Rima Abgucker

Leiten Sie die Put-Call-Parität her
Leiten Sie die Put
Put-Call-Parität mit Dividenden her
Preise von Spreads über die Put-Call-Parität
Put
Aktie kauft, den euro.Put kauft und
d euro. Call verkauft = Risikolos!
Aktie kauft, den euro.Put kauft und d euro. Call verkauft = Risikolos, trotz Dividende
So - Co + Po = K+D / 1+rf // Aktie sinkt um den Wert der Dividende -> So-Co(k)+Po(k) K+D / 1+rf = 0
Widerspruchsbeweis: So-Co(k)+Po(k) - K+D / 1+rf < 0 -> PFo < 0 = Geschenk heute
Kreditaufnahme: Bo = K+D / 1+rf -> B1 = K+D
PF1
S1<K
S1>K
PF1 = 0, und PF0 < 0
+ S1
S1+D
S1+D
Keine Kosten Morgen, und heute
- C1
0
-( S1-K)
Geschenk -> Kann nicht sein ->
- P1
K-S1
0
Annahme falsch -> Put-Call gilt auch
bei Dividende
- B1
- (K+D)
- (K+D)
=
0
0
K
Po = --------- - So + Co -> PSo = Po(K1) - Po(K2)
(1+rf)^t
K1
PSo =
------- - So + Co*(K1) (1+rf)^t
K1 - K2
PSo = Co*(K1) - Co*(K1) + -----------(1+rf)^t
Stetige Verzinsung:
P0 = C0-S0+K*e^-rf*(T-t)
Handelsstrategie
Put C
Call Parität für Amerikanische Optionen°: So - K <Co° - Po°< So-K/(1+rf)^T
Erst T=2 ->
> T=1 // Die Vektoren Ho und H1 beschreibt den Anteil an Aktien/Bonds um die gewünschten Zahlungen zu realisieren
T=2 // Nach H1B(u), H1B(d), H1S(u), H1S(d) auflösen
nSH1B(u)*B2 + H1S(u)*S2(uu) = Gewünschte CF in T=2(uu)
H1B(u)*B2 + H1S(u)*S2(ud) = Gewünschte CF in T=2(ud)
H1B(d)*B2 + H1S(d)*S2(du) = Gewünschte CF in T=2(du)
H1B(d)*B2 + H1S(d)*S2(dd) = Gewünschte CF in T=2(dd)
Bewertung von Calls / Puts
T=1 // Nach H0B, H0S auflösen
uflösen
HoB*B1 + HoS*S1(u) - (H1B(u)*B1+ H1S(u)*S1(u)) = CF in T=1(u)
HoB*B1 + HoS*S1(d) - (H1B(d)*B1+ H1S(d)*S1(d)) = CF in T=1(d)
Kosten der Strategie heute: HoS*So+HoB*Bo
Äquivalentes Portfolio
S(u)1*nS + B(u)1*nB +C(u)1*nc = P1(u)
S(m)1*nS + B(m)1*nB +C(m) 1 *nc = P1(m)
S(d) 1*nS + B(d)1*nB +C(d) 1*nc = P1(d)
Aktie
Cross Hedging: Risikominimierung/Hedgeratio
Absicherungsstrategie lautet: minh Var (-ST + h(ST - Fo)) -> minh Var(ST) + h^2 Var(ST) -2h Cov (ST, ST)
Vereinfacht und 1. Ableitung nach h: 0 = 2h Var(ST) - 2 Cov (ST, ST), wenn man mit p den
Korrelationskoeffizienten von ST, ST bezeichnet ergibt für die optimale Hedgeratio:
h = p* Wurzel (Var(ST)/ Var(ST))
(Diese Absicherungsstrategie soll die Varianz der Vermögensposition minimieren
Vollständigkeit des Marktes /
Wenn gilt Anzahl der Zustand = Anzahl der Wertpapiere
(n=s) UND Det(A)= 0
Ein Binomialmodell ist vollständig und Arbitragefrei wenn gilt:
-1 < d
<
rf
< u
ST = ST -Dach(Geschätzt)
Call
/ nB/
B nc
auflösen
Put
Überprüfen der Callbewertung: Co =(S1(u)-K) * (So - S1(d))/ 1+rf
------------------S1(u) - S1(d)
Preise der reinen Wertpapiere
minh = min
h
Arbitragfreiheit
Reine Wertpapiere:
1.) Ao^s < 0 ->negativer
er Preis = Arbitrage
2.) Ao^s > 1 ->negativer
negativer riskanter Zins = ggf.Arbitrage
-> Weil E Ao^s = 1/1+rf < 1, wenn 1A>1 -> 1A <0 vg. 1.
