observações simultâneas nestas duas representações, Gianluca utilizou a
calculadora para dar sentido aos valores representados na tabela; esse exercício o conduziu
a determinar o domínio da função racional, analisando que o zero não poderia pertencer a
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esse conjunto. Além disso, uma fala de André indica a coordenação entre álgebra e gráfico:
“0,0000159 e não dá zero. Então, não encosta!”.
A mídia escrita também esteve articulada ao uso do software, como nas cenas do
primeiro episódio, no qual André esboça o gráfico obtido por y=2x2, através da construção,
com lápis-e-papel, de uma tabela com inúmeros valores, comparando, em seguida, tais
representações com aquelas que o software oferecia; essa articulação entre mídias levou
Villarreal (1999) a utilizar a expressão “intermídias” para caracterizar, num ambiente de
ensino e aprendizagem, o estudo de um mesmo fenômeno através de suas representações,
em diferentes mídias.
O software, o lápis-e-papel e a calculadora condicionaram, dessa forma, a
coordenação entre as três principais representações, nesse caso com destaque para as
possibilidades que a barra de rolagem e o comando zoom in proporcionaram aos estudantes,
além da capacidade do Graphmatica de representar inúmeras funções dinamicamente.
De maneira geral, essa análise pode ser estruturada sob o conceito de navegação,
apresentado por Lévy (1993), ao desenvolver a metáfora da rede hipertextual: “[...] Navegar
em um hipertexto significa, portanto, desenhar um percurso em uma rede que pode ser tão
complicada quanto possível.” (p. 33).
“Complicado” aqui se refere ao não-seqüencial: as maneiras como os estudantes
pensaram com os comandos do software não seguiram uma estratégia linear, uma
seqüência de passos pré-estabelecida, mas a autonomia que lhes foi conferida, esboçando
vários gráficos ou utilizando zoom e barras de rolagem à sua maneira, permitiu-lhes
navegar pelas características gráficas das funções racionais propostas, discutir a divisão por
zero e, dentre outras ações, relacionar valores da tabela com o comportamento gráfico, de
maneira que a calculadora favorecera esse trânsito, através de valores atribuídos à variável
x em sua expressão analítica.
A quase instantaneidade da passagem de um nó a outro permite generalizar e
utilizar em toda sua extensão o princípio da não-linearidade. Isto se torna a
norma, um novo sistema de escrita, uma metamorfose da leitura, batizada de
navegação (LÉVY, 1993, p. 37).
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Dessa forma, entendo que esse processo de experimentação, que permeou a
construção do “teorema” AG-GA e a coordenação entre as três representações (gráfico,
álgebra e tabela) de funções racionais, dificilmente ocorreria, se as mídias disponíveis
não incluíssem as tecnologias informáticas.
Essa inferência não se deve apenas ao fato de que seria uma tarefa demorada
construir todos os gráficos e todas as tabelas citados nesses episódios mediante lápis-epapel, mas também ao fato de que seria muito difícil surgirem as conjecturas iniciais
descritas, de forma a conduzir os estudantes aos debates posteriores, a suas confirmações,
dúvidas e refutações.
5. Considerações finais
Com a descrição de algumas cenas, procurei ilustrar a forma com a qual estudantes
de primeiro ano do Ensino Médio, em início do estudo de funções, lidaram com
características de funções que tradicionalmente não são trabalhadas em sala de aula, pelo
menos naquilo que depende de currículo ou de considerável número de livros didáticos.
Através da perspectiva teórica “coletivos pensantes seres-humanos-com-mídias”, a análise
correspondente procurou investigar o papel que um software gráfico desempenhou em
atividades nas quais tais funções foram abordadas.
Em relação a livros didáticos, nota-se que, antecedendo o estudo intensivo das
funções polinomiais de 1º e 2º graus, funções de famílias diversas aparecem, de maneira
extremamente breve, apenas em exercícios nos quais se pede o domínio ou a imagem, dada
a expressão analítica ou o gráfico, dificilmente ambos simultaneamente.
Assim, a navegação pelas características de várias funções, protagonizada pelos
estudantes e favorecida pela capacidade do software em apresentar simultaneamente as
três principais representações de funções (gráfico, expressão algébrica e tabela), fornece
indícios de que um conhecimento mais abrangente sobre esse assunto pode ser construído
junto a essa mídia, de maneira que um mesmo fenômeno, estudado numa representação,
possa ser entendido também em outra representação. Porém, esta pesquisa não visa concluir
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que estes sejam os únicos meios de se chegar a uma efetiva construção de conceitos
referentes às funções, mas sim apresentar possibilidades para isso.
Em Benedetti (2003), o leitor pode consultar estas e outras conclusões nesse
sentido, inclusive a que relata como certos conceitos (monotonicidade, por exemplo), antes
associados, pelos alunos desta pesquisa, apenas às funções intensivamente por eles
estudadas, passaram a ser identificados também nas diversas funções com as quais lidaram
durante os experimentos de ensino. Neste artigo, todavia, apresentei as formas como
comandos e capacidades de um software gráfico condicionaram ações, de estudantes e
professor, que indicaram a coordenação entre as representações de certas funções.
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