Perímetros

MÓDULO XVII
3. Polígonos – Classificação pelo número de lados
PERÍMETROS
1. Polígonos – Definição e elementos
Consideramos n (n ≥ 3) pontos ordenados A1, A2, ...,
An, e os n segmentos consecutivos por eles determinados
A 1 A 2 , A 2 A 3 , ..., A n A 1 , de modo que não existam dois
segmentos consecutivos colineares. Uma região poligonal
fechada ou, simplesmente, polígono, é a reunião dos
pontos dos n segmentos considerados. Os pontos A1, A2,
..., An são os vértices do polígono e os segmentos A 1 A 2 ,
A 2 A 3 , ..., A n A 1 são os lados do polígono.
A1
An
lado
lado
A
A5
Região interna
2
lado
lado
A3
A
lado
4
2. Polígonos – Classificação quanto à forma
Dizemos que uma região do plano é convexa
quando dois pontos quaisquer, que a ela pertençam,
produzirem um segmento de reta nela contido
inteiramente. Se uma linha poligonal fechada, ou seja, um
polígono, limitar uma região convexa do plano, ela será
designada de polígono convexo. Caso contrário, o
polígono será designado de não convexo (côncavo).
Polígono convexo
Polígono não convexo
Considere um polígono com n lados, onde n ≥ 3. Em
relação ao número de lados, os polígonos podem ser
classificados em:
Número de lados
Designação
3
Triângulo ou Trilátero
4
Quadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octógono
9
Eneágono
10
Decágono
11
Undecágono
12
Dodecágono
13
Tridecágono
14
Tetradecágono
15
Pentadecágono
....................
........................
20
Icoságono
Quando os lados de um polígono possuírem a
mesma medida, diremos que esse polígono é regular. Por
exemplo, um hexágono que possua todos os lados com a
mesma medida será designado de hexágono regular; um
polígono que possua quatorze lados com a mesma
medida será designado de tetradecágono regular; etc.
Alguns
polígonos
possuem
designações
particulares: um triângulo que possua todos os lados com
a mesma medida será designado de triângulo eqüilátero
e um quadrilátero que possua todos os lados com a
mesma medida será designado de quadrado.
4. Perímetro de um polígono
O perímetro de um polígono (indicado por 2p)
corresponde à soma das medidas dos lados desse
polígono. Por exemplo, para determinar o perímetro do
quadrado abaixo, basta somarmos as medidas dos lados
indicadas no quadrado:
50 m m
A
B
50 m m
Na figura acima, o primeiro polígono foi classificado
como convexo pois ligando quaisquer dois pontos da
região interna do polígono sempre se obtém um segmento
de reta contido no polígono. O mesmo não ocorre no
segundo polígono, pois unindo-se os pontos A e B, obtémse um segmento de reta que não está inteiramente contido
na região interna desse polígono. Por isso ele foi
classificado como sendo um polígono não-convexo ou
polígono côncavo.
50 mm
50 mm
perímetro (2p)= 50mm + 50mm + 50mm + 50mm = 200mm
No caso dos polígonos regulares, temos a seguinte
regra: se um polígono regular de n lados com medidas
iguais a m, então o seu perímetro será dado por 2p = n.m.
Exemplos:
• Quadrado: n = 4; lado = m 2p = 4m
• Triângulo Eqüilátero: n = 3; lado = m 2p = 3m
Matemática Básica XVII 1
Exercícios Propostos
EP.01) Observe as figuras geométricas planas a seguir e
depois determine:
4cm
EP.04) Pretende-se colocar alambrado de arame em todo
o contorno de um terreno cujas formas e medidas estão
representadas na figura seguinte:
40 m
10 m
20 m
30 m
20 m
4cm
4cm
60 m
a) Quantos metros de alambrado serão necessários para
contornar o terreno?
b) Qual será o custo da obra se cada metro colocado de
alambrado custa R$ 13,00?
4cm
5cm
3cm
3cm
5cm
a) o perímetro do quadrado;
b) o perímetro do retângulo;
c) o número de quadradinhos de 1cm de lado que
compõem o quadrado;
d) o número de quadradinhos de 1cm de lado que
compõem o retângulo.
EP.02) O hexágono regular é constituído por seis
triângulos eqüiláteros. Sabendo que todos os segmentos
da figura a seguir têm 2,71cm de comprimento, determine:
EP.05) Qual o perímetro de um retângulo cuja base mede
3
da medida da base?
30cm e cuja altura é igual a
5
EP.06) (FUVEST-SP) Os lados de um retângulo de área
2
12m estão na razão 1:3. Qual o perímetro do retângulo?
a) 8m
b) 12m
c) 16m
d) 20m
e) 24m
5. Perímetro ou comprimento de uma circunferência
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de
um plano que estão à mesma distância (eqüidistantes) r
de um ponto fixo O, onde r é designado de raio da
circunferência e O é designado de centro da
circunferência.
R
O
a) o perímetro do hexágono;
b) o perímetro de cada triângulo eqüilátero;
c) a soma dos comprimentos de todos os segmentos da
figura.
Uma corda é um segmento de reta que une dois
pontos quaisquer de uma circunferência. O diâmetro d é
uma corda que passa pelo centro da circunferência. A
medida do diâmetro sempre será igual a duas vezes a
medida do raio da circunferência.