3.) E Ao^s > 1 ->negativer rf Zins = ggf.
ggf.Arbitrage
Fundamentalsatz / risikoneutraler Wahrscheinlichkeiten/
X1 > 0; X0 =0
X1 = 0; X0 <0
X1 > 0; X0 <0
X1 = 0; X0 =0
X1 = Y1; X0 / Y0
Bildung von Swaps
Swapgeschäfte tausch der Verpflichtu
Verpflichtungen beider Seiten. Zinsswaps: Tausch fester
gegen variabler Zinsansprüche. Währungsswaps: Tausch festverzinslicher Position
einer Währung gegen eine andere Währung. Swaps sind nie standardisiert und immer
CoK2 < ((CoK1+ CoK3) / 2)
OTC
Verkauf von 2 CoK2 und Kauf von CoK3
Berechnungsweg:
Auszahlungsstruktur
a = festverzinslichen Zinsätze
e von U'a - festverzinslichen Zinsätze von U'b
ST<K
K1< ST<K2
K2< ST<K3
ST>K3
=Summe 0
>0
2*K2- K1- ST 2*K2- K1- K3 = 0 b = flexiblen Zinsätze von U'a - flexiblen Zinsätze von U'b
(a-b)
b) = Mögliche Gesamtersparnis durch einen Swap
X = ((a-b) - Gewinn der Bank) / 2 := Zinsersparnis von 50:50 geteilt wird/Untern.
2K2- K1 - ST > 2K2- K1 - K3 = 0 (Vorletzter CF nicht negativ)
Das PF koset - 2CoK2+ CoK1+CoK3. Aus Arbitragegründen muss Swap1: U'a mitt Bank Tausche (gewünsche Zinsatz - X) gegen günstigen Zins, aber
falschen Zins - dazu nimmt U'a einen Kredit zu den günstigen falschen Zinssatz, gibt
Preis positiv sein 2CoK2+ CoK1+CoK3 > 0 bzw.
diesen an die Bank weiter->Bank
>Bank zahlt die Zinsen dafür an U'a und gewährt Ua einen
Co^(K1+ K2)/2 < (CoK1 + CoK3)/2 ->In Abhängigkeit von K
Kredit zu den um X rabattierten
attierten Zinssätzen:
hat der Callpreis einen Konvexer Verlauf
Gewinn der Bank ergibt sich aus der Differenz der Zinssätze zwischen Kredit und
Callpreis steigt mit steigender Varianz/
Einlage von U'b
Standardabweichung
Swap2:: U'b mit Bank Tausche (gewünsche Zinsatz - X) gegen komparativ günstigen
Var= 1/2 * (S1(u)- ((S1(d)- (S1(u)/2)^2
+ 1/2 * (S1(d)- ((S1(d)- (S1(u)/2)^2 // Standardabweichung sd = Wurzel(Varianz), als besseres Volatilitätsmaß
===
(S1(u) = (S1(d) + 2*sd // sd/Varianz steigt, Erwartungswert bleibt konstant, (S1(d) sinkt, (S1(u) bleibt konstant:
So-(S1(d)/1+rf)
1
So-(1+rf)- S1(U)
Co = (S1(u) - K) * ----------------------- umformen zu Co = (S1(u) - K)* -- + ------------------------S1(u)- S1(d)
1+rf
2*sd
Bond
nach nS
Call: nS = S(u) -K
S(u) - S(d)
Put: nS = K- S(d)
S(u) - S(d)
Po = nS*So + nB* Bo + nc* Co
2./3.) Arbitrage wenn Geld kostenlos gelagert werden kann!
Für europäische Callpreise auf das gleiche
Underlying und den Ausübungspreisen K1<K2<K3
und K3- K2 = K2 - K1 gilt folgende Preisgleichung:
K2
------- - So + Co*(K1)
(1+rf)^t
und diese
iese Größe ist monoton wachsend in sd
Implizite Varianz: Im Black-Scholes Modell die Varianz bei der
er theoretischer und tatsächlicher Preis (also keine Arbitrage) Optionspreis zusammenfallen
E (Auo+Ado)= 1/1+rf
1. Risikoneutrale Wkt ermitteln
2. Werte in Formel einsetzen:
q(u) = rf-d / u-d
EQ(Ct+1) q(u)*C1(u)+ q(d)*C1(d)
Anleitung zur Berechnung des
"Down"
Bewegungen
Ct =
----------= ------------------------q(d) = 1- q(u) = u-rf /u-d k*= Anzahl der
q(u) = So*B1 - S(d)*Bo
(1+rf)^t
(1+rf)
Binomialmodell T=4
S(u) - S(d)*Bo
q1(u) =(1+rf)*Auo , q2(d) =(1+rf)*Ado
k* = Anzahl Downbewegungen
1.)
a.)
b.)
c.)
1 Weg: St(k*=0) = So*(1+u)^4
// St(k*=0)
k*=0) - K // q(u)^4
Co = 1 /( 1+rf^t) *1*q(k*=0)* Ct(k*=0)
4 Wege: St(k*=1) = So*(1+u)^3*(1+d) // St(k*=1)
k*=1) - K // q(u)^3 * q(d)
+4*q(k*=1)* Ct(k*=1
ln(K/So*(1+u)^t)
6 Wege: St(k*=2) = So*(1+u)^2*(1+d)^2 // St(k*=2)
k*=2) - K // q(u)^2 * q(d)^2 +6*q(k*=1)* Ct(k*=2)
k* = ---------4 Wege: St(k*=3) = So*(1+u)*(1+d)^3 // St(k*=3)
k*=3) - K // q(u)^1 * q(d)^3 +4*q(k*=1)* Ct(k*=3)
+1*q(k*=1)* Ct(k*=4)
1 Weg: St(k*=4) = So*(1+d)^4
// St(k*=4)
k*=4) - K // q(d)^4
ln(1+d/1+u)
Alternativ über Formel: Co = So*B(k*;T; q°d) - 1/1+rf*K*B(k*;T;qd)
Black-Scholes
Herleitung der Put Black-Scholes-Formel
N(−d1) = 1-N(d
1
1)
N(−d2) = 1-N(d
1
2)
Wenn
d(1)/d(2)<0;
dann
1 - d(1) bzw.
1 - d(2)
-d1 = 1- d1
Absicherungsstrategien und Konstruktion eines Arbitrageportfolios
Short Hedge (Verkaufsabsicherung) Short Hedge wird dann verwendet, wenn der Anleger weiß,
we dass er in der
Zukunft ein Asset, das er bereits besitzt, verkaufen wird und er sich gegen Preisschwankungen (nach unten) absichern
will. Der Anleger nimmt die Short-Position
sition in einem Futures-Vertrag
Futures
ein.
Long Hedge (Kaufabsicherung)
Hier wird vom Anleger, der in Zukunft ein Asset kaufen will, die Long-Position
Long
in einem Futures-Kontrakt eingenommen.