EP.03) O desfile de 7 de Setembro deve seguir o caminho
mostrado pelas flechas, na figura abaixo, começando e
terminando no ponto S. Nessas condições, responda:
S
400 m
100 m
150 m
300 m
300 m
a) Qual o comprimento total do percurso do desfile?
b) Esse comprimento ultrapassa 1km? Em caso afirmativo,
em quantos metros?
d = 2.r
A medida ou comprimento de uma circunferência é
dada por C = 2πr, onde r é o raio da circunferência e a
constante π = 3,1415... é um número irracional.
Por exemplo, o comprimento de uma circunferência
cujo raio mede 4cm será dado por:
C = 2πr C = 2 x 3,14 x 4 C = 25,12cm
Matemática Básica XVII 2
Exercícios Propostos
Exercícios Complementares
EP.07) Calcule o comprimento da circunferência de raio
7cm. (Adote: π = 3,14)
EC.01) Um terreno tem a forma de um retângulo,
conforme a figura abaixo. Qual seria o comprimento total
de um muro se o mesmo fosse construído em todo seu
contorno?
40 m
EP.08) Calcule o raio de uma circunferência cujo
comprimento é de 50πcm.
Terreno
20 m
20 m
40 m
EP.09) Complete a tabela abaixo:
raio = r diâmetro = 2r comprimento = 2πr
2
4
EC.02) Qual é o perímetro do triângulo abaixo?
12,56
67 m m
30 mm
1
5
60 mm
18,84
EC.03) A figura abaixo é um quadrado. Determine o seu
perímetro.
25 mm
EP.10) Numa bicicleta em que o raio da roda é igual a
26cm, qual será, aproximadamente, o comprimento da
circunferência da roda?
25 mm
25 mm
25 mm
EP.11) Medindo uma circunferência com fita métrica
graduada obtivemos 62,8cm de comprimento. Qual a
medida do diâmetro dessa circunferência?
EC.04) O lado de cada quadrado que forma as figuras
seguintes mede 2cm. Determine o perímetro de cada
figura.
a)
EP.12) Se uma circunferência tem 18,84m de
comprimento, qual o comprimento da semicircunferência
dela obtida?
b)
EP.13) Imagine uma circunferência de 18,84m de
comprimento que foi dividida em 4 arcos do mesmo
tamanho. Qual o comprimento de cada um dos arcos?
EP.14) Numa circunferência de 1cm de raio, quanto mede
a maior corda que podemos desenhar?
Matemática Básica XVII 3
EC.05) Calcule o perímetro do polígono
apresentando a resposta em milímetros:
E
abaixo
Exercícios Propostos
3 cm
D
3 cm
1,8 cm
C
S
2,5 cm
B
2 cm
EC.06) O perímetro de um retângulo vale 42cm.
Determine a medida da altura desse retângulo, sabendo
que sua base mede 12cm.
EC.07) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm os
lados de mesma medida. Se o perímetro do triângulo
eqüilátero mede 36cm, quanto mede o perímetro do
quadrado?
EC.08) Um terreno de forma retangular mede 12m de
frente por 25m de lateral. Para murar totalmente esse
terreno, ou seja, todo o seu contorno, quantos tijolos serão
necessários, se para cada metro de muro são gastos 40
tijolos?
EC.09) Determine o perímetro de um retângulo, sabendo
que a base mede 24cm e sua altura mede a metade da
base.
EC.10) A praça de uma cidade possui a forma de um
quadrado. Calcule quantos metros de corda deverão ser
gastos para cercar a praça para uma festa, sabendo que a
praça possui 45m de lado e deseja-se dar 4 voltas na
praça com a corda.
EC.11)
GABARITO
O
perímetro de um triângulo eqüilátero
5
corresponde a
do perímetro de um quadrado que tem
6
9cm de lado. Qual é a medida, em metros, do lado desse
triângulo eqüilátero?
EC.12) Numa sala quadrada, foram gastos 24,80m de
rodapé de madeira. Essa sala tem apenas uma porta de
1,20m de largura. Considerando que não foi colocado
rodapé na largura da porta, calcule a medida de cada lado
dessa sala.
EP.01) a) 16cm
b) 16cm
c) 16 d) 15
EP.02) a) 16,26cm
b) 8,13cm
c) 32,52cm
EP.03) a) 1.250m
b) ultrapassa 250m
EP.04) a) 180m
b) R$ 2.340,00
EP.05) 96cm
EP.06) C
EP.07) 43,96cm
EP.08) r = 25cm
EP.09)
raio = r diâmetro = 2r comprimento = 2πr
2
4
12,56
1
2
6,28
2,5
5
15,70
3
6
18,84
EP.10) 163,28cm
EP.11) diâmetro = 20cm
EP.12) 9,42cm
EP.13) 4,71cm
EP.14) 2 cm
Exercícios Complementares
EC.01) 120m
EC.02) 157mm
EC.03) 100mm
EC.04) a) 28cm
EC.05) 123mm
EC.06) 9cm
EC.07) 48cm
EC.08) 2.960 tijolos
EC.09) 72cm
EC.10) 720m
EC.11) 0,1m
EC.12) 6,5m
EC.13) 220 árvores
EC.14) 560m
b) 32cm
EC.13) O terreno de uma escola é retangular, com 100m
de comprimento por 65m de largura. Em todo o contorno
desse terreno serão plantadas árvores distantes 1,50m
uma da outra. Quantas árvores serão necessárias?
EC.14) Um campo de futebol (retangular) possui as
seguintes dimensões, 155m de comprimento e 75m de
largura. Numa final de campeonato, a equipe campeã
percorreu todas as laterais do campo carregando a taça
de campeão e ainda percorreu mais 100m até chegar ao
podium onde seria feita a premiação. Determine quantos
metros a equipe percorreu em todo esse trajeto.
Matemática Básica XVII 4