Ein Long-Hedge
Hedge bietet sich an, wenn ein Unternehmen weiß, dass es eine bestimmte Ware zu einem bestimmten
zukünftigen Zeitpunkt kaufen wird, und deren Preis bereits jetzt
je verlässlich fixieren will.
1
50+2-6 = (47/1,05)
46 = 44,76 (fairer Preis)
Leerverkaufen, da
zu teuer
t=0
Aktie short
Put Short
Call long
Geldanlage
Summe
- 50
-2
+6
+46
0
ST < 47 t=1
- ST
47- ST
0
ST > K t=1
- ST
0
ST - 47
46 * (1+rf)= 48,3
46 * (1+rf)= 48,3
1,3
1,3
Herleitung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten q(u)/q(d)
Basis: Umgeformter 1. Fundamentalsatz
GUV-Diagramme
Diagramme
Wenn So steigt -> Co Steigt und Po Fällt
Wenn K steigt -> Co fällt und Po steigt
Wenn Restlaufzeit steigt -> Co Steigt und Po Steigt
Wenn Volatilität steigt -> Co Steigt und Po Steigt
Wenn rf steigt -> Co Steigt und Po Fällt
Wenn Dividende steigt -> Co Fällt und Po Steigt
mit
Call Long
Gründe fürr Termingeschäfte
Komparative Kostenvorteile
mit
Put Long
Naked position
Hedging
..
Mathe-Rechnen--Sonstiges
sd(x) = Wurzel(Varianz(x))
Var(x) = E (X- E(x)^2) * P(x)
Cov(x,y) = E (X*Y*P- E(x) * E(y)
Korr(x,y) = Cov (x,y) / (Wurzel(Varianz
Wurzel(Varianz(x))* Wurzel(Varianz(y))
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ableitungsregeln
x^n ->n*x^n-1
e^a*x -> a*e^a*x
ln(x) -> 1/X
Marginzahlungen
Clearinghaus verlangt vom Käufer das Risiko F0 - F1 als Margin.
Dieser Betrag wird auf das Konto des Verkäufers (F1- Fo)gezahlt.
Call Short
Put Short
Vertical Bull Spread
Vertical Bear Spread
Preis Spreads
position
Cramersche Regel
det(A1)
ns = -------det(A)
det(A2)
nB = --------
det(A3)
Keine Verzinsung
der margins
det(A)
Long Butterfly Spread
Wertgrenzen eines Calls
1.) Ct < St : Call immer billiger als Unterlying
St^^ = St - Dach = unsicher
Widerspruchsbeweis: Ct > St -> Ct -St > 0
Forwards/Future
Fo = Vereinbarter Preis zu dem das Underlying ge/verkauft wird
K = ist bei einem bereits abgeschlossenen Forward der Liefer/Terminpreis
VT = Marktpreis des Forwards, in T=0 gilt VT =0,
am Laufzeitende ist VT = ST - Fo
VFo = S1 - B1 -> VFo = So *(1+rf) : Beweis
t
T
Forward long
0
St^^ - Fo
Underlying short
So
- St^^
Risikolose Anlage
- Fo /(1+rf)
Fo
Summe
So- Fo /(1+rf)
0€
So- Fo / (1+rf) = 0 -> Fo / (1+rf) = So -> Fo = So *(1+rf):
Der Futures-Preis entspricht also dem aktuellen Spotkurs (aufgezinst bis
zum Zeitpunkt T). Falls F0 > S0 Asset long und Forward-Kontrakte
Short. Wenn F0 < S0 Asset leerverkaufen und Futures long
Somit folgt, dass Fo = So *(1+rf) der einzige arbitragefreie Preis
von F0 ist.
Wertgrenzen eines Puts
1.) Pt < K(1+rf)^t : Put nicht wertvoller als der Barwert des
Verkaufserlöses: K (sonst Arbitrage: Put Short und Geldanlage von
K(1+rf)^t)
2.) Pt > 0 : Put hat keinen negativen Wert
3.) Pt > K(1+rf)^t - St Ein europ. Put ist nicht weniger wert als die
Differenz den aktuellen Werts des Unterlyings und dem abgezinsten
Basispreis:
Put auf eine Aktie mit Dividende: Ct > St - D(1+rf)^t° - K(1+rf)^t
Vorzeitiges Ausüben kann sich lohnen wenn der Kurs des Underlyings sehr niedrig ist
Po > Po°
Long Strangle
nC = --------
det(A)
Bsp.
| C1(u) B1(u) |
| S1(u) C1(u) |
det(A1) | C1(d) B1(d) |
| S 1(d) C1(d) |
ns = ------ = ------------nB = ------------det(A) | S1(u) B1(u) |
| S 1(u) B1(u) |
| S1(d) B1(d) |
| S1(d) B1(d) |
Inkl. Verzinsung// T
Verkäuferkonto: E =(Ft-Ft-1)*(1+r)^(T-t)
Long Straddle
Kauf der Aktie
Verkauf des Calls
Summe
t
- St
Ct
Ct- S t > 0
ST < K in T
St^^
0
St^^ > 0
ST > K in T
St^^
- (St^^ - K)
K>0
Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten existieren auf Vollständigen Märkten (Für
jeden zustand (s) gibt es einen Arrow-Debreu Titel @A )
q s ∶ 1 rf ∗ A , daderMarktArbitragefreiistsindalleA $ 0
Damitsindalleq s nichtnegativ. DieEinzelwahrscheinlichkeiten
summierensichzu1. DiesesPortfoliozahltinjedemZustandgenau1
undistdamitnichtanderesalseinrisikoloserTitelundwirdaufgrund
derLiniaritätsannahmedurchdenrfdeterminiert
9
∑8>9 A8 1 ausdieseGleichungfolgt
9:;<
2.) Ct > 0 : Call hat keinen negativen Wert
Erklärt sich von selbst: Sonst wäre es ein Lotterielos für das man heute Geld bekäme und Morgen noch
vielleicht welche "Gewinnen" würde
3.) Ct > St - K/(1+rf)^t Ein europ. Call ist nicht weniger wert als die Differenz den aktuellen Werts des
Unterlyings und dem abgezinsten Basispreis:
Widerspruchsbeweis: Ct < St - K(1+rf)^t
Leerverkauf
auf der Aktie
Risikolose Geldanlage
Kauf des Calls
Summe
t
St
- K/(1+rf)^t
- Ct
Ct- S t K/(1+rf)^t < 0
ST < K in T
- St^^
K
0
St^^- K > 0
Call auf eine Aktie mit Dividende: Ct > St - D(1+rf)^t° - K(1+rf)^t
Der Satz von Merton besagt, dass wenn eine Aktie keine Dividende auszahlt, es nie optional ist,eine
amerikanische Call Option vvorzeitig auszüben:
CtA = St - K wäre, sonst CtA = St - K(1+rf)^t (Zinseffekt), deswegen Co = Co°(für Calls ohne Dividende)
Bei einer erwartet hohen Dividende kann ich das vorzeitige Ausüben lohnen
>9
1
rf ∗ A8 = ∑8>9 q s unddaswarzuzeigen!
Ist der Markt vollständig&Arbitragefrei -> q s sind eindeutig
B9 C
DE9 C
DE9 C
FCGHIJKLCM2OPJQR JRHLSTGRT UKVLSTGWRCOR JXKXHR CYä RWHRZH R RT[WR OPJ:
def g9
ST > K in T
- St^^
K
(St^^ - K)
St^^- K < 0
∑
1
9:hi
0
_
]
A>9
B
9
dej g9
9:hi
^
in Summenschreibweise: D C D C B9
ZHRCR S``RHCJGRTKSWKTTnullYRTTKLLR S``KTWRTaSLLCHTW STWWKCHCJRHTOHWR CX SbV[Sc9STWc ^Yä RTQR CbVHRWRT